湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：150分
命题人：罗政 范晓农 审题人：王小波
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．设定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
7．已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．关于的不等式的解集是，则
C．若正实数，满足，则的最小值为
D．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是
10．已知函数为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为2D．
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的单调递减区间为 .
13．已知函数，则 ．
14.已知 .
四、解答题:本题共5小题，15题13分，16,17题15分，18,19题17分，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值时x的取值集合．
16．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求；
(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
17．如图，在三棱锥中，E为BC的中点，O为DE的中点，，，都是正三角形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
18．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
证明：直线过定点，并求出定点坐标；
19．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
(3)若函数在区间上无零点，求的取值范围.
参考答案：
1．D 2．A 3．B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.AB 10.ABD 11.BD
12． 13． 14. 1
15.(1)周期 7分 (2)最大值时的取值集合为6分
16.(1) 7分 (2)． 8分
17．(1)证明见解析 7分 (2) 8分
18．(1) 7分 (2)①证明见解析，. 10分
19．(1) 7分 (2)证明见解析 5分 (3) 5分
详解
1．D
【分析】根据对数和指数不等式解集合A、B，结合并集的概念与运算即可求解.
【详解】由，得，故，
由得，得，故，
所以D.
2．A
【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式在R上有解，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是.
故选：A.
3．B
【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果.
【详解】解法一： 由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选：B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选：B．
B
对于有，
故选：B
5．C
【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解.
【详解】因为，
观察的式子结构，构造函数，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，所以，即，
所以，即，即；
又，所以，即；
综上，.
故选：C.
6.D
【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【详解】由题意可设比例系数为，所以，
，，
当时，，
故选：D．
7．C
【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
8．B
【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.
【详解】设切点为，由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：，
因为切线过点，所以，
即，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图象交点的个数，
设，
则
由可得，由可得：或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图，且，
要使与的图象有三个交点，则.
则的取值范围是:.
故选：B.
9．AB
【分析】利用基本不等式判断A，利用韦达定理判断B，利用对勾函数的性质判断C，利用对数型复合函数的单调性判断D.
【详解】对于A：因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
即函数的最大值为，故A正确；
对于B：关于的不等式的解集是，
可得，为关于的方程的解，所以，即，故B正确；
对于C：因为正实数，满足，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
又在上单调递减，当时，
所以，即当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：若函数在区间单调递减，
，解得，故D不正确．
故选：AB ．
10．ABD
【分析】结合函数的奇偶性、周期性以及对称性计算即可得.
【详解】对A：因为为偶函数，则，
即，所以是奇函数，
所以的图象关于点对称，故A；
对B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对C：因为，，
则，则，
所以的最小正周期为，故C错误；
对D：因为当时，，所以，，
因为的图象既关于点对称，又关于直线对称，
所以，，
因为的最小正周期为4，
所以，所以，
所以
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
11．BD
【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D.
【详解】对于A，定义域为，，
时,时，是的极小值点，A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：BD
15.
【详解】（1）
．
所以的最小正周期． 7分
（2），则函数最大值为0．
当取得最大值时，，即．
所以的最大值为0，取得最大值时的取值集合为 13分
16．(1)(2)．
【详解】（1） 7分
（2）
由，可得恒成立．
设，则，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为． 15分
17．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为是正三角形，O为的中点，所以．
因为，都是正三角形，E为的中点，所以，，
因为，平面，所以平面，因为平面，
所以．因为，，平面，所以平面．
（2）以O为坐标原点，直线为x轴，过点O且与平行的直线为y轴，直线为z轴建立的空间直角坐标系如图所示:
设，则，，，，
所以，，．
设平面ABD的法向量为，则
,即，取，得，
所以．
设平面ABC的法向量为，
则，即，取，得，
所以．
设二面角的平面角为，则
，
所以二面角的正弦值．
18．(1)(2)①证明见解析，；②.
【详解】（1）∵长轴长为4，∴，椭圆上的点到点的最大距离为，
∴，∴.∴∴椭圆的方程为：.

（2）①证明：由（1）得，，
直线，的方程分别为，，
由得
∴，可得，∴，
由得
∴，可得，∴，
∴，直线的方程为：，
即.
可得直线过定点.
②设的方程为：，
由得，
设，，则，，
，
令，（），，
由，且函数在递增，
∴时，取得最大值.
19．(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方；
（3），
当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，
令，则在区间上恒成立，
所以在单调递减，且，
①当时，此时在区问上恒成立，
所以在区间单调递减，
所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为.