云南省“3+3+3”2024届高三下学期高考备考诊断性联考（二）数学试卷(含答案)

这是一份云南省“3+3+3”2024届高三下学期高考备考诊断性联考（二）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.2B.1C.D.
2．掷两颗均匀的骰子,则点数之和小于5的概率等于( )
A.B.C.D.
3．计算:( )
A.B.C.D.
4．已知函数为R上的偶函数,且当,时,,若,,,则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
5．如图1,将两个相同大小的圆柱垂直放置,两圆柱的底面直径与高相等,且中心重合,它们所围成的几何体称为“牟合方盖”,已知两圆柱的高为2,则该“牟合方盖”内切球的体积为( )
A.B.C.D.
6．某学校高三年级男生共有个,女生共有个,为调查该年级学生的年龄情况,通过分层抽样,得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为,和,,已知,则该校高三年级全体学生年龄的方差为( )
A.B.
C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线,分别与抛物线C交于点A,B和D,E,其中点A,D在第一象限,则四边形ADBE的面积的最小值为( )
A.64B.32C.16D.8
8．当前,全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展,汽车与能源、交通、信息通信等领域有关技术加速融合,电动化、网联化、智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级,从2024年起大力发展新能源汽车,2024年全年预计生产新能源汽车10万辆,每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中,经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升,每年新能源汽车的产量都比前一年增加(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去),每辆车的利润都比前一年增加2000元,则至2030年年底,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为( )(参考数据：,结果精确到0.1)
A.320.5亿元B.353.8亿元C.363.2亿元D.283.8亿元
二、多项选择题
9．已知函数的图象关于点成中心对称,则( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上有两个极值点
C.直线是曲线的对称轴
D.直线是曲线的切线
10．如图2,直四棱柱的底面是梯形,,,,P是棱的中点.Q在直四棱柱的表面上运动,则( )
A.若Q在棱上运动,则的最小值为
B.若Q在棱上运动,则三棱雉的体积为定值
C.若,则Q点的轨迹为平行四边形
D.若,则Q点的轨迹长度为
11．已知定义在R上的函数满足:,且,则下列说法中正确的是( )
A.是偶函数
B.关于点对称
C.设数列满足,则的前2024项和为0
D.可以是
三、填空题
12．已知集合,,若且,则实数a的取值范围是______.
13．某宾馆安排A,B,C,D,E五人住4个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有______种不同的安排方法.(用数字作答)
14．已知A,B,C,D是椭圆上四个不同的点,且是线段AB,CD的交点,且,则直线AC的斜率为______.
四、解答题
15．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角A;
(2)D为边BC上一点,,且,求.
16．已知函数,.
(1)若函数在处的切线l也与函数的图象相切,求a的值;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
17．如图3,在多面体ABCDE中,,,,记平面平面,.
(1)若B在以AC为直径的圆上运动,证明:;
(2)若N为线段AC的中点,求直线EN与平面ABD所成角的正弦值.
18．椭圆的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上运动(与左、右顶点不重合),已知的内切圆圆心为M,延长PM交x轴于点.
(1)当点P运动到椭圆C的上顶点时,求;
(2)当点P在椭圆C上运动时,,为定值,求内切圆圆心M的轨迹方程;
(3)点M关于x轴对称的点为N,直线与相交于点Q,已知点Q的轨迹为.过点的直线l与曲线交于A,B两点,试说明:是否存在直线l,使得点H为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
19．材料一:英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著,创立了贝叶斯统计理论,对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设,,,是一组两两互斥的事件,,且,,则对任意的事件,,有,,
材料二:马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是,,,,,,那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态,即.请根据以上材料,回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中,有的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车,在德国汽车市场中占比,其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车,已知他购买的汽车不是W公司的,求该汽车电池性能很好的概率;(结果精确到0.001)
(2)为迅速抢占市场,W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下:有11个排成一行的格子,编号从左至右为0,1,…,10,有一个小球在格子中运动,每次小球有的概率向左移动一格;有的概率向右移动一格,规定小球移动到编号为0或者10的格子时,小球不再移动,一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子,则赢得600欧元的购车代金券;若小球最终停留在0号格子,则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率:小球开始位于第i个格子,且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中,小球开始位于第5个格子,求他获得代金券的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：,故,故选B.
2．答案：D
解析：掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种,点数之和小于5的有6种,所以所求概率为,故选D.
3．答案：A
解析：,故选A.
4．答案：C
解析：当时,,所以在上单调递增:又有为R上的偶函数,所以在上单调递减.又有,所以,而,又,且,所以,所以,故选C.
5．答案：D
解析：如图1,将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内,则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切,又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切,故正方体的内切球内切于牟合方盖,所以,正方体内切球即为牟合方盖的内切球,其半径为1,体积为,故选D.
6．答案：C
解析：学校高三年级男生共有个,所占比例为,女生个,所占比例为,故该
校高三年级全体学生的年龄方差为:,当时,,故选C.
7．答案：B
解析：由题意得,设直线,与联立,得,设,,故,,则,
同理得,
,
当且仅当时,等号成立,故选B.
8．答案：B
解析：设第n年每辆车的利润为万元,则每辆车的利润是以2为首项,0.2为公差的等差数列,所以,设第n年新能源汽车的销量为辆,则该汽车的销量是以100000为首项,1.2为公比的等比数列,所以,设该车企销售新能源汽车的总利润为S,,
①,
②,
①-②得：
,
所以万元,即亿元,故选B.
9．答案：ABD
解析：由题意得:,所以,,即
,,又,所以,故.当时,,由余弦函数的图象知:在上是单调递减,故A正确;当时,,由余弦函数的图象知:有两个极值点,故B正确:当时,不是余弦函数的对称轴;故C不正确;由,得,从而得:或,,所以函数在点处的切线斜率为,切线方程为:,即,故D正确,故选ABD.
10．答案：BCD
解析：由题意可得,,.将平面和平面沿直线展开,如图2,在中,,,
所以
,则的最小值为,故A错,,平面,平面ABP,即到平面ABP的距离为定值,即三棱锥的高h为定值,又为定值,所以
为定值,故B正确如图3,连接,取棱,,的中点分别为G,H,F,取线段DH的中点为E,连接PE,因为在平面内的投影为,,由三垂线定理可得,,连接,,
,平面,在平面内的投影为,,由三垂线定理可得,,
连接GF,GE,则平面,点的轨迹为平行四边形PEGF,故C正确,如图4,以为球心,为半径作球,则Q点的轨迹即为该球与直四棱柱各面截球所得的弧,在线段上取一点M,使得上取一点N,使得,则,平面截球得,长度为,平面截球得,长度,平面,,平面截球得,长度为,同理可得,平面ABCD截球得BN,长度为,平面与球相切与点,则Q点的轨迹长度为,故D正确,故选BCD.
11．答案：ACD
解析：令,则,所以或,若,则当时,,这与矛盾,故,令,则,故.又的定义域为R关于原点对称,所以是偶函数,故A正确;
当时,,故,又当时,,所以,则,所以,故是以4为周期的周期函数,又由是偶函数可得:关于直线对称,若关于点对称,则,与矛盾,故B错误;
若,则是周期为4的周期数列,又,而,所以的前2024项和为0,故C正确;
令,则,即,可设,由,可得,故时成立,经检验可知原条件均成立,此时有,故D正确,故选ACD.
12．答案：
解析：由得:,所以,因为且,所以.
13．答案：216
解析：5个人住4个房间,每个房间至少住1人,则有一个房间住两人,其他房间住一人,所以有(种).
14．答案：
解析：设,,,,,故,
则又,都在椭圆上,故,
且,两式相减得:,即①,同理可得:②,②-①得:,所以.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
得:,
即:,
,即：.
又,.
(2)由(1)知:,.
在中,,
在中,.
又,,代入得.
由余弦定理得:,
所以.
16．答案：(1)-2
(2)
解析：(1),,
函数在的切线l的方程为.
,,令,得,
故而,所以.
(2)由恒成立,等价于恒成立,
即:恒成立,
令,则.
又,在上单调递增,
恒成立,即.
令,所以,
则为上的增函数,上的减函数,
所以,所以a的取值范围是.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:如图5,过点B作CD的平行线,即为l.理由如下:
,平面,平面,
平面AEB.
又平面BCD,且平面平面,
.
又,.
又在以AC为直径的圆上运动,.
又,平面BCD,
.
(2)在中,,,,故.
由(1)知:,,
平面ABD.
又,平面ABD.
令,则即为直线EN与平面ABD所成的角,,,
在中,,
,
即直线EN与平面ABD所成角的正弦值为.
18．答案：(1)2
(2)见解析
(3)存在,理由见解析
解析：(1)当点P运动到椭圆C的上顶点时,如图6,则:,.
的内切圆M即为的重心.
,
则.
(2)当点P在椭圆C上运动时,设,过点P作椭圆左准线的垂线,垂足为,
则:.
又,.
同理可得：,
延长PM交x轴于点,设,
点是内切圆圆心,由角平分线性质得:,即:,
化简得①,
设内切圆圆心,由.
得:②,
联立①②得：,.
又在椭圆上,
即内切圆圆心M的轨迹方程为:.
点M与点N关于x轴对称,
设,,
由,M,Q三点共线可得:③,由,N,Q三点共线可得:④,
③④得:.
又在曲线上,
,即,
点Q的轨迹方程为.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为:,
此时直线l与双曲线只有一个交点,不成立;
当直线l的斜率存在时,设,,且,
点,在双曲线上,
两式子相减得:,
.
若点是线段AB的中点,则即
代入上式子得:,则直线l的斜率为:,
直线l的方程为:,即,
联立得:,
,故方程有解,
所以存在这样的直线,使得点H为线段AB的中点.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)A为一辆德国市场的电车性能很好,事件B为一辆德国市场的车来自W公司.
由全概率公式知:,
故:.
(2)记事件表示小球开始位于第i个格子,且最终停留在第10个格子,事件C表示小球向右走一格.
小球开始于第i格,此时的概率为,
则下一步小球向左或向右移动,当小球向右移动,即可理解为小球始于,当小球向左移动,即可理解为小球始于,
即.
由题知,,
又,故,
所以是以为首项,3为公比的等比数列,
即:,
即:,
,
,
故,
,
则,
故这名顾客获得代金券的概率为.