广东省江门市怡福中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市怡福中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．25的算术平方根是（ ）
A．B．5C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，已知//，，，则∠BCD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．60°D．50°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．的平方根是
D．无理数的相反数是有理数
7．已知是方程的一个解，则k的值是（ ）
A．2B．C．1D．
8．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组少5人，设课外小组的人数为x，分成的组数为y．依题意可得方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：
①若，则不等式组的解集为；
②若，则不等式组无解；
③若不等式组无解，则a的取值范围为；
④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是．
其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．在实数﹣2、0、﹣1、2、中，最小的是 ．
12．在第二象限的点满足，则点P的坐标是 ．
13．已知，满足方程组，则 的值为 ；
14．若，则的平方根是 ．
15．将一张长方形纸片ABCD（长方形的四个内角都是直角）按如图所示操作
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处；
（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1MAB，则∠DP1M的度数等于 ．
三、解答题（第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
18．如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是．
(1)坐标原点应为____________的位置．
(2)在图中画出此平面直角坐标系；
(3)校门在第____________象限；图书馆的坐标是____________；操场的坐标是____________．
(4)若宿舍楼的坐标是，并在图上标出来．
四、解答题（每题9分，共27分）
19．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根．
20．在平面直角坐标系中，已知点、点．
(1)若直线平行于y轴，求m的值．
(2)将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C，当点C正好在x轴上时，求点C的坐标．
(3)在（2）的条件下，在y轴上确定点P，使得的面积为18，直接写出点P的坐标____________．
21．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．

(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
五、解答题（每题12分，共24分）
22．夏季来临后，某电器超市的电风扇销量增长很快，该超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，表格是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1240元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论．
销售时段
销售数量
销售额
A种型号
B种型号
第一天
3台
5台
1650元
第二天
4台
10台
2800元
1．C
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】在平面直角坐标系中，点在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2．B
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴25的算术平方根是5．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根 ，如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根．
3．B
【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键．根据算术平方根及立方根可直接进行求解．
【详解】解：A、，原选项错误，故不符合题意；
B、，原选项正确，故符合题意；
C、，原选项错误，故不符合题意；
D、，原选项错误，故不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．根据不等式的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：A、若，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，选项说法错误，不符合题意；
C、若，则，选项说法错误，不符合题意；
D、若，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【详解】解：延长ED交BC于M，
∵//，
∴，
∵，
∴，
由外角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，运用了平行线的性质、 邻补角的关系、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
6．A
【分析】本题主要考查了命题、无理数的定义，平行线的性质，垂线公理，算术平方根及平方根的定义，理解正确的命题是真命题，并熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据无理数的定义，平行线的性质，算术平方根及平方根的定义，垂线公理，命题的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B是真命题，符合题意；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故B是假命题，不符合题意，
C．的平方根是，故C是假命题，不符合题意；
D．无理数的相反数是无理数，故D是假命题，不符合题意；
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，然后解关于k的方程即可求出k的值．
【详解】解：把代入，
，
∴．
故选A．
8．D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．B
【分析】本题考查列二元一次方程组，找出等量关系列出方程组是解题的关键．注意x，y的含义不要搞错了，避免思维定势．根据“若每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组少5人”列出方程组即可．
【详解】解：设课外小组的人数为x，分成的组数为y．
∵每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有5人，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集是解题关键．根据一元一次不等式组的解集逐个判断即可得．
【详解】解：①若，则不等式组的解集为，原结论正确；
②若，则不等式组无解，原结论正确；
③若不等式组无解，则的取值范围为，原结论错误；
④若不等式组只有两个整数解，则，原结论正确；
综上，正确的结论的序号是①②④，
故选：C．
11．﹣2．
【详解】解：在实数﹣2、0、﹣1、2、中，最小的是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查实数大小比较．
12．
【分析】此题考查了绝对值的性质和平方根以及平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号．点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标．
【详解】解：∵，
，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴点P的坐标是．
故答案为：．
13．
【分析】观察方程组可得，只要把两个方程相加即可得到 的值．
【详解】解：，
①②得，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求两个未知数的和或差时，有时可把两个方程直接相加或相减，而不必求出两个未知数的特殊值．
14．
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
解得，
，
，
的平方根是，
故答案为：．
15．112.5°
【分析】根据折叠的性质、直角三角形的两锐角互余及三角形的内角和是180°求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，将DA沿DP向内折叠，再将DP沿DA1向内继续折叠，P1M⊥AB，
∴∠P1MA＝90°，
∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，
在△ADM中，
∵∠A＝90°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DMA＝45°，
∵矩形ABCD，将DA沿DP向内折叠，再将DP沿DA1向内继续折叠，
∴∠ADP＝∠PDM＝∠MDP1＝∠ADM＝22.5°，
在△MDP1中，
∠DP1M＝180°﹣∠DMP1﹣∠MDP1＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故答案为：112.5°．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角及折叠的性质，熟记折叠的性质、直角三角形的两锐角及三角形的内角和是180°是解题的关键．
16．（1）2；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用二次根式、绝对值分别运算即可求解；
（2）利用代入消元法解答即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
由①得：，
将③代入②得：，
解得：，
将代入③得：，
．
17．，数轴见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．根据不等式的性质，分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集，画出数轴即可．
【详解】解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以不等式组的解集为．
18．(1)高中楼
(2)见解析
(3)四，，
(4)见解析
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键．
（1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案；
（2）由（1）即可得到答案；
（3）根据坐标系中的位置即可得到答案，
（4）根据坐标系解答即可．
【详解】（1）解：初中楼的坐标是，实验楼的坐标是，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，
即坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼；
（2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
（3）解：由坐标系可知，校门在第四象限，
图书馆的坐标为，
操场的坐标为，
故答案为：四，，；
（4）解：宿舍楼如图所示，
19．(1)
(2)2
【分析】本题考查同解方程组、解二元一次方程组及平方根和立方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据题意，联立，解方程组可求得x，y的值，即为所求．
（2）将代入，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n，进而可求a和b的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，
联立，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得．
∴这个相同的解为．
（2）解：将代入，
得，
③④，得，
把代入③，得，
解得．
∴，
∴；
∴，即，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2．
∴的算术平方根为2．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直线平行于y轴，则点A点B的横坐标相等，据此建立方程求解即可；
（2）根据平移法则得到平移后，再根据点C正好在x轴上，即纵坐标为0，得到，求解即可得到m的值，即可求解；
（3）求出的长，设点，根据求解即可．
【详解】（1）解：，直线平行于y轴，
点A点B的横坐标相等，即，
解得：；
（2）解：将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C，
即，
点C正好在x轴上，
，
解得：，
，
；
（3）解：，，
，
点P在y轴上，
设点，
，
，
，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了三角形的面积，平移变换的性质，坐标系中点的特征，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）由（1）可得，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得
∵，
∴，
∴，
∴，即①，
又∵②
∴①②联立可得，．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理是解答本题的关键．
22．(1)A种型号的电风扇的销售单价是250元，B种型号的电风扇的销售单价180元；
(2)A种型号的电风扇最多能采购18台；
(3)符合条件的方案有两种：
①A种型号的电风扇采购17台，B种型号的电风扇采购13台；
②A种型号的电风扇采购18台，B种型号的电风扇采购12台．
【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价是x元，B种型号的电风扇的销售单价y元，可得：，即可解得A种型号的电风扇的销售单价是250元，B种型号的电风扇的销售单价180元；
（2）设A种型号的电风扇采购m台，则B种型号的电风扇采购（30−m）台，根据用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇，得200m＋150（30−m）≤5400，即可解得A种型号的电风扇最多能采购18台；
（3）由题意得（250−200）m＋（180−150）（30−m）≥1240，结合（2）可得：17≤m≤18，即可得到答案．
【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价是x元，B种型号的电风扇的销售单价y元，
根据表格可得：，
解得，
答：A种型号的电风扇的销售单价是250元，B种型号的电风扇的销售单价180元；
（2）设A种型号的电风扇采购m台，则B种型号的电风扇采购（30−m）台，
∵用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇，
∴200m＋150（30−m）≤5400，
解得m≤18，
答：A种型号的电风扇最多能采购18台；
（3）能实现利润不少于1240元的目标，理由如下：
若超市销售完这30台电风扇利润不少于1240元，
则（250−200）m＋（180−150）（30−m）≥1240，
解得m≥17，
结合（2）可得：17≤m≤18，
∵m是整数，
∴m可取17或18，
∴符合条件的方案有两种：
①A种型号的电风扇采购17台，B种型号的电风扇采购13台；
②A种型号的电风扇采购18台，B种型号的电风扇采购12台．
【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
23．(1)
(2)存在时，使得的面积是的面积2倍
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论；
（2）先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由运动知，，
∴，
∵，
∴，，
∵的面积是的面积2倍，
∴，
∴，
∴存在时，使得的面积是的面积2倍；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵y轴平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过点H作交x轴于F，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．