湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟数学试卷及参考答案

这是一份湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟数学试卷及参考答案，共21页。试卷主要包含了已知椭圆，古希腊数学家特埃特图斯，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下面四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
2．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A．21B．22C．23D．24
4．已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ）
A．B．C．D．
5．已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D．数据12，23，35，47，61的75百分位数为47
10．如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（ ）

A．是等边三角形
B．若，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积的最小值为
D．四边形ABCD面积的最大值为
11．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AF为直径的圆与y轴相切
B．设，则周长的最小值为4
C．若，则直线l的斜率为或
D．x轴上存在一点N，使为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．曲线所围成的封闭图形的面积为 ．
13．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 ．
14．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：.
16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.
(1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
18．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线的方程.
(2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明：（，）.
参考答案：
1．D
【分析】先根据对数函数单调性求得，然后可判断最大项.
【详解】因为，即，
所以，，故B，C错误；
又，所以.
故选：D
2．D
【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：D
3．C
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.
【详解】依题意，，则，
又，则，，
等差数列的公差，因此数列单调递减，
，且，
即任意正整数，恒成立，
所以对任意正整数，都有成立的.
故选：C
4．A
【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得.
【详解】因为，所以，
又由，
所以.
所以
所以，又因为在中，，所以.
故选：A
5．B
【分析】建立坐标系，先把转化为，其中，再利用两点之间线段最短求解.
【详解】如图：建立平面直角坐标系.则，,取.设
则.
所以，
又.
故选：B
6．A
【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.
【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．
故选：A．
7．D
【分析】作，利用椭圆和双曲线定义可表示出，由，可得点的横坐标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此时的值.
【详解】如图，作，垂足为M，
根据椭圆与双曲线的定义可得，
解得，
由，可得点的横坐标为，
即，
由勾股定理可得，
整理得，即，
，当且仅当时等号成立，
.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，属于中档题.
8．A
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据，结合向量坐标运算，即可求得答案.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选：A.
【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.
9．ABD
【分析】对于A，利用中位数和平均数的性质，结合图形分析即可判断；对于B，根据决定系数的定义判断，对于C，设，，，，，，举出反例即可；对于D，利用百分位的定义判断即可.
【详解】对于A，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，，大致如图所示：

由于右边“拖尾时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时样本数据的平均数大于中位数，故A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；
对于C，不妨设，，，，，，则，解得，此时，故找到一组数，，4，，，数据中有大于5的数，C错误；
对于D，由，故这组数据的上四分位数为47，D正确．
故选：ABD
10．ABD
【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.
【详解】，
根据正弦定理得，
即，
，显然，则，根据题意，有，
又，可得，，为等边三角形，故A正确；
，，在中，，
当时，，，即，
A，B，C，D共圆，B正确．
又，
四边形ABCD面积，
，，
，则，
所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误．
当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【分析】A选项，求出抛物线方程，作出辅助线，由抛物线定义求出，得到A正确；B选项，表达出周长，数形结合当A，C与点Q三点共线时，求出最小值；C选项，设直线AB的方程为，联立，设，，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求解得到答案；D选项，设，表达出，即存在点使得为定值0，故D项正确．
【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则，
所以抛物线，
如图，取AF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，
所以以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确；
B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，，
根据抛物线的定义可得，
所以周长为，
由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值，
最小值为Q到准线的距离为，
所以，
所以周长的最小值是，故B错误；
C选项，设直线AB的方程为，
联立，整理可得：，易知，
设，，
可得，，
∵，，解得，，
，解得，
，因此C正确；
D选项，设在x轴上存在一点，
则
，
故当时，，即存在点使得为定值0．故D项正确．
故选：ACD．
【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.
12．
【分析】首先判断曲线关于轴，轴对称，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积.
【详解】对于曲线，
在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称，
将x换成得，即曲线关于y轴对称，
因此只需考虑在第一象限的情形，
当，时曲线即，即，
所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形，
根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分，
所以所围成的封闭图形的面积．
故答案为：.
13．
【分析】根据定义，在双曲线上设点,求出旋转后点的坐标，然后反求出的坐标，再代入双曲线方程，化简即得.
【详解】在双曲线：上任取一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点
，即，在曲线上设点，
则有反求出，得：
因点在双曲线：上，故得：
，整理得：，故曲线的方程为
故答案为：
14．0，
【分析】利用导数研究函数的图象，结合题意可知其中一个极值点就是零点才能满足函数恰好有2个零点的情况，再分类讨论即可得解.
【详解】由于，所以，
由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根，
所以的图象呈先增，再减，再增的趋势，
所以其中一个极值点就是零点，假设，
即是极值点又是零点，如下图：
则，此时的极大值刚好为，
即是极值点又是零点，如下图：
则，即，
设为极大值点，则，即，
显然，则，
整理得，又，所以；
此时的极大值为，
故答案为：0，.
15．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；
（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．
【详解】（1）设的公差为，则，，
又，所以，
所以，．
（2）由（1）得，
所以．
16．(1)；
(2)分布列见详解；
【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；
（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.
【详解】（1）由图可知，，
解得，
该村村民成绩的平均数约为
；
（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在的村民有人，
成绩在的村民有4人，
从中任选3人，的取值可能为1,2,3，
，，，
则的分布列为
故
17．(1)证明见解析．
(2)
【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；
（2）用空间向量法求二面角．
【详解】（1）取中点，连接，如图，
因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，
所以，，从而有，
又，所以是矩形．
又，所以，所以，即是等腰直角三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
，所以，
所以平面平面；
（2）设平面的一个法向量是，
则，取得，
设二面角的大小为，由图知为锐角，
所以．
18．(1)
(2)过定点，定点坐标为
【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；
（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.
【详解】（1）点到圆上点的最大距离为，即，得,
故抛物线的方程为.
（2）设，则方程为，方程为,
联立与抛物线的方程可得，即,
因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，
则点坐标为,同理可得点坐标为,
因此直线的斜率为,
代入点坐标可以得到方程为,
整理可以得到,因此经过定点.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案；
（2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到，求出的求值范围；
（3）由（2）可知，当时，，所以，…，，相加后得到结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由前面几问中的特征式的特征而得到.
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