2024年江西省抚州市临川区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年江西省抚州市临川区中考一模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题每小题只有一个正确选项．，填空题，八年级学生成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1．3的相反数的绝对值是（ ）
A．B．C．-3D．3
2．下列计算正硧的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞﹣1且m≠0
4．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为
A．10米B．12米C．15米D．22.5米
5．如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）

A．20°B．25°C．30°D．50°
6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，；其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7．因式分解： ．
8．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
9．已知方程的两根分别是和，那么的值为 ．
10．如图，是矩形的边上一点，射线交的延长线于点，已知，则的长为 ．
11．如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ．
12．如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解不等式组：．
（2）先化简，再求值，其中．
14．图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长．
15．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
(2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
16．“抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D．
(1)小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率．
17．如图，已知直线交轴，轴于，两点，动点在直线上，且满足：．

(1)直接写出直线的解析式为：__________；
(2)若反比例函数的图象与直线相交于、两点，连接，，已知点的横坐标为，求的面积．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18．为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价；
(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于228万元，求B型车至少销售多少辆？
19．如图1，一个纸筒被安装在竖直的墙面上，图2是其侧面示意图，其中，，，纸筒盖可以绕着点C旋转，关闭时点P与点F重合，，，，．
图1 图2
(1)若，求纸筒盖关闭时点P运动的路径长．
(2)纸筒盖处于关闭状态，当一卷底面直径为的圆柱形纸巾能放入纸筒内时，问纸筒盖绕点C至少要旋转多少度？（结果保留整数，参考数据：，，）
20．（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．

从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21．为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从九年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
九年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
九、八年级学生成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校九、八年级共640名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？
22．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出：如图，正方形中，，为对角线上的一个动点，以为直角顶点，向右作等腰直角．
(1)操作发现：的最小值为_______，最大值为_______；
(2)数学思考：求证：点在射线上；
(3)拓展应用：当时，求的长．
六、（本大题共12分）
23．定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15 B．16 C．24 D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级
85.2
86
b
62.1
八年级
85.2
a
91
55.3
1．D
【分析】根据相反数和绝对值的定义求解．
【详解】解：3的相反数是-3；-3的绝对值是3
∴3的相反数的绝对值是3
故选：D．
【点睛】本题考查相反数和绝对值的概念，认真审题掌握和理解相关概念是解题关键．
2．B
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，完全平方公式和多项式除以单项式，根据相关运算法则计算出各选项结果后再进行判断即可
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B符合题意；
C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意；
故选：B
3．D
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞﹣1且，
∴m的取值范围为m＞﹣1且．
∴当m＞﹣1且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关键．
4．A
【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此，
∵，即，∴楼高=10米．故选A．
5．C
【分析】根据作图可知平分，根据平行线的性质，求出的度数，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图—作角平分线．解题的关键是根据作图方法，得到平分．
6．D
【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线的对称性方程可得 由抛物线的图象过点，可得 从而可得 结合＜可判断②，由 可得 可判断③，由函数的最大值可判断④，从而可得答案．
【详解】解： 图像开口向下，
＜
＞
＞
函数图像与轴交于正半轴，
＞
＜ 故①符合题意；
抛物线的对称轴为：
抛物线的图象过点，


＜
＞
＜ 故②符合题意；
由
故③符合题意；
当时，函数有最大值
当，
，
，故④符合题意．
故选：
【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．
【详解】解：=；
故答案为
8．（-3，4）
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
9．10
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：10．
10．2
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
11．##
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得．
【详解】解：连接，如图，
，
为的直径，即，
，
设该圆锥的底面圆的半径为，
∴，
解得，
即该圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
12．或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
13．（1）；（2），
【分析】本题考查了解不等式组以及分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别解出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，然后约分化简，得出，再把代入，进行分母有理化，即可作答．
【详解】解：（1），
解不等式①得，；
解不等式②得，，
不等式组的解集为
（2）解：原式
当时，原式
14．
【分析】本题考查了正方形的性质以及勾股定理，旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得出，运用勾股定理列式，结合旋转性质得，，然后结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：四边形正方形
为的中点；
；
又绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键．
（1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，利用可得点M即为所求；
（2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论．
【详解】（1）解：如图1，点M为所求作；
（2）解：如图2，点N即为所求作：
16．(1)随机
(2)
【分析】本题考查了事件的分类以及画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据随机事件的定义：发生的概率在之间的事件为随机事件，进行作答即可．
（2）依题意，画树状图，得出一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，小强抽一次签，他恰好抽到A景区是随机事件，
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下所示．
一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，
小强、小红恰好抽到同一景点的概率为
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，直接可得直线的解析式；
（2）根据直线的解析式为：，分别令，，求得 ，进而得出，联立双曲线与直线解析式，得出，进而根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵动点在直线上，且满足：．
∴直线的解析式为：
（2）当时，，
，
∵点的横坐标为，当时，，
，
，
令，解得，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，交点问题，求三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
18．(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元
(2)B型车至少销售6辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结果．
【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是万元，每辆B型车的售价是万元，
根据题意得：，解得：
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
（2）解：设销售B型车辆，则销售A型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为6．
答：B型车至少销售6辆．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质得到，由勾股定理求出的长，由弧长公式即可解决问题；
（2）由锐角的正弦求出的度数，由等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解： ，，，
，，，
．
如图1，连接，由勾股定理，得．
，
∴纸筒盖关闭时需绕着点C逆时针旋转30°，
∴点P运动的路径长为．
图1
（2）解：如图2，连接，，，．
当时，圆柱形纸巾恰好能放入纸筒内．
，，
，，
．
，
，
，
∴纸筒盖绕点C至少要旋转．
图2
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，轨迹，等腰三角形的性质，弧长的计算，旋转的性质，关键是由旋转的性质得到；由等腰三角形的性质，锐角的正弦求出的度数．
20．（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）
【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；
（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
与相切，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
21．(1)87.5，86，40
(2)八年级成绩较好，详见解析
(3)估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人
【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据扇形信息，用分别乘上组、组的占比，得出组2人，组3人，结合中位数、众数的定义进行作答即可．
（2）运用中位数进行作决策，即可作答．
（3）用640乘上本次调查的（90分及以上）的比值，即可作答．
【详解】（1）解：由题意可知，八年级组有：（人），
组有：（人），
∵把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，
故中位数；
∵在被抽取的九年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，
故众数；
，
故．
故答案为：87.5，86，40；
（2）解：八年级成绩较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数比九年级的高，所以八年级成绩较好；
（3）解：（人），
答：估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有224人．
22．(1)8，
(2)见解析
(3)当时，
【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大．
（2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，只需证明，利用三点构成的平角为时处在同一条直线上即可证明．
（3），利用即可求解．
【详解】（1）如图2，由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合，
∴．
由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：，
则；
（2）连接，连接交于点，则是等腰直角三角形．
①如图2，当点在线段上时，

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴点在线段的延长线上．
②如图3，当点在线段上时，

同理．
∴．
∴．
∵点在线段上．
综上所述，点在射线上上．
（3）如图2，设，
∵正方形边长为8，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴当时，．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键灵活运用这些知识点．
23．(1)
(2)①；4；②AC；③
【分析】（1）根据定义，令，解方程即可求解；
（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令，解方程即可求解；
②由题意可设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，令，得出抛物线的“反碟长”为，根据抛物线的“反碟长”是一个偶数，是整数，结合选项即可求解；
③由②可知，，过点作于点，则，，根据是等边三角形，得出，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C正确．
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，
则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．