2024年湖南省长沙市六校联考高考数学模拟试卷-普通用卷

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这是一份2024年湖南省长沙市六校联考高考数学模拟试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x|2x−1>0}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩B=( )
A. {x|012}D. {x|x>2}
2.已知向量a=(2,t)，b=(t+3,2)，且a//b，则实数t=( )
A. 1或4B. 1或−4C. 14或1D. −14或1
3.为了得到函数y=3sin(x−π5)的图象，只要把y=3sin(x+π5)上所有的点( )
A. 向右平行移动π5的单位长度B. 向左平行移动π5的单位长度
C. 向右平行移动2π5的单位长度D. 向左平行移动2π5的单位长度
4.“a=±3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若α，β∈(π2,π)，且sinα=2 55，sin(α−β)=−35，则sinβ=( )
A. −11 525B. − 55C. 55D. 11 525
6.若(ax−1 x)6展开式的常数项为60，则a的值为( )
A. 4B. ±4C. 2D. ±2
7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)( )
A. 72B. 74C. 76D. 78
8.已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且MF1=2F1N，MF2⋅MN=0，则椭圆C的离心率为( )
A. 34B. 23C. 53D. 74
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则( )
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C54⋅C41种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C52⋅A44种不同的放法
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=1，a2+c2−b2=ac，sin2B=3sinAsinC，则( )
A. B=π3B. ac=13
C. △ABC的面积为 34D. △ABC的周长为 2+1
11.已知函数f(x)=xex+ax(a∈R).则下列说法正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)min=−1e
B. 当a=1时，直线y=2x与函数f(x)的图象相切
C. 若函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则a≥0
D. 若在区间[0,1]上f(x)≤x2恒成立，则a<1−e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)过点(−2,1)，则其渐近线方程为______.
13.已知复数z满足z=1+2i，则|z|=__________.
14.立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术⋅商功》，在《九章算术⋅商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，
再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图，
现有一四面体ABCD，已知AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC= 13，AD= 29，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为__________，及该四面体的外接球的体积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=10，S3=9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{2anan+1}的前n项和为Tn，求T1011.
16.(本小题15分)
如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA.
(1)求证：QB//平面PDC；
(2)求二面角C−PB−D的大小．
17.(本小题15分)
要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为23，笔试考试成绩每次合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率；
(3)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，A1A2分别为椭圆C的左、右顶点，点P(2,−1)满足PA1⋅PA2=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+3(a∈R).
(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当a=0时，若xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，求整数k的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|2x−1>0}={x|x>12}，B={x|x(x−2)<0}={x|0所以A∩B={x|12故选：B.
解不等式，化简集合A、B，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a=(2,t)，b=(t+3,2)，且a//b，
所以2×2−t(t+3)=0，
解得t=1或−4.
故选：B.
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出t的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理应用问题，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：平移后的函数的初相是：−π5，
平移前的初相是π5，
∵−π5−π5=−2π5.
∴为了得到函数y=3sin(x−π5)的图象，只要把y=3sin(x+π5)上所有的点：向右平行移动2π5的单位长度．
故选：C.
利用平移后的初相减去平移前的初相，即可得到平移的方向与平移的单位．
本题考查函数的图象的平移变换，解题方法需要注意，必须是函数同名，ω相同，平移后与平移前的初相差值为负，函数的图象向右平移，差值为正，向左平移．
4.【答案】A
【解析】解：圆x2+y2=1圆心(0,0)，半径为r=1；
圆(x+a)2+y2=4圆心(−a,0)，半径为r=2；
当两圆相切时，可分为内切和外切两种，
圆心距为 (0+a)2+0=|a|，
①当两圆外切时：|a|=1+2=3，即a=±3.
②当两圆内切时：|a|=2−1=1，即a=±1.
则根据充分条件和必要条件的判定原则，
可知“a=±3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的充分不必要条件．
故选：A.
根据圆与圆的位置相切关系和充分不必要条件的判断即可．
本题考查的知识点：圆与圆的位置关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵α，β∈(π2,π)，且sinα=2 55，∴csβ=− 1−sin2β=− 55，
∵sin(α−β)=−35，∴α−β∈(−π2,0)，∴cs(α−β)= 1−sin2(α−β)=45，
则sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)=2 55×45+ 55×(−35)= 55，
故选：C.
由题意利用同角三角函数的基本关系式，两角差的正弦公式，求得sinβ=sin[α−(α−β)]的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：二项展开式的通项为Tk+1=C6k⋅(ax)6−k⋅(−1 x)k=C6k⋅(−1)ka6−k⋅x6−32k.
令6−32k=0，得k=4.
由题意可得C64⋅a2=15a2=60，因此，a=±2.
故选：D.
利用二项式定理写出展开式的通项，令x的指数为零，得出参数的值，再将参数的值代入通项解关于a的方程即可．
本题考查二项式定理的应用，解本题的关键在于将二项展开式的通项写出来，考查公式的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得，0.5D1818=0.4，解得D=45，
由题意可知，0.5×(45)G18<0.2，即G18>lg25lg45=lg2−lg5lg4−lg5=lg2−(1−lg2)2lg2−(1−lg2)=2lg2−13lg2−1≈2×0.3010−13×0.3010−1，解得G≈74.
故选：B.
根据已知条件，先求出D=45，令0.5×(45)G18<0.2，再结合对数公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数公式是解本题的关键，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：连接NF2，设|NF1|=n，则|MF1|=2n，|MF2|=2a−2n，|NF2|=2a−n，
∵MF2⋅MN=0，即MF2⊥MN，
在Rt△MNF2中，|MN|2+|MF2|2=|NF2|2，即(3n)2+(2a−2n)2=(2a−n)2，
∴9n2+4a2−8an+4n2=4a2−4an+n2，
∴12n2=4an，则n=a3，
∴|MF1|=2a3，|MF2|=4a3，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，即4c2=4a29+16a29，
∴36c2=20a2，e2=2036=59，
又∵e∈(0,1)，
∴e= 53.
故选：C.
设|NF1|=n，结合椭圆的定义，在Rt△MNF2中利用勾股定理求得n=a3，在Rt△MF1F2中利用勾股定理求得36c2=20a2，可求椭圆C的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，每个小球有4种放法，则五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，A正确；
对于B，将5个小球分为4组，放入4个盒子，有C52A44种放法，B错误；
对于C，先在5个小球种选出4个，放入4个盒子的一个盒子，有C54⋅C41种放法，C正确；
对于D，将5个小球分为4组，放入4个盒子，有C52A44种放法，D正确；
故选：ACD.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由余弦定理知，csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
因为B∈(0,π)，所以B=π3，
由正弦定理及sin2B=3sinAsinC，知b2=3ac，所以ac=13，
所以△ABC的面积为12acsinB=12×13× 32= 312，
因为a2+c2−b2=ac，所以b2=1=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(a+c)2−1，即a+c= 2，
所以△ABC的周长为 2+1.
故选：ABD.
先由余弦定理求得csB的值，从而知角B，再利用正弦定理化角为边，可得ac的值，然后结合三角形面积公式求得S，利用配方法，得a+c的值，即可．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，当a=0时，f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，
当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，
当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(−1)=−1e，故选项A正确；
对于B，当a=1时，f(x)=xex+x，f′(x)=(x+1)ex+1，
∴f′(0)=2，
所以函数f(x)在(0,0)处的切线方程为y=2x，故选项B正确；
对于C，f′(x)=(x+1)ex+a，若函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，
则f′(x)=(x+1)ex+a≥0区间[0,+∞)上恒成立，
即a≥−(x+1)ex在[0,+∞)上恒成立，
令g(x)=−(x+1)ex，x≥0，
则g′(x)=−(x+2)ex<0，∴函数g(x)在[0,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(0)=−1，∴a≥−1，故选项C错误；
对于D，当x=0时，f(x)≤x2恒成立，此时a∈R；
当x∈(0,1]时，f(x)≤x2恒成立等价于xex+ax≤x2恒成立，
即a≤x−ex恒成立，
设h(x)=x−ex，0则h′(x)=1−ex<0在x∈(0,1]上恒成立，
∴h(x)=x−ex在x∈(0,1]上单调递减，
∴h(x)min=h(1)=1−e，
∴a≤1−e，
综上所述a≤1−e，故选项D错误．
故选：AB.
对于A，求导函数后根据单调性即可得出结果；
对于B，求导后将x=0代入求出切线斜率，继而求得切线方程；
对于C，即f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，分离参数求解即可；
对于D，分为x=0和x∈(0,1]两种情况进行讨论，当x=0时，f(x)≤x2恒成立；当 x∈(0,1]时，f(x)≤x2恒成立等价于xex+ax≤x2恒成立，分离参数转化为最值问题求解即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值，最值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】x±y=0
【解析】解：因为双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)过点(−2,1)，
即有4a2−13=1，解得a= 3或a=− 3(舍)，而b= 3，
故渐近线方程y=±bax=±x，即x±y=0.
故答案为：x±y=0.
由双曲线经过(−2,1)可求得a，从而即得渐近线方程．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】【分析】
本题考查复数的模的求法，考查运算求解能力，是基础题．
利用复数的模的性质直接求解．
【解答】
解：∵复数z满足z=1+2i，
∴|z|= 1+4= 5.
故答案为： 5.
14.【答案】4 ； 29 29π6
【解析】【分析】
本题考查几何体及其外接球的体积的求法，考查资料阅读和解决问题的能力，属于中档题.
根据资料可得“鳖臑”的由来将其还原成长方体即可求解体积，及四面体的外接球半径R，从而可得球的体积.
【解答】
解：根据资料可得“鳖臑”的由来是将长方体分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分解成两部分可得.
由已知AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC= 13，AD= 29，
还原成长方体，如图，
从还原的长方体可以看出，四面体的体积：VD−ABC=13S△ABC⋅CD=13×12×2×3×4=4；
长方体的体对角线即为2R，
可得2R= 29，
∴R= 292，
得球的体积：V=43πR3=29 29π6.
故答案为：4；29 29π6.
15.【答案】解：(1)因为{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d，
由题意得：a2+a4=(a1+d)+(a1+3d)=2a1+4d=10，
S3=a1+a2+a3=3a1+3d=9，
联立解得：d=2，a1=1，
所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an=1+2(n−1)=2n−1.
(2)由上问可知，数列{an}是公差为2的等差数列，通项公式an=2n−1.
所以2anan+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，
从而可得Tn=(11−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)，
从而可得T1011=(11−13+13−15+⋅⋅⋅+12×1011−1−12×1011+1)，
T1011=1−12023=20222023.
【解析】(1)利用等差数列的相关公式求解公差和首项，写出等差数列通项公式即可；
(2)表示出数列{2anan+1}，利用裂项相消法，求和即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：∵AB//CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，
∴AB//平面PDC，
∵QA//PD，PD⊂平面PDC，QA⊄平面PDC，
∴QA//平面PDC，
∵AB∩QA=A，AB、QA⊂平面PDC，
∴平面QAB//平面PDC，
∵QB⊂平面QAB，∴QB//平面PDC.
(2)解：以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=PD=2QA=2，
则C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
DP=(0,0,2)，DB=(2,2,0)，CB=(2,0,0)，CP=(0,−2,2)，
设平面CPB的法向量m=(x,y,z)，
则CB⋅m=2x=0CP⋅m=−2y+2z=0，取y=1，得m=(0,1,1)，
设平面PBD的法向量n=(a,b,c)，
则DP⋅n=2c=0DB⋅n=2a+2b=0，取a=1，得n=(1,−1,0)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=−1 2⋅ 2=−12，
设二面角C−PB−D的大小为θ，由图知θ为锐角，
∴csθ=12，∴θ=π3.
【解析】(1)推导出AB//平面PDC，QA//PD，QA//平面PDC，QB//平面PDC，由此能证明QB//平面PDC.
(2)以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C−PB−D的大小．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1，“笔试补考合格”为事件B2.
(1)不需要补考就获得证书的事件为A1⋅B1，注意到A1与B1相互独立，
则P(A1⋅B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13.
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.
(2)恰好补考一次的事件是A1A2B1+A1B1B2
则P(A1A2B1+A1B1B2)=P(A1A2B1)+P(A1B1B2)
=13⋅23⋅12+23⋅12⋅12=518
(3)由已知得，ξ=2，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(ξ=2)=P(A1⋅B1)+P(A1⋅A2)=23×12+13×13=49
P(ξ=3)=P(A1⋅B1⋅B2)+(A1⋅B1⋅B2)+P(A1⋅A2⋅B1)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=49
P(ξ=4)=P(A1⋅A2⋅B1⋅B2)+P(A1⋅A2⋅B1⋅B2)
=13×23×12×12+13×23×12×12=19
参加考试次数ξ的期望值Eξ=2×49+3×49+4×19=83
【解析】本题主要考查了相互独立事件的概率的求解公式的运用：若事件A，B相互独立，则A与B，A与B,A与B相互独立；P(AB)=P(A)P(B)；还考查了对一些复杂事件的分解：即对一个事件分解成几个互斥事件的和，本题是把相互独立与互斥结合的综合考查．
设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1，“笔试补考合格”为事件B2
(1)不需要补考就获得证书的事件为．A1⋅B1，且A1与B1相互独立，根据相互独立事件的概率公式可求;
(2)他恰好补考一次就获得证书，即为事件A1A2B1+A1B1B2，根据相互独立事件与互斥事件的概率公式可求
(3)由已知得，ξ=2，3，4，而ξ=2即为A1⋅B1+A1⋅A2;ξ=3即为A1⋅B1⋅B2+A1⋅B1⋅B2+A1⋅A2⋅B1;ξ=4，即为A1⋅A2⋅B1⋅B2+A1⋅A2⋅B1⋅B2.
18.【答案】解：(Ⅰ)依题意，A1(−a,0)、A2(a,0)，又P(2,−1)，
∴PA1=(−a−2,1)，PA2=(a−2,1)，
则由PA1⋅PA2=(−a−2,1)⋅(a−2,1)=5−a2=1，
解得a=±2，又a>0，得a=2，
∵e=ca= 32，∴c= 3，
∴b2=a2−c2=1，
故椭圆C的方程为x24+y2=1；
(Ⅱ)假设存在满足条件的点Q(t,0).
当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．
因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k(x−2)，
由y+1=k(x−2)x24+y2=1，消取y得，(1+4k2)x2−(16k2+8k)x+16k2+16=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则
x1+x2=16k2+8k1+4k2，x1x2=16k2+16k1+4k2，
∵kQM+kQN=y1x1−t+y2x2−t=(kx1−2k−1)(x2−t)+(kx2−2k−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)
=2kx1x2−(2k+1+kt)(x1+x2)+2(2k+1)tx1x2−t(x1+x2)+t2=(4t−8)k+2t4(t−2)2k2+8(2−t)k+t2，
∴要使对任意实数k，kQM+kQN为定值，则只有t=2，此时，kQM+kQN=1.
故在x轴上存在点Q(2,0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.
【解析】(Ⅰ)依题意求得PA1与PA2的坐标，利用PA1⋅PA2=1求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；
(Ⅱ)假设存在满足条件的点Q(t,0).当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k(x−2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率公式求解kQM+kQN=(4t−8)k+2t4(t−2)2k2+8(2−t)k+t2，可得要使对任意实数k，kQM+kQN为定值，则只有t=2，此时，kQM+kQN=1.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=−12时，f(x)=lnx−12x2+3，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=1x−x=1−x2x，
令f′(x)>0，即0令f′(x)<0，即x>1，f(x)单调递减；
所以f(x)在x=1处取得极大值即f(1)=52，无极小值．
(Ⅱ)f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，
①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a<0时，
当x∈(0,− −2a2a)时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈(− −2a2a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,− −2a2a)上单调递增，在(− −2a2a,+∞)上单调递减．
(Ⅲ)xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，
即k令F(x)=xlnx+3x−2x−1，则F′(x)=x−lnx−2(x−1)2.
令m(x)=x−lnx−2，
则m′(x)=1−1x=x−1x>0在x>1上恒成立，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，且m(3)=1−ln3<0，m(4)=2−ln4>0，
所以m(x)在(1,+∞)上存在唯一实数b∈(3,4)，使得m(b)=0.
当x∈(1,b)时，m(x)<0，即F′(x)<0；
当x∈(b,+∞)时，m(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在(1,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，
所以F(x)min=F(b)=blnb+3b−2b−1=b(b−2)+3b−2b−1=b+2∈(5,6)，
故k【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的综合应用能力，属中档题．
(Ⅰ)求出f′(x)=1x−x=1−x2x，分别令f′(x)>0和令f′(x)<0，即可求出f(x)单调增区间和单调减区间，进而得出f(x)极值；
(Ⅱ)求出f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，然后分类讨论①a≥0和②a<0，函数f(x)的单调性即可；
(Ⅲ)根据已知式子进行变量分离可转化为k

2024年湖南省长沙市六校联考高考数学模拟试卷-普通用卷

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