2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m=(1,x)，n=(4,2)，若m/​/n，则x=( )
A. 2B. 4C. 12D. 14
2.如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是( )
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
3.若复数z满足z(1+2i)=5，则z=( )
A. 1+iB. 1−iC. 1+2iD. 1−2i
4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为( )
A. 5 1+π24πB. 5 1+4π24πC. 5 1+π22πD. 5 1+4π22π
5.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=13EC，则ED=( )
A. 12AB+14ACB. 12AB−23ACC. −12AB+14ACD. −12AB+23AC
6.已知在△ABC中，AB=3，AC=4，csA=58，则AB⋅BC=( )
A. −34B. −32C. 32D. 34
7.已知棱长均相等的四面体A−BCD的外接球的半径为 6，则这个四面体的棱长为( )
A. 3B. 2 2C. 2 3D. 4
8.已知A(1,−1)，B(4,0)，C(2,2)，平面区域D为由所有满足AP=λAB+μAC的点P(x,y)组成的区域(其中1<λ≤a，1<μ≤b)，若区域D的面积为8，则a+b的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义：a，b两个向量的叉乘a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，则以下说法正确的是( )
A. 若a×b=0，则a/​/b
B. λ(a×b)=(λa)×b
C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于AB×AD
D. 若a×b= 3，a⋅b=1，则|a+b|的最小值为 7
10.已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
C. 若z12+z22=0，则z1=z2=0D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
11.点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心
B. 若OA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，则点O为△ABC的内心
C. 若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则点O为△ABC的外心
D. 若动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|csB+AC|AC|csC)(λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，若b2+c2−a2=bc，则A=______．
13.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的两点C，D，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为______km．
14.已知平面向量a，b，c满足a⋅b=−3，|a−b|=4，c−a与c−b的夹角为π3，则|c−a−b|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
16.(本小题15分)
已知复数z=3+mi(m∈R)，z1=(1+3i)z，且z1为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)设z、z2在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点.求向量OA在向量OB上的投影向量的坐标．
17.(本小题15分)
如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R=2，设圆柱的底面半径为r．
(1)以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱；
(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=2，sin∠BADsin∠CAD=23
(1)求DC的长；
(2)若AD=2，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，△ABC中AB=1，AC=3，∠BAC=60°，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．
(1)已知AF=2，请用AB,AC表示AG；
(2)求AG⋅EF的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：m=(1,x)，n=(4,2)，m/​/n，
∴14=x2，
则x=12．
故选：C．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为线段A′B′与y′轴相交，设交点为C′，如图(1)所示，
在直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OA=O′A′，点C在y轴上，可得OC=2O′C′，
如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，所以∠BOA>∠COA=90°，
所以△OAB是钝角三角形．
故选：C．
根据斜二测画法的规则，画出△O′A′B′的直观图△OAB，结合图形，即可求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．
利用复数的除法运算法则，求解即可．
【解答】
解：因为z(1+2i)=5，
所以z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(1−2i)5=1−2i．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则有2πr=2，2πR=3，
解得r=1π,R=32π，
又圆台的高为1丈，
所以圆台的母线长为l= 12+(R−r)2= 4π2+12π，
所以圆台的侧面积为S=π(R−r)⋅l=π×(1π+32π)× 4π2+12π=5 1+4π24π．
故选：B．
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，由已知周长求出r和R，然后由圆台的侧面积公式求解即可．
本题考查了圆台的几何性质的运用，圆台的侧面积公式的运用，解题的关键是求出圆台的上下底面半径，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示：
因为D为BC的中点，
所以AD=12AB+12AC．
又因为，AE=13EC，
所以AE=14AC．
所以，ED=AD−AE=12AB+12AC−14AC=12AB+14AC．
故选：A．
根据已知可推得AD=12AB+12AC，AE=14AC.然后根据ED=AD−AE，即可得出答案．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积，属基础题．
将问题转化为向量AB,AC的数量积，即可快速求解．
【解答】
解：AB⋅BC=AB⋅(AC−AB)=AB⋅AC−(AB)2=3×4×58−9=−32，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：棱长均相等的四面体A−BCD的外接球的半径为 6，
正四面体的外接球是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线的长，
则体对角线的长为2 6，
设正方体的棱长为a，
则 a2+a2+a2=2 6，解得a=2 2，
故这个四面体的棱长为 2a=4．
故选：D．
先求出正方体的体对角线长，再结合球的特征，即可求解．
本题主要考查棱锥的结构特征，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，向量线性运算的坐标表示，平行四边形的面积公式，向量夹角的余弦公式，基本不等式，考查了计算能力，属于较难题．
以AB，AC为邻边作▱ABCD，作CE=λAB,BF=μAC，从而得出点P形成的平面区域为▱DEQF，可得出DE=(λ−1)AB,DF=(μ−1)AC，根据A，B，C的坐标即可求出sin=45，根据区域D的面积为8即可得出λμ=λ+μ，进而求出λ+μ≥4，设P(x,y)，根据AP=λAB+μAC即可得出x+y=4(λ+μ)≤4(a+b)，从而可得出a+b的最小值．
【解答】
【解答】
解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，
分别作CE=λCD=λAB，BF=μBD=μAC，
则由所有满足AP=λAB+μAC(1<λ≤a,1<μ≤b)表示的平面区域D为平行四边形DEQF，
DE=(λ−1)AB,DF=(μ−1)AC，
∵AB=(3,1)，AC=(1,3)，AB⋅AC=6，
∴|AB|=|AC|= 10，∴csAB⋅AC|AB||AC|=35，
∴sin= 1−925=45，
∴S平行四边形DEQF=|DE||DF|sin
=(λ−1)(μ−1)× 10× 10×45=8(λ−1)(μ−1)=8，
化为(λ−1)(μ−1)=1，
∴λμ=λ+μ≥2 λμ，可得λμ≥4，
∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．
∵AP=λAB+μAC(1<λ≤a,1<μ≤b)，设P(x,y)，
∴OP=OA+λAB+μAC=(1,−1)+λ(3,1)+μ(1,3)，
∴x=1+3λ+μy=−1+λ+3μ，
∵1<λ≤a，1<μ≤b，
∴x+y=4(λ+μ)≤4(a+b)，
∴a+b≥λ+μ≥4，
∴a+b的最小值为4．
故选：A．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉=0，
若a，b至少有一个为零向量，则满足a/​/b；
若a，b均不为零向量，则sin〈a,b〉=0，即a，b同向或反向，即a/​/b，故A正确，
对于B，λ(a×b)=λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，(λa)×b=|λa|⋅|b|⋅sin〈λa,b〉，
若λ≥0，则 (λa)×b=λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，此时λ(a×b)=(λa)×b；
若λ<0，(λa)×b=−λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，此时λ(a×b)≠(λa)×b，故B错误；
对于C，若四边形ABCD为平行四边形，
则它的面积等于|AB|⋅|AD|⋅sin〈AB,AD〉，即AB×AD−，故C正确；
对于D，a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉= 3，a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs〈a,b〉=1，
两式平方可得：(|a|⋅|b|)2sin2=3，(|a|⋅|b|)2cs2=1，
两式相加得：(|a|⋅|b|)2=4，即|a|⋅|b|=2，
又|a+b|= a2+2a⋅b+b2= |a|2+|b|2+2≥ 2|a|⋅|b|+2= 6，
当且仅当|a|=|b|= 2时等号成立，故|a+b|的最小值为 6，故D错误．
故选：AC．
对于A，根据叉乘定义，判断a，b至少有一个为零向量或sin〈a,b〉=0，即可判断；
对于B，根据叉乘定义，讨论λ≥0和λ<0，即可判断；
对于C，结合平行四边面积即可判断；
对于D，由a×b= 3，a⋅b=1推出|a|⋅|b|=2，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断．
本题考查平面向量的数量积与新定义：叉乘的运算，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，因为z1+z2−=a+c−(b+d)i，
z1−+z2−=a+c−(b+d)i，所以z1+z2−=z1−+z2−，故A正确；
又|z1⋅z2|=|(a+bi)(c+di)|=|ac−bd+(ad+bc)i|= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，
|z1||z2|= a2+b2⋅ c2+d2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，
所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|，故B正确；
取z1=1，z2=i，可得z12+z22=1−1=0，故C错误；
若z1z2=0，由B选项知|z1z2|=|z1|⋅|z2|=0，所以|z1|=0或|z2|=0，可得z1=0或z2=0，故D正确．
故选：ABD．
利用复数运算性质判断ABD，举反例判断C．
本题考查了共轭复数的定义及求法，复数模的求法，复数的运算，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的重心、垂心、外心的判定，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的线性运算，三角形的重心、垂心、外心的判定，正弦定理的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：根据正弦定理：|AB|sinC=|AC|sinB，所以AP和AB+AC共线，
设点D为BC的中点，所以AB+AC=2AD，故动点P的轨迹一定经过△ABC的重心，故A错误；
对于B：由于AC|AC|,AB|AB|都为单位向量，满足菱形的性质特征，
OA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，
故向量OA和∠A的平分线垂直相交于点O，则点O为△ABC的内心，故B正确；
对于C：取AB的中点D，由于OA+OB=2OD，且满足(OA+OB)⋅AB=0，
说明则点O是AB垂直平分线上的点，故点O为△ABC的外心，故C正确；
对于D：同选项A分析，也根据正弦定理：|AB|sinC=|AC|sinB，
所以AP和AB+AC共线，设点D为BC的中点，所以AB+AC=2AD，
故动点P的轨迹一定经过△ABC的重心，但是AB|AB|csB和AC|AC|csC就不对了，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】60°
【解析】解：∵b2+c2−a2=bc，
∴根据余弦定理得：csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又A为三角形的内角，
则A=60°．
故答案为：60°
利用余弦定理表示出csA，把已知的等式代入求出csA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
13.【答案】4 153
【解析】解：由图可得∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在△ACD中，由正弦定理可得ADsin120∘=DCsin30∘,AD=4 3，
在△BCD中，由正弦定理可得DCsin60∘=DBsin45∘,BD=4 63，
在△BDA中，由余弦定理可得：AB= AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs45°
= 48+323−2×4 3×4 63× 22=4 153．
故答案为：4 153．
在△ACD中，在△BCD中，分别由正弦定理求出AD=4 3,BD=4 63，在△BDA中，由余弦定理可得解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
14.【答案】1+2 3
【解析】解：∵平面向量a，b，c满足a⋅b=−3，|a−b|=4，
∴| a+b|= (a+b)2= (a−b)2+4a⋅b=2，
设平面向量a，b，c都是以O为起点，终点分别是A，B，C，
则| a+b|终点N到O的距离为2，设AB的中点为M，则|MN|=1，
即可得终点N的轨迹是以M为圆心，以1为半径的圆，
由c−a与c−b的夹角为π3，∴点C在以AB为弦，圆周角为π3的优弧上，
当C、M、N共线，且C、N在直线AB两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，
也就是|c−a−b|的最大值，此时|CM|=2 3，|MN|=1，|CN|=1+2 3，
故答案为：1+2 3．
利用向量的模的运算求得| a+b|=2，设平面向量向量a，b，c都是以O为起点，终点分别是A，B，C，求得平面向量a+b的终点N的轨迹，由c−a与c−d的夹角为π3，得到C的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的最大值，即为所求．
本题考查向量的线性运算、向量的模及向量的夹角的几何意义，向量的数量积和模的运算，圆的性质和与圆有关的距离最值问题，属难题．
15.【答案】解：(1)∵(a+b)⊥b，|a|=5，|b|=4，
∴(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
∴5×4×cs〈a,b〉+16=0，
∴cs〈a,b〉=−45；
(2)由(1)知a⋅b=5×4×(−45)=−16，
∴(2a+b)2=4a2+b2+4a⋅b=4×25+16+4×(−16)=52，
∴|2a+b|=2 13．
【解析】(1)根据向量垂直得到(a+b)⋅b=0，由数量积的定义及运算律计算可得；
(2)首先求出a⋅b，再根据数量积的运算律求出(2a+b)2，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)由已知可得z1=(1+3i)(3+mi)=3−3m+(9+m)i，
因为z1为纯虚数，所以3−3m=0，所以m=1，所以z=3+i；
(2)由(1)可得z=3+i，所以z2=8+6i，即A(3,1)，B(8,6)，
所以OA=(3,1),OB=(8,6)，
所以向量OA在向量OB上的投影向量为OA⋅OB|OB|2⋅OB=3×8+1×682+62×(8,6)=(125,95)．
【解析】(1)利用复数的概念及乘法运算计算即可；
(2)利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可．
本题考查复数的概念和投影向量，属于基础题．
17.【答案】解：(1)如图，点O′为圆柱底面圆圆心，连接OO′，

OO′= 22−r2= 4−r2 , h=2OO′=2 4−r2，
S柱=2S底+S侧=2πr2+2πrh=2πr2+2πr×2 4−r2
=2πr2+4πr 4−r2，
V柱=S底h=πr2×2 4−r2=2πr2 4−r2；
(2)S侧=4πr 4−r2=4π r2(4−r2) ⩽ 4π (r2+4−r22)2=8π，
当且仅当r2=4−r2，即r= 2时，取最大值，最大值为8π．
【解析】(1)点O′为圆柱底面圆圆心，连接OO′，利用圆柱的表面积和体积公式即可求解；
(2)利用圆柱的侧面积公式和基本不等式即可求解．
本题考查了圆柱的表面积和体积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABD中，由正弦定理，得
BDsin∠BAD=ADsin∠B，
在△ACD中，由正弦定理，得
DCsin∠CAD=ADsin∠C．
因为AB=AC，所以∠B=∠C，所以sin∠B=sin∠C．
从而有BDsin∠BAD=DCsin∠CAD，即BDDC=sin∠BADsin∠CAD．
又sin∠BADsin∠CAD=23，所以DC=32BD=3．
(2)在△ABD中，由余弦定理，得
AB2=AD2+BD2−2×AD×BDcs∠BDA
=22+22−2×2×2cs∠BDA
=8−8cs∠BDA．
在△ACD中，由余弦定理，得
AC2=DC2+AD2−2×DC×ADcs∠CDA
=32+22−12cs∠CDA
=13−12cs∠CDA
由AB=AC，得8−8cs∠BDA=13−12cs∠CDA，
因为∠BDA+∠CDA=π，所以cs∠CDA=−cs∠BDA，
故有8−8cs∠BDA=13+12cs∠BDA，
解得cs∠BDA=14，
又∠BDA∈(0,π)，
所以sin∠BDA= 154，
sin∠CDA= 154．
所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=12×AD×BDsin∠BDA+12×AD×CDsin∠CDA=5 154．
【解析】(1)根据正弦定理即条件AB=AC可以推得32BD；
(2)有余弦定理和AB=AC可以推得8−8cs∠BDA=13−12cs∠CDA，又因为∠BDA+∠CDA=π，可以推得sin∠BDA，继而得出三角形面积．
本题考查正弦定理、余弦定理以及解三角形的知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)线段AE与线段AF的长度乘积为1
则|AE||AF|=1且AF=2，
所以AE=12，
设AG=λAD=λ2AB+λ2AC=λ2⋅2AE+λ2⋅32AF=λAE+34λAF，
又因为E，G，F共线，
由平面向量的基本定理可得，λ+34λ=1，解得λ=47，
所以AG=27AB+27AC．
(2)设AG=λAD=λ2AB+λ2AC，
令|AE|=x，|AF|=y，线段AE与线段AF的长度乘积为1，
则xy=1，
又因为E，G，F共线，
设AG=μAE+(1−μ)AF，则AG=μxAB+(1−μ)y3AC，
由平面向量的基本定理可知，μx=λ2(1−μ)y3=λ2，解得μ=y3x+y，
AG=13x+yAB+13x+yAC，
又因为EF=y3AC−xAB，
所以AG⋅EF=(13x+yAB+13x+yAC)⋅(y3AC−xAB)=7y−5x2(3x+y)，
又因为y=1x，所以AG⋅EF=7−5x22(3x2+1)，
因为y≤3，所以13≤x≤1，令f(x)=7−5x22(3x2+1)=263−53(3x2+1)2(3x2+1)=133(3x2+1)−56，
所以x∈[13,1]时，函数f(x)单调递减，
当x=13时，函数f(x)取最大值f(13)=2912；
当x=1时，函数f(x)取最小值f(1)=312=14；
故AG⋅EF的取值范围为[14,2912]．
【解析】(1)结合题意设AG=λAD=AG=λAD=λ2AB+λ2AC=λAE+34λAF，然后根据E，G，F共线求出λ=47，进而求解；
(2)令|AE|=x，|AF|=y，根据题意得xy=1，设AG=λAD=λ2AB+λ2AC，利用共线设AG=μAE+(1−μ)AF，得到AG=μxAB+(1−μ)y3AC，利用平面向量基本定理得到μ=y3x+y，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．