微重点06子数列与增减项问题（3大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲（新高考专用）

这是一份微重点06子数列与增减项问题（3大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲（新高考专用），文件包含微重点06子数列与增减项问题3大考点+强化训练原卷版docx、微重点06子数列与增减项问题3大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
微重点06子数列与增减项问题（3大考点+强化训练）
子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
知识导图
考点分类讲解
考点一：奇数项、偶数项
规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
【例1】（2024•莆田模拟）已知等差数列的前项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和．
【变式1】（2024•晋中一模）已知数列的首项，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列的前项和．
【变式2】 (2023·新高考全国Ⅱ)已知{an}为等差数列，bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－6，n为奇数，,2an，n为偶数.))记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【变式3】(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an－1＋(－1)nlg2(an－1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点二：两数列的公共项
规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，则 .
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ．
【变式2】（2024·福建漳州·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(3n2＋n,2)，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.
考点三：数列有关增减项问题
规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可．
【例3】(2023·无锡模拟)设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2－(3＋bn)n＋eq \f(3,2)bn＝0(t∈R，n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak＋1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100.
【变式1】已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．
(1)求r的值；
(2)设bn＝2(1＋lg2an)，若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．
【变式2】．(2023·天津模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(an,n)，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前2 023项和T2 023.
【变式3】（2024•天津模拟）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项．
（1）求：数列和的通项公式．
（2）设，求．
（3）若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求．
强化训练
一、单选题
1．（2023·江西南昌·三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川德阳·一模）德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（ ）
A．2091B．2101C．2110D．2112
3．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A．B．-13C．D．-14
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，在，之间插入首项为，公差为的等差数列的前k项，构成数列，记数列的前n项和为，则（ ）
A．105B．125C．220D．240
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高三上·江西南昌·期中）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列．这样得到新数列：，，，，，，，，，，．记数列的前项和为，有下列选择支中，判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列，则（ ）
A．当时，数列是公差为2的等差数列
B．当时，数列的前16项和为160
C．当时，数列前16项和等于72
D．当时，数列的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
9．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则的值可能为7
三、填空题
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和满足，，且，若数列的通项公式为，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，则的前n项和为 ．
11．（2024高三·江苏·专题练习）已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列的通项公式为 ；若是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前n项和= ．
四、解答题
12．（2023高三·全国·专题练习）一个等差数列的首项是8，公差是3，另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？求出由公共项组成的数列的通项公式及前100项的和．
13．（23-24高三上·山东青岛·期中）数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：
14．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
15．（2024·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
16．（2023·山东泰安·二模）已知数列的前n项和为，，，.
(1)求；
(2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围．