新疆喀什地区2024届高三下学期4月适应性检测数学试卷(含答案)

这是一份新疆喀什地区2024届高三下学期4月适应性检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则复数z的共轭复数的模( )
A.B.C.D.
3．已知正项等比数列的前n项的和为,满足,则公比( )
A.1或3B.C.1或D.1
4．已知函数,满足,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．在直角梯形中,且,,与交于点O,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．数学中,悬链线指的是一种曲线,是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,它被广泛应用到现实生活中,比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等.在合适的坐标系中,这类曲线可用函数(其中a,b为非零常数,)来表示,当取到最小值为2时,下列说法正确的是( )
A.此时B.此时的最小值为2
C.此时的最小值为2D.此时的最小值为0
8．已知函数,的定义域均为R,为的导函数,且,,若为偶函数,则( )
A.2B.1C.0D.-1
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布,则
B.设随机变量X服从正态分布,若,则
C.已知一组数据为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,则它的第70百分位数为7
D.若事件A,B满足,,,则事件A,B相互独立
10．如图圆台,在轴截面中,,下面说法正确的是( )
A.线段
B.该圆台的表面积为
C.该圆台的体积为
D.沿着该圆台的表面,从点C到中点的最短距离为5
11．对于数列,定义：,称数列是的“倒和数列”.下列说法正确的有( )
A.若数列单调递增,则数列单调递增
B.若,则数列有最小值2
C.若,则数列有最小值
D.若,且,则
三、填空题
12．已知圆和圆,则两圆公共弦所在直线的方程为________.
13．已知函数,其中,满足,则________.
14．“蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理,该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为,则该椭圆的蒙日圆方程为________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数,求的单调区间.
16．已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A；
(2)若,,点D为的中点,求.
17．如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,且平面平面,,M为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的左焦点,点在椭圆C上,过点P的两条直线,分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线,,的斜率满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明直线过定点.
19．为了解居民体育锻炼情况,某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查,统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄,得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低,不低于3次的称为体育锻炼频率高,根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样,抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记这3人中年龄在与的人数分别为X,Y,,求的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种,已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为,,,求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：,.
附：
参考答案
1．答案：D
解析：,所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：,
所以,所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：正项等比数列的公比,
由,得,整理得,即,
所以,(负值舍).
故选：D.
4．答案：A
解析：当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递增,且,
则时,单调递增,
若有,则有,解得,
故选：A.
5．答案：C
解析：在直角梯形中,且,,过O作于E,
则,故,从而.
因此,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
6．答案：B
解析：由,得
.
故选：B.
7．答案：B
解析：函数,a,b为非零常数,,,由取到最小值为2,得,,
对于A,,则,当且仅当,
即时取等号,此时,,A错误；
对于B,,当且仅当取等号,B正确；
对于C,,当且仅当取等号,C错误；
对于D,,当且仅当取等号,D错误.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意,可知,①,
令可得,,所以.
又因为为偶函数,所以,两边同时求导可得,②
令可得,,所以,
联立①②可得,,化简可得,所以是周期为2的函数,所以,,
又因为,所以,所以,
所以.
故选：A.
9．答案：AD
解析：因为随机变量X服从二项分布,则,故A正确；
因为随机变量X服从正态分布,则对称轴为,,故B错误；
这组数据的第70百分位数为,故C错误；
因为,所以,所以事件A,B相互独立.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：显然四边形是等腰梯形,,,其高即为圆台的高
对于A,在等腰梯形中,,A正确；
对于B,圆台的表面积,B正确；
对于C,圆台的体积,C错误；
对于D,将圆台一半侧面展开,如下图中扇环且E为中点,
而圆台对应的圆锥半侧面展开为且,又,
在中,,斜边上的高为,即与弧相离,
所以C到AD中点的最短距离为5cm,D正确.
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：函数在上单调递增,在,上单调递减,
对于A,由于函数在定义域上不单调,则由数列单调递增,无法判断数列单调性,A错误；
对于BC,,则数列有最小值,B错误,C正确；
对于D,由,得,,
整理得,而,因此,D正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
显然,因此圆,相交,
所以两圆公共弦所在直线的方程为,即.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,,
所以,
所以,即,
所以,
又因为,所以,即.
故答案为：.
14．答案：
解析：由椭圆的离心率为,得,解得,
椭圆在顶点,处的切线分别为,,它们交于点,
显然点在椭圆C的蒙日圆上,因此,
所以椭圆C的蒙日圆方程为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)增区间为,,减区间为
解析：(1)函数,求导得,则,而,
所以曲线在处的切线方程是.
(2)由(1)知,的定义域为R,求导得,
由,得或,由,得,
所以的单调递增区间为,；单调递减区间为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,由正弦定理及,得,
而,则,
又,即,于是,又,
所以.
(2)由(1)知,,由余弦定理得,
即,而,解得,
由D为的中点,得,
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取的中点N,连接,,而M为的中点,则且,
又且,则且,
于是四边形为平行四边形,,又平面,平面,
所以平面.
(2)取中点为F,连接,由为等腰梯形,得,
由平面平面,平面平面,平面,
得平面,
在平面内,过点O作直线的垂线,
以点O为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
在等腰梯形中,,,则,
由,,得,
于是,,,,,
,,,,
设平面的法向量为,则,令,得,
设平面的法向量为,则,令,得,
设平面与平面的夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由点在椭圆上,得,
由为椭圆C的左焦点,得,
所以椭圆C的方程为.
(2)依题意,直线不垂直于坐标轴,设其方程为,,,
由消去y并整理得,
,,,
由得,即,
整理得,即有,而,,
解得,满足,直线：过定点,
所以直线过定点.
19．答案：(1)有关
(2)分布列见解析,期望为
(3)
解析：(1)零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关,
由题得列联表如下：
,
根据小概率值的独立性检验推断不成立,
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)由数表知,利用分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在,内的人数分别为1,2,
依题意,的所有可能取值分别为为0,1,2,
所以,
,
,
所以的分布列：
所以的数学期望为.
(3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球,分别为事件A,B,C,
星期天选择跑步为事件D,则,,,
,,,
则,
所以小明星期天选择跑步的概率为.
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
010
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
P