2023-2024学年新疆吐鲁番市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆吐鲁番市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x>2C. x<2D. x≤2
2.下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( )
A. 8B. 12C. 18D. 24
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 114B. 14C. 0.1D. 50
4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 3， 4， 5B. 2，3，4C. 6，7，8D. 9，12，15
5.如图，OA=OB，则数轴上点A所表示的数是( )
A. −2.5
B. − 3
C. − 5
D. −2
6.下列说法中，错误的是( )
A. 菱形的对角线互相垂直B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的四个内角都相等D. 四个内角都相等的四边形是矩形
7.已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是( )
A. AB/​/CD，AD=BCB. ∠A=∠D，∠B=∠C
C. AB/​/CD，AB=CDD. AB=CD，∠A=∠C
8.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
9.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.计算 14× 7的结果是______．
11.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为______m.
12.计算( 10+3)2023( 10−3)2022的结果是______．
13.如图，已知两个正方形面积分别为25、169，则字母B所代表的正方形面积是______．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm，点D为AB的中点，则CD的值是______cm．
15.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，D之间的距离为5cm，点A，C之间的距离为4cm，则四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
计算：
(1) 27−3 12+ 48；
(2) 75÷ 15× 135；
(3)( 6+ 2)( 6− 2)+( 2− 3)2；
(4)(−1)2+ 24÷ 3−( 5−12023)0−|1− 2|．
17.(本小题8分)
当x= 3+1，y= 3−1时，求代数式(x−y)2和x2−y2的值．
18.(本小题12分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)证明△ABC是直角三角形；
(2)求BC边上的高．
19.(本小题10分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
20.(本小题10分)
已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
21.(本小题12分)
如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，求四边形ABCD的面积．
22.(本小题10分)
如图，AE/​/BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形．
23.(本小题12分)
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
(1)连接PQ，当运动时间为2秒时，求线段PQ的长．
(2)连接PQ、AC，在运动过程中，当运动时间为多少秒时，PQ⊥AC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 2−x在实数范围内有意义，
∴2−x≥0，
解得：x≤2．
故选D．
由二次根式 2−x在实数范围内有意义，可得2−x≥0，继而求得答案．
此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：A、 8=2 2，2 2与 3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、 12=2 3，2 3与 3是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、 18=3 2，3 2与 3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、 24=2 6，2 6与 3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．
3.【答案】B
【解析】解：A、 114= 1414，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、 14是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、 0.1= 110= 1010，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、 50=5 2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是，据此对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故错误；
B.22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；
C.62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D.92+122=152，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：由数轴可知OB= 12+22= 5，
∵OA=OB，
∴OA= 5，
∴数轴上点A表示的数为− 5．
故选：C．
先由勾股定理求出OB的长，再根据OA=OB求得OA= 5，从而可得A表示的数即可．
本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出OB的长．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个内角都相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形中四个角都是直角，
∴四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、由AB/​/CD，AD=BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由∠A=∠D，∠B=∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB/​/CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB=CD，∠A=∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EF=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24，
故选：A．
由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB//DC，
∴∠BAC=∠FCA，
由折叠的性质得：∠FAC=∠BAC，
∴∠FCA=∠FAC，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，DF=8−x，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2=AF2，
即42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴△AFC的面积=12CF×AD=12×5×4=10；
故选：B．
由矩形的性质和折叠的性质得出∠FCA=∠FAC，证出AF=CF，设AF=CF=x，DF=8−x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面积=12CF×AD，即可得出结果．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10.【答案】7 2
【解析】解： 14× 7=7 2．
故答案为：7 2．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
11.【答案】12
【解析】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，
∴AB=12．
∴旗杆的高12m．
故答案是：12．
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，难度不大．
12.【答案】 10+3
【解析】解：( 10+3)2023( 10−3)2022
=( 10+3)2022×( 10−3)2022×( 10+3)
=[( 10+3)×( 10−3)]2022×( 10+3)
=12022×( 10+3)
=1×( 10+3)
= 10+3．
故答案为： 10+3．
根据同底数幂的乘法法则以及平方差公式计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解答本题的关键．
13.【答案】144
【解析】解：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
故答案为：144
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
14.【答案】3
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴AB=2BC=6cm，
又∵D为AB的中点，
∴CD=12AB=3cm．
故答案为：3．
根据30°角的直角三角形的性质得到AB=6cm，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到结果．
本题考查了直角三角形的性质及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形各性质定理是解题的关键．
15.【答案】4 21cm2
【解析】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD//BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR=AS．
∵AR⋅BC=AS⋅CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，OB=OD，
∵A，C之间的距离为4cm，点A，D之间的距离为5cm，
∴AO=2(cm)，AD=5(cm)，
∴DO= AD2−AO2= 25−4= 21(cm)，
∴BD=2 21(cm)，
∴四边形ABCD面积=12×AC⋅BD=12×4×2 21=4 21(cm2).
故答案为：4 21cm2．
先证四边形ABCD是菱形，可得AO=OC，OB=OD，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3 3−6 3+4 3
= 3；
(2)原式= 5× 135
=2 2；
(3)原式=6−2+2+3−2 6
=9−2 6；
(4)原式=1+2 2−1−( 2−1)
=1+2 2−1− 2+1
= 2+1．
【解析】(1)直接化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
(3)直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而计算得出答案．
(4)直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：∵x= 3+1，y= 3−1，
∴x+y= 3+1+ 3−1=2 3，x−y= 3+1− 3+1=2，
∴(x−y)2=22=4；
x2−y2=(x+y)(x−y)
=2 3×2
=4 3．
【解析】先求得x+y和x−y的值，再整体代入求解即可．
本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键要明确二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18.【答案】(1)证明：根据题意得，AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

由(1)知，AB= 5，AC=2 5，BC=5，∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴AD=AB⋅ACBC= 5×2 55=2，
即BC边上的高为2．
【解析】(1)根据勾股定理逆定理求解即可；
(2)根据三角形面积公式求解即可．
此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
19.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AF=EC，则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO=FO，BO=DO，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出FO=EO是解题关键．
20.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= 82−42=4 3cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×4 3cm=16 3cm2．
【解析】根据平行四边形性质得出AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，根据等边三角形的性质得出AO=BO.推出AC=BD.得出矩形ABCD，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的应用，关键是求出BC的长和得出矩形ABCD．
21.【答案】解：∵∠C=90°，BC=3，CD=4，
∴BD= BC2+CD2= 32+42=5，
在△ABD中，AB2+BD2=122+52=144+25=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD=90°；
由图形可知：S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=12AB⋅BD+12BC⋅CD
=12×12×5+12×3×4
=30+6
=36．
【解析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理证明∠ABD=90°；四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．
22.【答案】证明：∵AE/​/BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴△BAC和△ABD是等腰三角形，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．根据平行线的性质得出和角平分线定义得出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
23.【答案】解：设点P、Q运动的时间为t (s)，则PD=BQ=t cm，
在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，BC=AD=8cm，
∴AP=CQ=(8−t)cm，
(1)当t=2是，则PD=BQ=2，AP=CQ=6，
过P作PH⊥BC于H，
则四边形CDPH是矩形，
∴CH=PD=2，PH=CD=4，
∴QH=BC−BQ−CH=4，
在Rt△PQH中，PQ= PH2+QH2= 42+42=4 2(cm)，
答：当运动时间为2秒时，线段PQ的长为4 2cm；
(2)设t秒后，PQ⊥AC，
∵AP=CQ，AP/​/CQ，
∴四边形AQCP是平行四边形，
当PQ⊥AC时，四边形AQCP为菱形，
∴AQ=CQ=8−t，
在Rt△ABQ中，可得 42+t2=8−t，
解得：t=3．
答：当t=3时，PQ⊥AC．
【解析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理．解决此题注意结合方程的思想解题．
(1)过P作PH⊥BC于H，在Rt△PQH中，根据勾股定理即可求出PQ；
(2)PQ⊥AC时，四边形AQCP为菱形，可得AQ=CQ，即 42+t2=8−t，解之即可求出结论．