2023-2024学年北京理工大学附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京理工大学附中高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=sinx，则Δx→0limf(0+Δx)−f(0)Δx=( )
A. 1B. −1C. 12D. −2
2.在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=( )
A. 5B. 8C. 10D. 14
3.若数列{an}满足an+1=2an，且a4=1，则数列{an}的前4项和等于( )
A. 15B. 14C. 158D. 78
4.如图1，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路(其中弯曲部分满足某三次函数)，并与两条直道公路平滑连接(相切)，根据图2所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为( )
A. y=14x3−xB. y=14x3+12x2−2x
C. y=12x3+12x2−3xD. y=12x3−12x2−x
5.已知{an}(n∈N*)为等比数列，则“a1A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
6.中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法⋅商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为( )
A. 324B. 325C. 326D. 395
7.若f(x)=13x3+x2−ax+b在[1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)B. (−∞,−1]C. (−∞,3)D. (−∞,3]
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5<0，a3+a8>0，则使得不等式Sn<0成立的最大的n的值为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
9.已知4a=ln4，eb=1，5c=ln5，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>a>bC. b>c>aD. b>a>c
10.设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6−1a7−1<0，则下列结论错误的是( )
A. 01C. Tn的最大值为T6D. T13<1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn=2n，则a2= ．
12.如图，函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l，方程为y=−x+4，则f′(2)= ______．
13.已知函数f(x)=(x+1)ex,x<1,x2−2x,x≥1,则函数f(x)的零点个数为 ．
14.已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4=15，则q=______，a1=______．
15.已知函数f(x)=x2+x−1ex，给出下列四个结论：
①函数f(x)存在两个不同的零点
②函数f(x)只有极大值没有极小值
③当−e④若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5e2，则t的最小值为2
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−2x2+x．
(Ⅰ)求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[−1,4]上的最大值与最小值．
17.(本小题14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a7，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
条件①：a1=−3；
条件②：an+1−an=2；
条件③：S2=−4．
18.(本小题14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+6n−2．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)证明：数列{a2n}为等差数列．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=lnx，g(x)=ex.已知直线x=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A，B，当a∈(0,e)时，设△OAB的面积为S(a)，其中O是坐标原点．
(Ⅰ)写出S(a)的函数解析式；
(Ⅱ)求S(a)的最大值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex(ax2−x+1)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；
(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．
21.(本小题15分)
对于有限数列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定义：对于任意的k≤N，k∈N*，有
(1)S*(k)=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|ak|；
(2)对于c∈R，记L(k)=|a1−c|+|a2−c|+|a3−c|+⋯+|ak−c|．
对于k∈N*，若存在非零常数c，使得L(k)=S*(k)，则称常数c为数列{an}的k阶ω系数．
(Ⅰ)设数列{an}的通项公式为an=(−2)n，计算S*(4)，并判断2是否为数列的4阶ω系数；
(Ⅱ)设数列{an}的通项公式为an=3n−39，且数列{an}的m阶ω系数为3，求m的值；
(Ⅲ)设数列{an}为等差数列，满足−1，2均为数列{an}的m阶ω系数，且S*(m)=507，求m的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵f′(x)=csx，∴f′(0)=1，
∴Δx→0limf(0+Δx)−f(0)Δx=f′(0)=1．
故选：A．
求导得出f′(x)=csx，然后即可得出f′(0)的值，然后即可根据导数的定义得出答案．
本题考查了正弦函数的求导公式，导数的定义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．
由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．
【解答】
解：设{an}公差为d，
∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=10，
∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，
∴公差d=a4−a14−1=1，
∴a7=a1+6d=2+6=8，
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得，数列{an}是以2为公比的等比数列，
又a4=1，所以a3=12，a2=14，a1=18，
所以{an}的前4项和为1+12+14+18=158．
故选：C．
由已知结合等比数列的通项公式求出前4项，然后求出数列{an}的前4项和即可．
本题主要考查了等比数列的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由函数图象知，此三次函数在(0,0)上处与直线y=−x相切，在(2,0)点处与y=3x−6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A、y′=34x2−1，将2代入，此时导数为−1，与点(2,0)处切线斜率为3矛盾，故A错误；
B、y′=34x2+x−2，将0代入，此时导数为−2，与点(0,0)处切线斜率为−1矛盾，故B错误．
C、y′=32x2+x−3，将0代入，此时导数为−3，不为−1，故C错误；
D、y′=32x2−x−1，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是−1，3，符合题意，故D正确；
故选：D．
由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．
本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．
5.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2>a1”⇔a1(q−1)>0，⇔a1>0q>1，或a1<0q<1(q≠0)．
由数列{an}为递增数列，可得a1>0q>1，或a1<00∴“a1故选：A．
设等比数列{an}的公比为q，则“a10⇔a1>0q>1，或a1<0q<1(q≠0).由数列{an}为递增数列，可得a1>0q>1，或a1<00本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：记第n层有an个球，则a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，
结合高阶等差数列的概念知a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，⋯，an−an−1=n(n≥2)，
则第25层的小球个数：
a25=(a25−a24)+(a24−a23)+⋯+(a2−a1)+a1=25+24+23+⋯+2+1=325．
故选：B．
记第n层有an个球，则根据题意可得an−an−1=n(n≥2)，再根据累加法求解即可．
本题主要考查归纳推理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)在[1,+∞)上单调递增，
∴f′(x)=x2+2x−a≥0在[1,+∞)上恒成立，
∵f′(x)在[1,+∞)上单调递增，
∴f′(x)≥f′(1)=3−a≥0，解得：a≤3，
∴a的取值范围为(−∞,3]．
故选：D．
由单调性可知f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，结合二次函数性质可得f′(x)≥f′(1)，由此可得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为等差数列{an}中a3+a8>0，d>0，则a1+a10>0，则S10>0，
因为a5<0，9a5<0，即S9<0，
所以使得不等式Sn<0成立的最大的n的值为9．
故选：B．
根据等差数列的基本性质求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：由题意得a=ln44，b=1e=lnee，c=ln55，
令f(x)=lnxx(x>0)，
则f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)<0得x>e，即f(x)在(e,+∞)上单调递减，
又e<4<5，则f(e)>f(4)>f(5)，即1e>ln44>ln55，
∴b>a>c．
故选：D．
由题意得a=ln44，b=1e=lnee，c=ln55，构造函数f(x)=lnxx(x>0)，可得f(x)在(e,+∞)上单调递减，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：①若q<0，∵a1>1，则a6<0，a7>0，∴a6a7<0与a6a7>1矛盾，
②若q≥1，∵a1>1，则a6>1，a7>1，∴a6−1a7−1>0与a6−1a7−1<0矛盾，
∴0∵a6−1a7−1<0，则a6>1，0∵a6>1，0∵T13=a1a2…a13=a713<1，故D正确．
故选：B．
利用等比数列的通项公式和性质，判断即可．
本题考查等比数列的通项公式和性质，属于中档题．
11.【答案】2
【解析】【分析】
利用数列通项与前n项和之间的关系即可即可．
本题考查数列通项与前n项和之间的关系，属于基础题．
【解答】
解：∵Sn=2n，
∴a1=S1=2，a1+a2=S2=4，
∴a2=2，
故答案为：2．
12.【答案】−1
【解析】解：因为在点P(2,y)处的切线y=−x+4的斜率为−1，
所以f′(2)=−1．
故答案为：−1．
根据导数的几何意义可得．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】【分析】
分段求解对应的根，即可求解结论．
本题考查求分段函数的零点，属于基础题．
【解答】
解：∵函数f(x)=(x+1)ex,x<1,x2−2x,x≥1,
∴当x<1时，f(x)=(x+1)ex=0⇒x=−1成立，
当x≥1时，f(x)=x2−2x=0⇒x=2成立，(0舍)；
故函数f(x)的零点有−1和2两个，
故答案为：2．
14.【答案】2 1
【解析】解：设an=a1qn−1，由题意知2a2=a1+S2S4=15，即2a1q=2a1+a1qa1(1−q4)1−q=15，
解得q=2，a1=1；易知q≠1．
故答案为：2；1．
根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可．
本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．
15.【答案】①③
【解析】解：对于①中，由f(x)=0，可得x2+x−1=0，解得x=−1± 52，所以①正确；
对于②中，由f′(x)=−x2−x−2ex=−(x+1)(x−2)ex，
令f′(x)>0时，可得−12，
所以函数f(x)的单调递减区间是(−∞,−1)，(2,+∞)，单调递增区间是(−1,2)，
所以f(−1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以②错误；
对于③中，当x→+∞时，f(x)→0，根据②可知，函数的最小值是f(−1)=−e，可得函数的大致图象，
所以当−e对于④中，由B知函数f(x)的单调递减区间是(−∞,−1)，(2,+∞)，单调递增区间是(−1,2)，
其中f(2)=5e2，当t=−1时，即在区间[−1,+∞)时，可得f(x)max=5e2，所以④错误．
故答案为：①③．
由f(x)=0，得到x2+x−1=0，可判定①正确；求得f′(x)=−(x+1)(x−2)eX，得出函数f(x)的单调区间，可判定②错误；根据函数的最小值是f(−1)=−e，可判定③正确；由函数的单调性和极值，可判定t=−1时，f(x)max=5e2，可判定④错误．
本题主要考查利用导数求极值和零点与方程的关系，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x3−2x2+x，定义域为R，
则f′(x)=3x2−4x+1，
所以f′(2)=3×4−4×2+1=5，又因为f(2)=2，
所以函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y−2=5(x−2)，即5x−y−8=0；
(Ⅱ)函数f(x)=x3−2x2+x，x∈[−1,4]，
则f′(x)=3x2−4x+1=(x−1)(3x−1)，
令f′(x)=0得，x=13或1，
所以当x∈[−1,13]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(13,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈[1,4]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又因为f(13)=427，f(1)=0，f(−1)=−4，f(4)=36，
所以函数f(x)在区间[−1,4]上的最大值为36，最小值为−4．
【解析】(Ⅰ)利用导数的几何意义求解；
(Ⅱ)先求出f′(x)，根据f′(x)的符号得到f(x)的单调性，进而求出函数f(x)在区间[−1,4]上的最值．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择①②作为已知条件．
∵a1=−3，an+1−an=2，
∴数列{an}是以a1=−3为首项，公差d=2的等差数列．
∴an=2n−5．
若选择②③作为已知条件．
∵an+1−an=2，
∴数列{an}是以a1为首项，公差为d=2的等差数列．
∵S2=−4，∴a1+a2=−4，则2a1+d=−4，
解得a1=−3，∴an=2n−5；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=2n−5，
设等比数列{bn}的公比为q，则b2=a4=3，b3=a7=9，
∴q=b3b2=3，b1=b2q=33=1．
∴等比数列{bn}的通项公式为bn=b1qn−1=3n−1．
可得an+bn=(2n−5)+3n−1．
∴Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn)
=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=[−3+(−1)+⋯+(2n−5)]+(1+3+⋯+3n−1)
=n×[−3+(2n−5)]2+1−3n1−3=n2−4n+12(3n−1)．
【解析】(Ⅰ)由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善，当选择①②和②③作为已知条件时，都可得到数列{an}是公差为2的等差数列，再求出首项，即可求得数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=2n−5，设等比数列{bn}的公比为q，则b2，b3可求，进一步求得公比与首项，可得等比数列{bn}的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和公式求解数列{an+bn}的前n项和Tn．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，训练了数列的分组求和，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为Sn=n2+6n−2，
若n=1，可得a1=5；
若n>2.可得an=Sn−Sn−1=(n2+6n−2)−[(n−1)2+6(n−1)−2]=2n+5，
由于a1=5不符合an=2n+5，
所以an=5,n=12n+5,n≥2；
(2)因为n∈N*，则2n≥2，由(1)可知：a2n=2(2n)+5=4n+5，
则a2(n+1)−a2n=[4(n+1)+5]−(4n+5)=4，
可知数列{a2n}是以首项a2=9，公差d=4的等差数列，
所以该数列的前n项和Tn=n(9+4n+5)2=2n2+7n．
【解析】(1)分n=1和n≥2两种情况，根据an与Sn之间的关系分析求解；
(2)由(1)可知：a2n=2(2n)+5=4n+5，利用等差数列的定义以及求和公式分析求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，S(a)=12×a×|AB|=12a×|ea−lna|，a∈(0,e)，
因为a∈(0,e)，所以ea>1，lna<1，
所以ea>lna，
所以S(a)=12a(ea−lna)=e2−12alna，a∈(0,e)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知S(a)=e2−12alna，a∈(0,e)，
则S′(a)=−12(lna+1)，
令S′(a)=0得，a=1e，
所以当a∈(0,1e)时，S′(a)>0，S(a)单调递增；当a∈(1e,e)时，S′(a)<0，S(a)单调递减，
所以当a=1e时，S(a)取得极大值，也是最大值，为S(1e)=e2+12e，
即S(a)的最大值为e2+12e．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，S(a)=12a×|ea−lna|，a∈(0,e)，再结合a∈(0,e)时ea>lna，从而求出S(a)的函数解析式；
(Ⅱ)求出S′(a)，根据S′(a)的符号得到S(a)的单调性，进而求出S(a)的最大值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ex(ax2−x+1)，f(0)=1．
f′(x)=ex(ax2−x+1+2ax−1)=ex(ax2−x+2ax)，∴f′(0)=0，
∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程为y−1=0．
(2)f′(x)=xex(ax−1+2a)，f′(0)=0．
①若a=0，则f′(x)=−xex，
x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．
∴0是函数f(x)的极大值点．
②a≠0时，f′(x)=axex(x−1−2aa)，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=1−2aa，
下面对a分类讨论：a=12时，f′(x)=12x2ex≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值点，舍去．
a>12时，x2<0，
列出表格：
0为函数f(x)的极小值点，舍去．
a<0时，x2<0，
列出表格：
0为函数f(x)的极大值点，满足题意．
00，列出表格：
列出表格：
0为函数f(x)的极大值点，满足题意．
∴a的取值范围是(−∞,12).
(3)结合(2)：a≤0，或a≥12时，f(x)不存在最小值．
例如a>12或a<0，0是函数f(x)的极大值点，且f(0)=1.x→−∞时，f(x)→0，无最小值，舍去．
00，满足：ax22−x2+2ax2=0，x2=1−2aa，
需要f(x2)=f(1−2aa)=ex2(ax22−x2+1)=ex2(1−2ax2)=ex2[1−2(1−2a)]≤0，解得：0因此函数f(x)存在最小值，a的取值范围是(0,14].
【解析】(1)函数f(x)=ex(ax2−x+1)，f(0)=1.通过求导可得f′(x)，可得切线斜率f′(0)，利用点斜式可得切线方程．
(2)f′(x)=xex(ax−1+2a)，f′(0)=0.通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．
(3)结合(2)可得：a≤0，或a≥12时，f(x)不存在最小值．对00.需要f(x2)=f(1−2aa)≤0，解得a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：(I)因数列{an}通项公式为an=(−2)n，所以数列{|an|}为等比数列，且|an| =2n．
得S*(4)=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=30．
数列{an}通项公式为an=(−2)n，所以当c=2时，L(4)=|a1−2|+|a2−2|+|a3−2|+|a4−2|=−(a1−2)+(a2−2)−(a3−2)+(a4−2)=|a1|+2+|a2|−2+|a3|+2+|a4|−2=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=S*(4)．
所以2是数列{an}的4阶ω系数．
(II)因为数列{an}的m阶ω系数为3，所以当c=3时，存在m，使L(m)=S*(m)成立．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=−39n+3n(n+1)2．
令an≥0，则n≥13．
所以，S*(n)=39n−3n(n+1)2,n ≤ 13 ,−39n+3n(n+1)2+468,n ≥ 14 .
设等差数列{an−3}的前n项和为Tn，an−3=3n−42，
则Tn=−42n+3n(n+1)2．
令an−3≥0，则n≥14．
所以，L(n)=42n−3n(n+1)2,n ≤ 13,−42n+3n(n+1)2+546,n ≥ 14.
当m≤13时，L(m)≠S*(m)，
当m≥14时，L(m)=S*(m)，
则−39m+3m(m+1)2+468=−42m+3m(m+1)2+546，解得m=26．
(III)设数列{an}为等差数列，满足−1，2均为数列{an}的m阶ω系数，S*(m)=507，
则存在k∈N*，使|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|am|=|a1+1|+|a2+1|+|a3+1|+⋯+|am+1|=|a1−2|+|a2−2|+|a3−2|+⋯+|am−2|=507成立．
设数列{an}的公差为d，构造函数f(x)=|x−d|+|x−2d|+|x−3d|+⋯+|x−md|−507．
由已知得 f(am+d)=|am|+|am−d|+|am−2d|+⋯+|am−(m−1)d|−507=|am|+|am−1|+|am−2|+⋯+|a1|−507=0．
所以，函数f(x)至少有三个零点am+d，am+d+1，am+d−2．
由函数f(x)的图象与性质，可知m为偶数，且满足m2d ≤ am+d−2得d ≥ 3 ,m2d4=507.
所以3m2≤4×507，解得m≤26．
构造等差数列{an}为：−37，−34，−33，…，38．
可知当m=26时命题成立，即m的最大值为26．
【解析】(Ⅰ)根据k阶ω系数的定义进行判断．
(Ⅱ)根据4阶ω系数的定义进行验证
(Ⅲ)根据m阶ω系数的定义建立方程进行求解．
本题主要考查数列的综合运用，根据k阶ω系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． x
(−∞,x2)
x2
(x2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
(−∞,x2)
x2
(x2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
(−∞,0)
0
(0,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增