河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，若，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．若复数是纯虚数，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数为奇函数，则函数的图像( )
A.关于点对称B.关于点对称
C.关于点对称D.关于点对称
4．过椭圆的中心作直线l交椭圆于P，Q两点，F是C的一个焦点，则周长的最小值为( )
A.16B.14C.12D.10
5．在空间四边形中，，E，F分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知函数，，若对任意的，当肘，恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．如图所示，正方体的糉长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，若球O能在此正八面体内自由转动，则球O半径的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知，，，，成等比数列，满足，且，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图为“苍松迎客快餐店”A、B两种类型的套餐在2024年前3个月的销售情况统计图，已知A套餐卖出一份盈利20元，B套餐卖出一份盈利10元.图中点，，，的纵坐标分别表示A套餐2024年前3个月的销售量，点，，，的纵坐标分别表示B套餐2024年前3个月的销售量.根据图中信息，下列结论中正确的是( )
A.2月A、B两种套餐的总销售量最多B.3月A、B两种套餐的总销售量最多
C.1月A、B两种套餐的总利润最多D.2月A、B两种套餐的总利润最多
10．对于给定数列，如果存在实数t，m，对于任意的均有成立，那么称数列为“M数列”，则下列说法正确的是( )
A.数列是“M数列"
B.数列不是“M数列"
C.若数列为“M数列”，则数列是"M数列"
D.若数列满足，(p为常数)，则数列不是“M数列”
11．已知函数，，则下列说法正确的是( )
A.函数在R上单调递增
B.若对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为
C.函数在上存在极值点
D.若，则的最大值为
三、填空题
12．已知，则________.
13．已知曲线，曲线且，若满足条件在的上方，且有两条不同的切线被所晠得的线段长相等，则实数a的取值范围为________.
四、双空题
14．已知A，B，C是半径为2的圆上的三个动点，①若，则的最大值为；②若，则的最小值为________.
五、解答题
15．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m（）分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得-1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X,当时,答题结束,机器人挑战成功,当时,答题也结束,机器人挑战失败.
（1）当时,求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望;
（2）当时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
16．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.
（1）若，为等腰三角形，求它的周长；
（2）若，求，.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，.点E在侧棱上（端点除外），平面交于点F.
（1）求证：四边形为直角梯形；
（2），求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线l交双曲线C于点A，B，且的最小值为.
（1）求C的方程；
（2）若，A，B均在C的右支上且的外心落在y轴上，求直线l的方程.
19．已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如，，，对于函数，若存在，，使得，则称函数是“Ω函数".
（1）判断函数，是否是“Ω函数”；
（2）设函数是定义在R上的周期函数，其最小正周期是T，若不是“Ω函数”，求T的最小值；
（3）若函数是“Ω函数”，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：集合，，若，则解得.故选C.
2．答案：A
解析：因为i是纯虚数，所以，所以，，，所以.故选A.
3．答案：C
解析：函数为奇函数，图象关于对称，则函数关于对称，所以函数的图像关于对称.
故选C.
4．答案：B
解析：设C的另一个焦点为，根据梗圆的对标性知，所以的周长为，当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14.
故选B.
5．答案：C
解析：作交于G，如图，
连接，则，又，所以，所以，所以是与所成的角或其补角.，，所以，，，所以.在中，，所以与所成角的余弦值为.
故选C.
6．答案：D
解析：当时，由得，
所以
在上单调递减，不妨设，则问题转化成在上单调递减，所以，其中，解得.
故选D.
7．答案：B
解析：根据图形，在正方体中易知正八面体的校长为，如图，在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分
，在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积，设正八面体的内切球半径为r，因为，
即，解得.
故选B。
8．答案：D
解析：设公比为q，
则，
则，
则，
所以，即，
即，令，，故时，，时，，故在上单调递增，
在上单调递减.且，，作的图象如图所示，结合图象可知，，又，所以，则，所以.，，，.
故选D.
9．答案：BC
解析：根据统计图可得，，的纵坐标之和显然最大，故3月A、B两种套餐的总销售量最多，故A错误，B正确；
因为，故C正确.D错误.
故选BC.
10．答案：AC
解析：对于A，由“M数列”定义，得，即，存在，对于任意的都成立，故A正确；对于B，由“M数列”定义，得，即，存在，，对于任意的都成立，即数列是“M数列”，故B错误；对于C，若数列为“M数列”，则，所以，所以数列是“M数列"，故C正确；对于D，若数列是"M数列”，则存在实数t，m，对于任意的，有，，得，即，故，对于任意的都成立，则所以，或，当，时，，符合“M数列”定义，此时数列是"M数列”；当时，，符合“M数列”定义，此时数列是“M数列”，故D错误.
故选AC.
11．答案：ABD
解析：对于A，的定义域为R，，令，则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，在R上单调递增，故A正确；
对于B.由A知在R上单调递增，由得，则当时，，令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，即a的最小值为，故B正确；
对于C，的定义域为，，令，则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，若，则，，，，由AC知：，均为定义域上的增函数，，，由
得，，，令，则，当时，；当
时，，在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，故D正确.
故选ABD.
12．答案：2024
解析：
13．答案：
解析：如图所示，在的上方时，抛物线和圆弧无交点，
联立和有且，解得，显然，切线斜率存在，设切线方程为，由为四分之一圆知，.由，得，切线方程为，与联立得.设的切线被所截得的线段为，则，，记，则，，记，，则，当时，，依题意有：对给定的a，，使得的图象和直线有两个交点，由知使即可，否则在上单调，不存在使得，而，故只需，解得.综上所述，
14．答案：6；-2
解析：（1）若，设的中点为M，则，因为，所以的最大值为.
（2）若，为钝角时，取到最小值，如图，
E为的中点，在上的投影向量为.由可知当在上的投影长最长时，即与圆O相切时，可取到最小值.，当时，的最小值为-2.
15．答案：（1）分布列见解析,
（2）
解析：（1）当时,第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,
根据题意可知：,,,
所以第一轮答题后累计得分X的分布列为：
所以.
（2）当时,设“第六轮答题后,答题结束且挑战成功”为事件A,
此时情况有2种,分别为：
情况①：前5轮答题中,得1分的有3轮,得0分的有2轮,第6轮得1分;
情况②：前4轮答题中,得1分的有3轮,得分的有1轮,第5.6轮都得1分;
所以.
16．答案：（1）的周长为20；
（2），.
解析：（1）因为为等腰三角形，所以，由余弦定理，所以，因为，所以，，所以的周长为20.
（2）当C为锐角时，，
由余弦定理，，所以，
由正弦定理，，即，所以，.当C为钝角时，，
由余弦定理，，所以，由正弦定理，，即，所以，.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：因为，平面，平面，则平面.
因为平面，平面平面，则.
又，所以四边形为梯形.因为平面，平面，则，
又，，，平面，所以平面.
又平面，则，所以四边形为直角梯形.
（2）解法一：以A为原点，向量，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，.
因为，则.
设为平面的法向量，则即取，则，所以.因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：因为平面，则平面平面.
作，垂足为M，则平面.
连接，则为直线与平面所成的角.
在中，因为，则.因为，则.在中，因为，由余弦定理，得，则.由，得，则.因为，，所以，则.
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为
18．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）当A，B均位于C的右支时，，
当A，B分别位于C的左、右支时，，因为，且，所以，即，所以C的方程为.
（2）易得，当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则，，此时，为等腰三角形，边上中垂线为x轴，若外心Q的横坐标，则，但此时，，由，则不符合题意；当直线l的斜率存在时，设，联立消去y可得，由题意知，恒成立，设，，则，，
由于A，B位于双曲线C的右支，所以，即，解得或，.
设的中点，，
则Q在的中垂线上，设直线的斜率为，则，
所以，显然，则，可得.
由，则，
又因为.
可得，
整理得，
，
即，
由，则，满足.
所以直线方程为，即或.
19．答案：（1）函数是“Ω函数”；不是“Ω函数”，理由见解析；
（2）函数不是Ω函数T的最小值为1；
（3），且，
解析：（1）函数是Ω函数，设，，
则，，
所以存在，，使得，所以函数是“Ω函数”.
函数，函数的最小正周期为，
函数的图象如图所示，不妨研究函数在这个周期的图象.
设，，则，，所以，
所以函数不是“Ω函数”.
（2）因为是以T为最小正周期的周期函数，所以.
假设，则，所以，矛盾.
所以必有.
而函数的周期为1，且显然不是Ω函数.
综上所述，T的最小值为1.
（3）当函数是“Ω函数”时，
若，则显然不是Ω函数，矛盾.
若，则，
所以在，上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是Ω函数.
当时，设，所以，
所以有，其中，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，
因为，所以.
所以.
综上所述，，且，.
X
4
3
2