江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知单位向量,的夹角为,则( )
A.B.0C.1D.2
2．在正方体中,下列关系正确的是( )
A.B.C.D.
3．一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为( )
A.25B.30C.35D.40
4．已知函数,则( )
A.B.C.D.
5．设,,,则的最小值为( )
A.B.C.D.3
6．若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．设抛物线的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且,则直线MN的斜率为( )
A.B.C.D.
8．若,,成等比数列,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知双曲线的右焦点为F,直线是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )
A.C的虚轴长为B.C的离心率为
C.的最小值为2D.直线PF的斜率不等于
10．已知,.若随机事件A,B相互独立,则( )
A.B.C.D.
11．已知函数,的定义域均为R,的图象关于点对称,,,则( )
A.为偶函数B.为偶函数C.D.
三、填空题
12．设,i为虚数单位.若集合,,且,则________.
13．在中,,,M为BC的中点,,则________.
14．若正四棱锥的棱长均为2,则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________,该十面体的外接球的表面积为________.
四、解答题
15．甲公司推出一种新产品,为了解某地区消费者对新产品满意度,从中随机调查了1000名消费者,得到下表:
（1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关;
（2）若用频率估计概率,从该地区消费者中随机选取3人,用X表示不满意的人数,求X的分布列与数学期望.
附:,.
16．设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为,且.
（1）若在区间上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;
（2）设l为曲线在处的切线,证明:l与曲线有唯一的公共点.
17．如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面相互垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H.
（1）从下面两个结论中选一个证明：
①；②直线HE，GF，AC相交于一点.
（2）求直线BD到平面EFG的距离.
18．已知数列的前n项和为,,.
（1）证明:数列为等比数列;
（2）设,求数列的前n项和;
（3）是否存在正整数p,q(),使得,,成等差数列?若存在,求p,q;若不存在,说明理由.
19．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,直线l与相切,与圆相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,.
（1）求的方程;
（2）对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.
(i)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求;
(ii)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：.
故选:A.
2．答案：D
解析：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
所以,,,,,,,,
,,,,
,,
对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:D.
3．答案：B
解析：依题意,新数据组有6个数,其中位数是,
显然原数据组有7个数,因此删除的数是中位数30.
故选:B
4．答案：B
解析：因为
由于,则.
故选:B
5．答案：C
解析：因为,所以,
因,,所以
.
当且仅当,即时取等.
故选:C.
6．答案：C
解析：函数,
可得,
若,此时单调递增,无极值点,
故,令,解得,
当时,,当时,,
故是的极值点
由于函数有大于零的极值点,
,解得.
故选:C.
7．答案：A
解析：根据题意可得抛物线的焦点,准线方程为,
则有,设MN直线方程为,
联立,可得,
则,得,故,
设,,,,,
M到准线距离为,N到准线距离为,
又,有,即,得,
,又,解得,
,又,解得.
故选:A
8．答案：B
解析：由,,成等比数列,得,
即,
,所以.
故选:B
9．答案：AD
解析：双曲线的渐近线方程为,依题意,,解得,
对于A,C的虚轴长,A正确;
对于B,C的离心率,B错误;
对于C,点到直线的距离,即的最小值为,C错误;
对于D,直线的斜率为,而点F不在l上,点P在l上,则直线PF的斜率不等于,D正确.
故选:AD
10．答案：BCD
解析：对B,,,B正确;
对A,,,A错误;
对C,,,C正确;
对D,
,D正确.
故选:BCD.
11．答案：ACD
解析：令,则,注意到不恒0,
故,故A正确;
因为的图象关于点对称,所以,
令,得,
故,故B错误;
令,得,
令,得,故,
从而,故,
令,得,化简得,故C正确;
令,得,而,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：1
解析：集合,,且,
则有或,解得
故答案为:1
13．答案：
解析：在中,取AC的中点N,连接MN,由M为BC的中点,得,
在中,由余弦定理得,
则,即,而,所以.
故答案为:
14．答案：或,
解析：正四棱锥的所有棱长为2,点,,,,E,F,M,N是所在棱的中点,如图,
显然,即有,则正四棱锥的高为,
于是,,
,到平面AMN的距离,,
所以所求十面体的体积为;
令,以直线OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,则,,
,,设外接球球心,半径R,
则,因此,解得,
所以十面体的外接球的表面积为.
故答案为:;
15．答案：（1）有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关
（2）分布列见解析,期望
解析：（1）补全列联表如图所示:
,
故有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关.
（2）由题知,从该地区的消费者中随机抽取1人,不满意的概率为,的所有可能取值为0,1,2,3,
且,.
,,
所以X的分布列为:
所以.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可得周期,故,
,
由于,故,
故,
当时,,
由于在区间上有最大值无最小值,故,解得,
故.
（2）,,
,
故直线l方程为,
令,则,
故在定义域内单调递增,又,
因此有唯一的的零点,
故l与曲线有唯一的交点,得证.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：若选①.
因为E，F分别为BC，CD的中点，所以.
又平面，平面EFG，
所以平面EFG.
又平面ABD，平面平面，
所以.
若选②.
在中，，F为CD的中点，
所以GF与AC不平行.
如图，延长GF，AC交于点K，则，.
又平面，平面EFG，所以平面，平面EFG.
又平面平面，所以，所以HE，GF，AC相交于一点.
（2）若第（1）问中选①.
由（1）知，平面EFG.
所以点B到平面EFG的距离即为BD到平面EFG的距离.
若第（1）问中选②.
因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以.
又平面，平面EFG，
所以平面EFG.
所以点B到平面EFG的距离即为BD到平面EFG的距离.
如图，连接EA，ED.
因为，均为正三角形，E为BC的中点，
所以，.
又平面平面BCD，平面平面，平面ABC，
所以平面BCD，
又平面BCD，所以.
以E为原点，EB，ED，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面EFG的法向量为，
则即
令，得，，则.
设点B到平面EFG的距离为d，则.
所以直线BD到平面EFG的距离为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）存在,.
解析：（1）,,当时,,
两式相减得,即,
则有,当时,,则,即,
所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）得,,则,数列是等差数列,
于是,解得,则,
所以的前n项和
.
（3）由（1）知,,
由,,成等差数列,得,整理得,
由,得,又,,,不等式成立,
因此,即,令,则,
从而,显然,即,
所以存在,,使得,,成等差数列.
19．答案：（1）;
（2）(i);
(ii)证明见解析.
解析：（1）因为当l垂直于x轴时,,而直线与相切,则,解得,
又椭圆的离心率为,则椭圆的半焦距,,
所以的方程为.
（2）(i)当l的斜率存在时,设l的方程为:,
由消去y得:,
由直线l与椭圆相切,得,整理得,
于是圆心O到直线l的距离,
则的面积为,
设,,求导得,
当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,
因此当时,取得最大值,此时,
当的斜率不存在时,由（1）知,,
由,得,则.
对于线段AB上任意点E,连接OE并延长与圆O交于点F,则F是圆上与E最近的点,
当E为线段AB的中点时,EF取得最大值,所以.
(ii)因为,,均存在,
设点,,,,,,且,,,
设是集合Y中到的最近点,根据对称性,不妨设,
令点到集合Z的最近点为,点到集合Y的最近点为,
因为是集合X中所有点到集合最近点距离的最大值,则,
因为是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值,则,
因此,
而在坐标平面中,,又点是集合Y中到点的最近点,则,
所以.
满意
不满意
男
440
60
女
460
40
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男
440
60
500
女
460
40
500
总计
900
100
1000
X
0
1
2
3
P