江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中是无理数的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数），分别验证四个选项的正确性即可得到答案．
【详解】解：A、是有理数，本选项不正确；
B、是有理数，本选项不正确；
C、是有理数，本选项不正确；
D．是无理数，本选项正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握无理数的定义和二次根式的化简.
2. 9的平方根是（ ）．
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平方根的意义进行求解即可．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
3. 下列命题中，真命题的个数有（ ）．
①无限小数是无理数；
②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；
③同位角相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义，平方根的定义，平行线的性质，平行线公理逐一判断即可．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，故①是假命题，错误；
立方根等于它本身的数有三个，是0和1和-1，故②是假命题，错误；
两直线平行，同位角相等，故③是假命题，错误；
在同一平面内，过一点有且只有-条直线与已知直线平行，故④是假命题，错误；
综上所述，真命题有0个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了真命题的定义，无理数的定义，平方根的定义，平行线的性质，平行线公理，理解正确的命题是真命题，熟记相关知识是解题的关键．
4. 如图所示的车标，可以看作由平移得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用平移设计图案，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小．根据平移的定义结合图形进行判断．
【详解】解：根据平移的定义可知，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．
故选：A．
5. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键．
6. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：延长BC至G，如下图所示，
由题意得，AF∥BE，AD∥BC，
∵AF∥BE，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠4=∠1=40°，
∵CD∥BE，
∴∠6=∠4=40°（两直线平行，同位角相等），
∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
∴∠5=∠6=40°，
∴∠2=180°-∠5-∠6=180°-40°-40°=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为零列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，，
故答案为：
8. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______.
【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【解析】
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
9. 若点在y轴上，则________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据在y轴上的点的横坐标是0得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴
∴
故答案为：．
10. 命题：“两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角”是_____命题（填“真”或“假”）
【答案】假．
【解析】
【分析】根据邻补角的定义来分析：既要其和是个平角（或180°），也要满足位置关系．
【详解】解：根据邻补角的定义可知，两个角的度数和是180度，且有一条公共边称这两个角互为邻补角，
∴如果两个角的和是平角时，那么这两个角不一定是邻补角.
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了邻补角的概念，比较简单．
11. 已知1.741，0.1741，则a的值是 _____．
【答案】0.00528
【解析】
【分析】根据立方根的小数点向左或向右移动1位，被开方数的小数点相应的移动3位即可得出结论．
【详解】解：∵0.1741=，
∴a=．
故答案为0.00528．
【点睛】本题考查立方根的小数点平移问题，掌握立方根的小数点平移性质是解题关键．,
12. 如图，第四象限内有一正方形，且，，将正方形平移，使A，C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的坐标是________
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．根据题意，分两种情况讨论：当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；分别根据轴、轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论如下：
当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
第四象限正方形中，，，
，
由点的纵坐标由到平移后为0，可知向上平移了个单位；由点的横坐标由到平移后为0，可知向左平移了个单位，
平移后点的对应点的纵坐标是，
平移后点的对应点的坐标是；
当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的横坐标为0，点的纵坐标为0，
在第四象限正方形中，，，
，
由点的横坐标可知向左平移了个单位，由点的纵坐标可知向上平移了个单位，
平移后点的对应点的横坐标是，
平移后点的对应点的坐标是；
综上所示，平移后点的对应点的坐标是或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：﹣+|1﹣|．
【答案】
【解析】
【分析】先分别化简各项，再作加减法．
【详解】解：原式＝5﹣4+﹣1＝．
【点睛】本题考查了实数混合运算，涉及算术平方根，立方根和绝对值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
14. 如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】依据OE⊥OF，∠DOF=70°，可得∠DOE=90°-70°=20°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD=2∠DOE=40°，最后依据对顶角相等得到∠AOC．
【详解】解：∵OE⊥OF，∠DOF=70°，
∴∠DOE=90°-70°=20°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=40°，
∴∠AOC=∠BOD =40°．
【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．
15. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程，即可求解；
（2）将（1）中结论带入，求出的值，再求立方根即可．
【小问1详解】
解：∵一个正数两个不同的平方根互为相反数，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：， ，
∴的立方根为3．
【点睛】本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出a的值是解题的关键．
16. 如图，，，与平行吗？为什么？
【答案】，证明见解析．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判断和性质，由得到．又由得到，即可得到．
【详解】解：．
理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）
（1）若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
（2）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等；求a的值及点A的坐标．
【答案】（1）A的坐标为：（0，）；（2）a=3，则点A（4，4）或a=1，则点A（2，2）．
【解析】
【分析】（1）根据点在y轴上，横坐标为0列式求出a的值，再确定A的坐标即可；
（2）根据 “点A到x轴的距离与到y轴的距离相等”可得|3a﹣5|=|a+1|，然后分情况解答即可．
【详解】解：（1）∵点A在y轴上，
∴3a﹣5=0，解得：a=，
∴a+1=，
∴点A的坐标为：（0，）；
（2）∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a﹣5|=|a+1|，
①3a﹣5=a+1，解得：a=3，则点A（4，4）；
②3a﹣5=﹣（a+1），解得：a=1，则点A（2，2）；．
【点睛】本题主要考查了平面坐标系内的点，掌握平面坐标系内点的特点成为解答本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点，，的位置；
（2）求出以，，三点为顶点的三角形的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意描出各点，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式计算，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：设点P（0，m），则，
∵点，，
∴AB=5，
∵以，，三点为顶点的三角形的面积为10，
当点P在AB的上方时，
，解得：m=5；
当点P在AB的上方时，
，解得：m=-3；
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．
19. 阅读下列文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值；
（3）已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根．
【答案】（1）3，
（2）
（3）±2
【解析】
【详解】（1）3
（2）∵，∴．
∴的整数部分为4，小数部分为．
∵，∴．
∴的整数部分为2，小数部分．
∴．
（3）∵，其中x是整数，且0＜y＜1，，
∴x＝14，．
∵，
∴m－1≥0，1－m≥0，
∴m只能为1．∴．
∴．
∴的平方根为±2．
20. 如图，，，，，．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）可知，然后问题可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足．
（1）求B点的坐标
（2）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
（3）若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
【答案】（1）B点坐标为（8，4）；
（2）D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
（3）四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a-2b=0，b-4=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
（2）分类讨论：当点D在AB上，和点D在BC上，根据题意列方程，解方程即可得到D点坐标；
（3）设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），则可根据三角形面积公式和计算得到=16，即四边形BQOP的面积在运动中不发生变化．
【小问1详解】
解：∵，
∴a-2b=0，b-4=0，
∴a=8，b=4，
∴B点坐标为（8，4）；
【小问2详解】
解：当点D在AB上，如图，
设D（m，4），则AD=m，BD=8-m，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（4+m）：（8-m+4+8）=2：3，
解得m=5.6，
∴D点坐标为（5.6，4）；
当点D在BC上，如图，
设D（8，n），则CD=n，BD=4-n，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（8+n）：（4-n+4+8）=2：3，
解得m=1.6，
∴D点坐标为（8，1.6），
综上所述，D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
【小问3详解】
解：四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．
如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），
=4×8-×8×（4-t）-×8×t
=16；
∴四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
22. 根据下列叙述填依据．
（1）已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
（2）根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
（3）如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
【小问1详解】
解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
【小问2详解】
解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
【小问3详解】
解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23. 已知点A（a，0），B（0，b），实数a、b满足.
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P的坐标是P（－2，x），且，且△PAB的面积为7，求x的值；
（3）如图，过点B作BC∥x轴，Q是x轴上点A左侧的一动点连接QB，BM平分∠QBA，BN平分∠ABC，当点Q运动时直接写出____________.
【答案】（1）A（2，0），B（0，－4）（2）－1（3）
【解析】
【分析】将A,B两点坐标带入式子中求解（2）过点H（－2，0）作直线M⊥x轴，过点B（0，－4）作y轴的垂线交直线M于点C，根据三角形的面积公式求解即可（3）根据角平分线的性质结合等量代换求解.
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴点A、B的坐标分别是A（2，0），B（0，－4）
（2）如图，过点H（－2，0）作直线M⊥x轴，过点B（0，－4）作y轴的垂线交直线M于点C ∵
∴三角形PAB的面积=
解方程得，满足
∴所求x的值是－1
（3）是动点，平分
MB是的角平分线，

【点睛】此题重点考查学生对实数的综合应用，掌握实数的应用是解题的关键.