培优点01 切线放缩（2大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
培优点01 切线放缩（2大考点+强化训练）
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：单切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1．当x>－1时，ln(x＋1)≤x．当x>0时，x>sin x；当x<0时，x规律方法 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
【例1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数，．
(1)若函数（其中：为的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：．
【变式】（2023上·贵州黔东南·高三统考期中）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若，求证：.
考点二：双切线放缩
规律方法 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明．
【例2】（2024上·浙江嘉兴·高三统考期末）已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．
【变式】（2024下·河北·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若、在处切线的斜率相等，求的值；
(2)若方有两个实数根，试证明：;
(3)若方程有两个实数根，试证明：.
【强化训练】
1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
2．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”．
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.
3.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sin x－aln(x＋1)．
(1)若a＝1，证明：当x∈[0,1]时，f(x)≥0；
(2)若a＝－1，证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤2ex－2.
4.(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)－2x.
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
(2)证明：ex＋eq \f(a－2x2－2x,x)>f(x)．
5.(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xln x－x．若f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x16.(2023·山东省实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)，若函数g(x)＝f(x)－m(m>0)有两个零点x1，x2，且x17．(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)．
(1)证明：当x>－1时，f(x)≤x；
(2)已知n∈N*，证明：>sin(n＋1)．
8．(2023·遂宁模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)－eq \f(x＋3,ex)，x∈R.
(1)若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1eq \f(2a,e)＋2.