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十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23 立体几何解答题（理科）-1
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这是一份十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23 立体几何解答题（理科）-1，共18页。
题型一：证明平行问题
题型二：证明垂直问题
题型三：求线线角
题型四：求线面角
题型五：求二面角
题型六：求几何题的表面积和体积
题型七：求距离的问题
题型八：根据条件确定点的位置
题型九：立体几何中求最值问题
题型十：立体几何的综合应用
题型一：证明平行问题
（2019·江苏·第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
（2022高考北京卷·第17题）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（2016高考数学山东理科·第17题）
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.
（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC= ，AB=BC.求二面角 的余弦值.
题型二：证明垂直问题
（2020江苏高考·第15题）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
（2018年高考数学江苏卷·第15题）
在平行六面体中，,．
求证：（1）；
（2）．
如图，在五面体中，点O是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且．
(1)证明： 平面；
(2)设，证明：平面．
（2014高考数学江苏·第16题）
如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.
求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
（2015高考数学江苏文理·第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1．设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1．
（2017年高考数学江苏文理科·第15题）
如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
（2016高考数学江苏文理科·第16题）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.
求证：（1）直线DE平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
（2023年全国乙卷理科·第19题）
如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
题型三：求线线角
（2018年高考数学上海·第17题）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．
（2015高考数学新课标1理科·第18题）
（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．
（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
（2015高考数学广东理科·第18题）
如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
题型四：求线面角
（2021年高考浙江卷·第19题）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题）
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
（2020北京高考·第16题）
如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2019·浙江·第19题）
如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
（2019·天津·理·第17题）
如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
（2023年全国甲卷理科·第18题）
如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
（2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第20题）
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
（2020年浙江省高考数学试卷·第19题）
如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
（2022年高考全国甲卷数学（理）·第18题）
在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
（2022年浙江省高考数学试题·第19题）
如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
（2022年高考全国乙卷数学（理）·第18题）
如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
（2018年高考数学江苏卷·第25题）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值
（2018年高考数学浙江卷·第19题）
如图，已知多面体均垂直于平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第18题）
如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
（2014高考数学陕西理科·第19题）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值．
（2014高考数学福建理科·第17题）
在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（2014高考数学北京理科·第17题）
如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，．
(1)求证：；
(2)若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长．
（2015高考数学新课标2理科·第19题）
如图，长方体中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面 所成角的正弦值．
（2015高考数学上海理科·第19题）
如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.
如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
（2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题）
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
（2016高考数学天津理科·第17题）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；
（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
（2016高考数学四川理科·第18题）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
（2017年高考数学北京理科·第16题）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
题型一：证明平行问题
题型二：证明垂直问题
题型三：求线线角
题型四：求线面角
题型五：求二面角
题型六：求几何题的表面积和体积
题型七：求距离的问题
题型八：根据条件确定点的位置
题型九：立体几何中求最值问题
题型十：立体几何的综合应用
题型一：证明平行问题
（2019·江苏·第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
（2022高考北京卷·第17题）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（2016高考数学山东理科·第17题）
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.
（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC= ，AB=BC.求二面角 的余弦值.
题型二：证明垂直问题
（2020江苏高考·第15题）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
（2018年高考数学江苏卷·第15题）
在平行六面体中，,．
求证：（1）；
（2）．
如图，在五面体中，点O是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且．
(1)证明： 平面；
(2)设，证明：平面．
（2014高考数学江苏·第16题）
如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.
求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
（2015高考数学江苏文理·第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1．设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1．
（2017年高考数学江苏文理科·第15题）
如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
（2016高考数学江苏文理科·第16题）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.
求证：（1）直线DE平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
（2023年全国乙卷理科·第19题）
如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
题型三：求线线角
（2018年高考数学上海·第17题）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．
（2015高考数学新课标1理科·第18题）
（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．
（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
（2015高考数学广东理科·第18题）
如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
题型四：求线面角
（2021年高考浙江卷·第19题）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题）
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
（2020北京高考·第16题）
如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2019·浙江·第19题）
如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
（2019·天津·理·第17题）
如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
（2023年全国甲卷理科·第18题）
如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
（2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第20题）
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
（2020年浙江省高考数学试卷·第19题）
如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
（2022年高考全国甲卷数学（理）·第18题）
在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
（2022年浙江省高考数学试题·第19题）
如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
（2022年高考全国乙卷数学（理）·第18题）
如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
（2018年高考数学江苏卷·第25题）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值
（2018年高考数学浙江卷·第19题）
如图，已知多面体均垂直于平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第18题）
如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
（2014高考数学陕西理科·第19题）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值．
（2014高考数学福建理科·第17题）
在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（2014高考数学北京理科·第17题）
如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，．
(1)求证：；
(2)若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长．
（2015高考数学新课标2理科·第19题）
如图，长方体中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面 所成角的正弦值．
（2015高考数学上海理科·第19题）
如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.
如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
（2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题）
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
（2016高考数学天津理科·第17题）
如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；
（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
（2016高考数学四川理科·第18题）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
（2017年高考数学北京理科·第16题）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
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