2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2+2x−3=0}，B={−1,0,1,3}，则A∩B=( )
A. {−1,3}B. {0,1}C. {1}D. {−1,0,3}
2.复数z=1+3i2+i的实部和虚部分别是( )
A. 1，1B. 1，iC. −13,53D. −13,53i
3.下列结论正确的是( )
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4.在△ABC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.一艘轮船从A地出发，先沿东北方向航行15海里后到达B地，然后从B地出发，沿北偏西75°方向航行10海里后到达C地，则A地与C地之间的距离是( )
A. 5 7海里B. 10 3海里C. 15 2海里D. 15海里
6.已知向量a=(1,m)，b=(2,−1)，若向量a，b的夹角θ∈(π4,π2)，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−3)∪(13,1)B. (−∞,−3)∪(13,2)
C. (−∞,−13)∪(2,+∞)D. (−∞,−13)∪(13,2)
7.已知函数f(x)=12x2−x+5在[m,n]上的值域为[4m,4n]，则m+n=( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
8.已知φ为第一象限角，若函数f(x)=cs(x+φ)+2sinx的最大值是2，则f(2π3)=( )
A. 7 3− 158B. 9 3− 158C. 7−3 58D. 9−3 58
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=(1+2i)i5，则( )
A. z−=2−iB. |z|= 5C. z+z−=4D. z−z−=2i
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+1)=f(3−x)，当0≤x≤2时，f(x)=2x+x−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=−2对称
B. f(x)=f(x+4)
C. 当x∈[−2,0]时，f(x)的值域是[−5,0]
D. 当x∈[10,12]时，f(x)=212−x−x+11
11.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2；a⊙b=a⋅b|b|2.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0，且a⊕b和a⊙b都在集合{n4|n∈Z,00，y>0，且x+2y−z=0，则z2xy的最小值是______；当z2xy取得最小值时，1z2−2x−1y的最小值是______．
14.如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a2−2a−3+(a−3)i，a∈R．
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z+i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2|b|=4．
(1)求向量a在向量b上的投影向量；
(2)若|a+tb|=2 7，求t的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B≠π2，sin2A−sin2B=sin2C(csB−1)．
(1)求ca的值；
(2)若a=3，csC= 53，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且EC=2AE，BC=2BD，F是AD，BE的交点.设AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示AD，BE；
(2)求|BF||EF|的值．
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，AD=4．
(1)若A为锐角，且sinA= 158，求△BCD的面积；
(2)求四边形ABCD面积的最大值；
(3)当A=60°时，P在四边形ABCD所在平面内，求PA+PB+PD的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|x2+2x−3=0}={−3,1}，
则A∩B={1}．
故选：C．
解出一元二次方程，再利用交集含义即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=1+i，则实部和虚部分别是1，1．
故选：A．
化简复数z，可得z的实部和虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，各侧面都是全等的等腰三角形，且底面为正多边形的棱锥是正棱锥，A错误；
对于B，绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，B错误；
对于C，若几何体中，有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形，不能保证侧棱的延长线交于一点，该几何体不一定为棱台，C错误；
对于D，由棱台的定义，棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：D．
根据题意，由棱锥的定义分析A，由圆锥的定义分析B，由棱台的定义分析C和D，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱台、棱锥的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A=B时，sin2A=sin2B，充分性满足，
当A+B=π2时，sin2A=sin2(π2−B)=sin(π−2B)=sin2B，必要性不满足，
所以“A=B”是“sin2A=sin2B”的充分不必要条件．
故选：B．
根据充分必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知，AB=15海里，BC=10海里，∠ABC=45°+(90°−75°)=60°，
由余弦定理得，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=152+102−2×15×10×12=175，
所以AC=5 7海里．
故选：A．
先将实际问题转化为数学模型，再利用余弦定理，求解即可．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由 θ∈(π4,π2)，得 csθ∈(0, 22)，
因为csθ=a⋅b|a||b|=2−m m2+1× 5，
所以00(2−m)25(m2+1)0，x+2y−z=0，得z=x+2y≥2 x⋅2y，
则z2xy≥8，当且仅当x=2y时取等号，
所以当x=2y>0时，z2xy取得最小值8；
当x=2y>0时，z=4y，1z2−2x−1y=116y2−2y=116(1y−16)2−16≥−16，当且仅当y=116时取等号，
所以x=18,y=116,z=14时，1z2−2x−1y取得最小值−16．
故答案为：8；−16．
根据给定条件，利用基本不等式、二次函数分别求出最小值即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14.【答案】(8,12]
【解析】解：连接OE、AB，设∠AOE=2θ，则∠BOE=π2−2θ，∠ABE=θ，所以∠OBE=θ+π4；
在△OBE中，由正弦定理得，BEsin(π2−2θ)=OEsin(θ+π4)，则BE=OEsin(π2−2θ)sin(θ+π4)=OEsin(2θ+π2)sin(θ+π4)=8cs(θ+π4)；
在Rt△ODE中，由正弦定理得，DEsin2θ=OEsin90∘，则DE=OEsin2θ=4sin2θ，
所以平行四边形BCDE的周长为：
2(BE+DE)=16cs(θ+π4)+8sin2θ
=16cs(θ+π4)−8cs(2θ+π2)
=−16cs2(θ+π4)+16cs(θ+π4)+8
=−16[cs(θ+π4)−12]2+12，
因为0