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十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题15 立体几何多选、填空题（理科）
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这是一份十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题15 立体几何多选、填空题（理科），共15页。
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题型一：立体几何结构特征
题型二：立体几何三视图
题型三：立体几何的表面积与体积
题型四：立体几何中的球的问题
题型五：立体几何线面位置关系
题型六：立体几何中的角度与距离
题型一：立体几何结构特征
（2023年全国甲卷理科·第15题）
在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
（2020年高考课标Ⅲ卷理科·第15题）
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
（2019·全国Ⅱ·理·第16题）
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
（2017年高考数学上海（文理科）·第11题）
如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
（2015高考数学江苏文理·第9题）
现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
二、多选题
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题）
下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
（2021年新高考Ⅰ卷·第12题）
在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
题型二：立体几何三视图
（2021年高考全国乙卷理科·第16题）
以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
（2019·北京·理·第11题）
某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（2017年高考数学上海（文理科）·第8题）
已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________
（2017年高考数学山东理科·第13题）
由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为___.
题型三：立体几何的表面积与体积
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第14题）
在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
（2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题）
底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15题）
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
（2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13题）
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
（2020天津高考·第15题）
如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
（2020江苏高考·第9题）
如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
（2019·天津·理·第11题）
已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
（2019·全国Ⅲ·理·第16题）
学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
（2019·江苏·第9题）
如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
（2018年高考数学江苏卷·第10题）
如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
（2018年高考数学天津（理）·第11题）
已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.
（2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题）
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
如图，正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点到直线距离为______.
（2014高考数学天津理科·第10题）
已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______．
（2014高考数学山东理科·第13题）
三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________
（2014高考数学江苏·第8题）
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
（2015高考数学天津理科·第10题）
一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为________ .
（2015高考数学上海理科·第4题）
若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则________．
（2017年高考数学江苏文理科·第6题）
如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
（2016高考数学浙江理科·第14题）
如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是____.
（2016高考数学浙江理科·第11题）
某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3．
（2016高考数学天津理科·第11题）
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
（2016高考数学四川理科·第13题）
已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
二、多选题
（2022新高考全国II卷·第11题）
如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
题型四：立体几何中的球的问题
（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16题）
已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
（2017年高考数学天津理科·第10题）
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
题型五：立体几何线面位置关系
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第16题）
设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
（2019·北京·理·第12题）
已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题）
是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
（4）如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号）
二、多选题
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题）
如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
题型六：立体几何中的角度与距离
（2014高考数学上海理科·第6题）
若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）.
（2015高考数学浙江理科·第13题）
如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
（2015高考数学四川理科·第14题）
如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点在线段上,,分别为,的中点.设异面直线与所成的角为,则的最大值为______.
（2015高考数学上海理科·第6题）
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________．
（2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题）
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最大值为．
其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)
（2016高考数学上海理科·第6题）
在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________
二、多选题
（2023年新课标全国Ⅱ卷·第9题）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
（2022新高考全国I卷·第9题）
已知正方体，则（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
目录
题型一：立体几何结构特征
题型二：立体几何三视图
题型三：立体几何的表面积与体积
题型四：立体几何中的球的问题
题型五：立体几何线面位置关系
题型六：立体几何中的角度与距离
题型一：立体几何结构特征
（2023年全国甲卷理科·第15题）
在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
（2020年高考课标Ⅲ卷理科·第15题）
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
（2019·全国Ⅱ·理·第16题）
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
（2017年高考数学上海（文理科）·第11题）
如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
（2015高考数学江苏文理·第9题）
现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
二、多选题
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第12题）
下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
（2021年新高考Ⅰ卷·第12题）
在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
题型二：立体几何三视图
（2021年高考全国乙卷理科·第16题）
以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
（2019·北京·理·第11题）
某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（2017年高考数学上海（文理科）·第8题）
已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________
（2017年高考数学山东理科·第13题）
由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为___.
题型三：立体几何的表面积与体积
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第14题）
在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
（2023年新课标全国Ⅱ卷·第14题）
底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第15题）
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
（2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第13题）
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________
（2020天津高考·第15题）
如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
（2020江苏高考·第9题）
如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
（2019·天津·理·第11题）
已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
（2019·全国Ⅲ·理·第16题）
学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
（2019·江苏·第9题）
如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
（2018年高考数学江苏卷·第10题）
如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
（2018年高考数学天津（理）·第11题）
已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.
（2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第16题）
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
如图，正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点到直线距离为______.
（2014高考数学天津理科·第10题）
已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______．
（2014高考数学山东理科·第13题）
三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________
（2014高考数学江苏·第8题）
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
（2015高考数学天津理科·第10题）
一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为________ .
（2015高考数学上海理科·第4题）
若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则________．
（2017年高考数学江苏文理科·第6题）
如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
（2016高考数学浙江理科·第14题）
如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是____.
（2016高考数学浙江理科·第11题）
某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3．
（2016高考数学天津理科·第11题）
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
（2016高考数学四川理科·第13题）
已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
二、多选题
（2022新高考全国II卷·第11题）
如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
题型四：立体几何中的球的问题
（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第16题）
已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
（2017年高考数学天津理科·第10题）
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
题型五：立体几何线面位置关系
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第16题）
设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
（2019·北京·理·第12题）
已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题）
是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
（4）如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号）
二、多选题
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第10题）
如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
题型六：立体几何中的角度与距离
（2014高考数学上海理科·第6题）
若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）.
（2015高考数学浙江理科·第13题）
如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
（2015高考数学四川理科·第14题）
如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点在线段上,,分别为,的中点.设异面直线与所成的角为,则的最大值为______.
（2015高考数学上海理科·第6题）
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________．
（2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第16题）
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最大值为．
其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)
（2016高考数学上海理科·第6题）
在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________
二、多选题
（2023年新课标全国Ⅱ卷·第9题）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
（2022新高考全国I卷·第9题）
已知正方体，则（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
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