2024年浙江省杭州市九年级中考数学一模备考热身卷（解析版）

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一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，据了解，亚运会期间，
杭州将接待国内游客18480000至22700000人次，前一个数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：B．
2 ．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．C．a8÷a4＝a2D．
【答案】B
【分析】先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，再得出选项即可．
【详解】解：A．，故本选项错误；
B．，故本选项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误．
故选：B．
3．计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
4．如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】根据矩形性质得出BD＝AC＝2AO，然后证△AOB是等边三角形，可得AB＝3，
由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2AO=6（矩形对角线相等），
∴AO＝OB＝3（矩形对角线互相平分），
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3，
在Rt△ABD中，
，
故选：B．
5．把点A先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，点B正好落在轴上，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平移方式可得平移后的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0求出m的值，即可得出点B的坐标．
【详解】解：点A先向左平移2个单位长度，对应点的坐标为，
再向上平移3个单位长度得到点B的坐标为，即，
点B正好落在轴上，
，
，
点B的坐标为，即．
故选：B．
6．已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，
再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
【详解】由图可知，，且，
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
7 . 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6B．6.5，6C．6，6.5D．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为，众数为6；
故选B．
8 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，
根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
9．二次函数的图象如图所示，
则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察二次函数图象得：，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
【详解】解：观察二次函数图象得：，
∴，
∴一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
∴只有D选项符合题意．
故选：D
如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）

A．22B．20C．18D．16
解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】首先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．如图，直线，现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，则的度数为 ．

【答案】
【分析】延长交直线n于点D，根据三角形的外角性质可得，
然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：延长交直线n于点D，

∵是的一个外角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，
将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则袋子内共有球 个．
【答案】20
【分析】设袋子内共有球x个，利用概率公式得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
【详解】解：设袋子内共有球x个，
根据题意得，
解得x=20，
经检验x=20为原方程的解，
即袋子内共有球20个．
故答案为20．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），B（2，4），C（x，﹣1），
当x ＝ 时，点A，B，C在同一条直线上．
【答案】−13
【分析】用待定系数法求出直线AB的函数解析式，则当点C在直线AB上时，其坐标满足函数解析式，从而可求得x的值．
【详解】设直线AB的解析式为，把A、B两点坐标分别代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为
当点A，B，C在同一条直线上时，则有
解得x=−13
故答案为：−13
16 . 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
点C到AE的距离为_____________cm．（参考数据：）

解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，

∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN，
在RtABM中，∠BAE=30°，AB=20cm，
∴∠ABM=90°-∠BAE=30°，
BM=AB•sin30°=20×=10（cm），
∵∠ABC=97°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=37°，
∴∠BCD=90°-∠CBD=53°，
在Rt△BCD中，BC=5cm，
∴BD=BC•sin53°=5×=4（cm），
∴DM=BM-BD=10-4=6（cm），
∴CN=DM= 6cm，
∴点C到AE的距离为6cm．
故答案为：6．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设一元二次方程．
在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，
使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，； ②，；
③，； ④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②或③，②，；③，
【分析】当，，时，，有两个相等的实根；
当，时，，没有实根，②组或③方程有实数根，代入，再解方程即可．
【详解】解：可以选②组或③组．
当，，时，，有两个相等的实根，故①不能选；
当，，时，，有两个不相等的实根，故②可以；
，，，；
当，，时，，有两个不相等的实根，故③可以；
，，，．
当，时，，没有实根，故④不能选．
在学生居家学习期间，学校为学生设置了线上健美操、球类、跑步、踢毽子活动项目，
为了了解学生对这些项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．
对他们最喜爱的项目（每人只选一项）进行了问卷调查，统计并绘制成两幅统计图．

（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？
【答案】（1）80人；（2）图见解析；（3）810人．
【分析】(1)利用体操的人数和百分比可求出一共抽查的学生总数；
(2)利用一共抽查的学生总数和踢毽子的百分比可求出踢毽子的人数，再补全图象即可；
(3)用该校学生总数乘以最喜爱球类活动的分率计算即可求解．
【详解】（1）（人）
答：一共抽查了80人．
（2）（人），如下图所示：

（3）（人）．
答：估计全校有810人最喜欢球类活动．
19．如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，．

求证：四边形为平行四边形；
若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由DF∥BE，得，即可证明，得，则四边形是平行四边形；
（2）作交的延长线于点G，因为，所以，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：作交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积是24．
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
直线与轴，轴分别交于，两点．

求一次函数与反比例函数的表达式；
(2) 求证：；
(3) 点是轴正半轴上的一点，连接，，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（2）方法一：作轴于点轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作轴于点轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点的坐标为；点的坐标为，根据勾股定理求得，即可得证；
（3）设，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数的表达式为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∴点的坐标为点．
将点代入中，得
解得：
∴一次函数的表达式为
（2）方法一：作轴于点轴于点，
则．
当时，；当时，．
∴点的坐标为；点的坐标为．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法二：作轴于点轴于点，
则．
当时，；当时，．
∴点的坐标为；点的坐标为．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
即：
方法三：当时，；当时，．
∴点的坐标为；点的坐标为．
∵．
．
∴
（3）解：∵点的坐标为；点的坐标为．点的坐标为点．
设，
∴，
∴，
解得：，
∴．
21．在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设，则，，在中，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：由题知，，
若，则．
四边形是正方形，
，
又，
，
，
即，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
（3）解：设，
则，．
在中，，
即，
解得．
．
22．已知二次函数的图象经过点．
(1)用含的代数式表示．
(2)若该函数的图象与轴的一个交点为，求二次函数的解析式．
(3)当时，该函数图象上的任意两点，若满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入二次函数的解析式即可得；
（2）结合（1）的结果，将点代入二次函数的解析式即可得；
（3）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入二次函数，得，
．
（2）解：由（1）得：，
再将代入得：，
，
，
则二次函数的解析式为．
（3）解：由（1）得，
二次函数的对称轴为直线．
，
当时，随的增大而增大．
，
．
当时，随的增大而减小，
关于直线的对称点坐标为，且，
，
综上，或．
23．已知：四边形内接于，对角线交于点E，且．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若为的直径．
①求证：；
②已知，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)①详见解析；②
【分析】（1）根据垂径定理得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得到，即可得到结论；
（2）①由为的直径得到，由（1）可知，则是等腰直角三角形，则，，证明，则，即，则，即可得到结论；
②解：由①知，求出，则，，证明，则，由，解得或（不合题意，舍去），由得到，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）①证明：∵为的直径，
∴，
由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则；
②解：由①知，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
又∵，
即，
解得．命中次数（次）
5
6
7
8
9
人数（人）
1
4
3
1
1