北京市北京理工大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市北京理工大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了本试卷共7页，共两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共7页，共两部分．28道题，满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一．选择题（共20分，每题2分）第1-10题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在这个充满活力与希望的龙年，学校将举办一场别开生面的绘画大赛，通过画笔，大家可以描绘出心中龙的形象，展示龙年的独特魅力，在此次绘画比赛中有以下四个龙的图案，其中可以由如图平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
【详解】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是B中图案．
故选B．
2. 在平面直角坐标系中，点(1,-2)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据第四象限内横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】点(1,-2)所在的象限是第四象限，该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 故选D.
【点睛】考查点的坐标，掌握每个象限点的坐标特征是解题的关键.
3. 估计的值是在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的概念直接解答此题.
【详解】∵＜＜，∴4＜＜5，故选B．
【点睛】本题考查了学生对有理数和无理数大小的比较，掌握用二次根式作为大小比较的工具是解决此题的关键.
4. 如图，直线l与直线a，b相交，且，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义分别计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的性质，垂线的性质，平行线的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．对顶角相等，正确，是真命题；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，不正确，是假命题；
D．若一个角两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，正确，是真命题；
故选C．
【点睛】此题考查命题真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
7. 若y轴右侧的点到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得到，再由y轴右侧的点横坐标大于0得到，据此可得答案．
【详解】解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，
∴，
∵在y轴右侧，
∴，
∴，
∴点P的坐标是或，
故选：A．
8. 如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数的点向右滚动一周到点N，则点N表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．先计算圆的周长，再根据左减右加即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，圆的周长为π，
则点N表示的无理数为．
故选A．
9. 如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30°)．用同样的方法将点B，C的位置分别记作B(8，60°)，C(4，60°)，则观测点的位置应在( )
A. 点O1B. 点O2C. 点O3D. 点O4
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A的位置记作A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），通过操作即可得出观测点的位置．
【详解】如图所示，连接BC，并延长，经过点O1，
可得观测点的位置应在点O1，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题的关键．
10. 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0，2）的点有1个；②“距离坐标”是（3，4）的点有4个；③“距离坐标”（p，q）满足p=q的点有4个．其中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出 ①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集从而确定答案．
【详解】解：①p=0，q=2，则“距离坐标”为（0，2）的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是（0，2）的点有1个错误，
②得出（3，4）是与l1距离是5的点是与之平行的两条直线与l2的距离是6的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有4个交点．所以此选项正确，
③“距离坐标”（p，q）满足p=q的点，这样的得只有1个，故此选项错误；
故正确的有：1个，
故选：B．
【点睛】此题考查角平分线的性质，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意，注意变形去掉p≥0，q≥0又该怎样解是解题的关键．
第二部分 非选择题
二．填空题（共24分，每题3分）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
12. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标，根据在x轴上的的点的纵坐标是0求出m的值，即可得到点P的坐标．
【详解】解：∵点x轴上，
∴，
∴，
∴点P的坐标是，
故答案为：
13. 如图，人们想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，使用建桥材料最省的是__________，理由是__________．
【答案】 ①. ②. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】此题考查了垂线段性质的应用，根据“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”即可进行解答．
【详解】解：图中四种搭建方式中，使用建桥材料最省的是，理由是：直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．
故答案为：，直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．
14. 如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件__________，即可证明．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．据此解答即可．
【详解】解：可添加，则根据同位角相等，两直线平行可得．
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD=20°，则∠COB的度数为_____°．
【答案】110°．
【解析】
【详解】试题分析：已知OE⊥AB，根据垂直的定义可得∠BOE=90°，由因∠EOD=20°，所以∠BOD=∠BOE-∠EOD=90°-20°=70°，再根据邻补角的定义可得∠COB=180°-∠BOD=180°-70°=110°．
考点：垂直的定义；邻补角的定义.
16. 已知两个不相等的实数满足：，，则的值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】由题意可得x、y是a的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得x+y=0即可解答
【详解】解：∵两个不相等的实数满足：，
∴x、y是a的两个不相等的平方根
∴x+y=0
∴=0．
故答案为0．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键．
17. 如图，在长方形内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积等于__________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算的应用，难度不大．由两个小正方形的面积分别为1，3，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于的长方形，从而可得答案．
【详解】解：面积为3的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为1，
则阴影部分面积为：．
故答案为：．
18. 如图，，平分交于点E，，，M、N分别是，延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有_______．

【答案】①③④
【解析】
【分析】证明，可得，证明，可得，可得，故①正确；证明，可得平分，故③正确；证明，若，则，与已知矛盾，故②错误；证明．可得．证明，可得，，故④正确．
【详解】解：标注角度如图所示：

∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，，而，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
若，
∴，
∴，与已知矛盾，故②错误；
∵，
∴．
∵和的平分线交于点F，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于．
三．解答顾（共56分，第19，20题，每题5分，21题6分，第22-25题每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
20 如图，已知AD∥BC，．求证BE∥DF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠EBF，再由∠1=∠2等量代换得出∠EBF=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可得出BE∥DF．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBF，
又∵∠1=∠2，
∴∠EBF=∠2，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的综合应用，熟记性质和判定是解决此题的关键．
21. 如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形.若清华大学的坐标为，北京大学的坐标为．

（1）请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标；
（2）若中国人民大学的坐标为，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．
【答案】（1）图见解析，；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（）利用清华大学的坐标为，北京大学的坐标为画出直角坐标系，进而即可得结果；
（）根据点的坐标的意义即可描出表示中国人民大学的坐标即可得．
本题考查了建立平面直角坐标系，点与有序实数对一一对应，解题的关键是正确理解如何建立平面直角坐标系及特殊位置的点的坐标特征．
【小问1详解】
建立的平面直角坐标系如图所示，北京语言大学的坐标为；
【小问2详解】
中国人民大学的位置如图所示，
22. 求出下列各式中x的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
23. 已知：如图，点E为线段上的点，点B为线段上的点，连接，，．求证：．
证明：∵（已知），
__________（__________）．
∴（__________）．
∵（已知），
∴．
∴（__________）．
∴（__________）．
【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定条件结合已知推理过程证明即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
24. 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知三角形，将三角形向上平移m个单位，向右平移n个单位后，得到三角形，其中点A的对应点为原点O．
（1）画出平移后得到的三角形．
（__________，__________），（__________，__________）；
（2）在x轴上存在点D，使O、，，D所围成的四边形的面积为8，直接写出点D的坐标__________．
【答案】（1）图见解析；；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据点的对应点为原点得到平移的方式，再利用平移的性质即可求解；
（2）设，根据题意得出，求出的值即可求解．
【小问1详解】
∵点的对应点为原点，
∴将点向上平移3个单位，向右平4个单位后，可到原点，
即：将三角形向上平移3个单位，向右平4个单位后，得到三角形，

如图，即为所求，，．
故对答案为：；；
【小问2详解】
由图形可知，，，，所围成的四边形为梯形，，
设，则，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
25. 如图，已知于D，点F是线段上任意一点，于E，且，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而得到，则可推出，可得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 依据图中呈现的运算关系，回答下列问题．
（1）直接写出上图中__________．
（2）若，求x的值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键．
（1）根据互为相反数的立方根仍然互为相反数得到，即可求出a的值；
（2）根据平方根的定义得到，，进一步得到，利用平方根的意义解方程即可．
【小问1详解】
解：∵y的立方根是，的立方根是，
∴，
解得，
故答案为：5
【小问2详解】
∵x的平方根是和，
∴，，
∵，
∴
即
解得，
即x的值为．
27. 直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

（1）求的度数
（2）若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．
①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值．
②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值．
【答案】（1）
（2）①10；②或．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①由得到由得到，则，解得即可．
②分两种情况，分别画出图形进行解答即可．
【小问1详解】
解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
①解：如图②中，

∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边，t的值为．
②如图，当时，延长交于R．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，延长交于R．．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：
若，则称点Q为点P的限变点．若点Q落在长方形的内部或边上，则称点P是关于长方形的有界限变点．
（1）点的限变点的坐标是__________；
（2）若长方形顶点的坐标分别为，，，．
①点，，是关于长方形的有界限变点的是__________；
②若点P的坐标是，且点P是关于长方形的有界限变点．求满足条件的a取值范围．
（3）若点P的坐标是，当时，点P是关于长方形的有界限变点．则满足条件的长方形面积S的取值范围__________．
【答案】（1）
（2）①，，；②或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系的知识，求不等式组的解集，数形结合是解答本题的关键．
（1）直接根据限变点的定义求解即可；
（2）①在坐标系中画出长方形，标出，，的限变点即可求解；
②分当时和当时两种情况求解即可；
（3）分当时和当时两种情况求出限变点纵坐标的取值范围即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴点的限变点的坐标是．
故答案为：；
【小问2详解】
①，，的限变点为，，，如图，
∴点，，是关于长方形的有界限变点的是，，．
故答案为：，，；
②当时，的限变点为，
∴，
解得，
∴．
当时，的限变点为，
∴，
解得，
∴．
综上可知，或；
【小问3详解】
当时，的限变点为，
∴．
当时，的限变点为，
∴．
如图，
∴S的最小值为，即
故答案为：．