十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题21 数列解答题（理科）-4

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(2016高考数学四川理科·第19题)
已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.
(1)若时，成等差数列，求数列的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，求证：.
(2015高考数学江苏文理·第20题)
设是各项为正数且公差为的等差数列
(1)证明：依次成等比数列；
(2)是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
(3)是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由．
(2014高考数学四川理科·第19题)
设等差数列的公差为 ，点在函数 的图象上（）.
（1）若，点 在函数的图象上，求数列 的前项和 ；
（2）若，函数 的图象在点处的切线在 轴上的截距为，求数列 的前 项和.
(2017年高考数学上海（文理科）·第19题)
根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
(2017年高考数学山东理科·第19题)
已知是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.
.
(2022高考北京卷·第21题)
已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
(2021年高考浙江卷·第20题)
已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
(2019·天津·理·第19题)
设是等差数列，是等比数列．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求
(2015高考数学上海理科·第22题)
已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
(2015高考数学陕西理科·第21题)
设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．
（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较
与的大小，并加以证明．
(2015高考数学北京理科·第20题)
已知数列满足：，，且．记
集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
(2015高考数学安徽理科·第18题)
设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明.
(2017年高考数学浙江文理科·第22题)
已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
(2017年高考数学北京理科·第20题)
设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
题型八：数列的综合应用
(2022新高考全国II卷·第17题)
已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
(2022年浙江省高考数学试题·第20题)
已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
(2016高考数学四川理科·第19题)
已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.
(1)若时，成等差数列，求数列的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，求证：.
题型九：数列结构不良试题
(2021年高考全国甲卷理科·第18题)
已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．