2023-2024学年江西省吉安市十校联盟七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市十校联盟七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. a3⋅a2=a6C. a6÷a2=a3D. (a3)3=a9
2.圆的面积计算公式为S=πR2(R为圆的半径)，变量是( )
A. πB. R，SC. π，RD. π，R，S
3.如图，对于下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠C=∠5；④∠A+∠ADC=180°.其中一定能得到AD//BC的条件有( )
A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
4.下列说法正确的有( )
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(2a+3b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( )
A. 2，8，5B. 3，8，6C. 3，7，5D. 2，6，7
6.如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB=7，AC=10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是( )
A. 18
B. 22
C. 28
D. 32
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为______．
8.一个角比它的补角小12°，则这个角的度数为______°.
9.一个长方形的周长为14，其中它的长x为自变量，宽y为因变量，则y与x之间的关系式为______．
10.若x2+2(m−3)x+25是完全平方式，则m的值为______．
11.如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是______．
12.(2x+3)x+2016=1成立的x的值为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)(−12)−2+(−1)2023+(π−3.14)0−|−3|．
(2)用简便方法计算：101×99．
14.(本小题6分)
先化简，再求值：[(a+2b)(a−2b)−a(a−b)]÷2b，其中a=2，b=14．
15.(本小题6分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作图．

(1)在图①在过点C作AB的平行线CD；
(2)在图②中过点C作CE⊥AB于E．
16.(本小题6分)
填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB(已知)
∴∠BHF=______．
∵∠1=∠ACB(已知)
∴DE/​/BC(______)
∴∠2=______.(______)
∵∠2=∠3(已知)
∴∠3=______.(______)
∴CD//FH(______)
∴∠BDC=∠BHF=______.°(______)
∴CD⊥AB．
17.(本小题6分)
将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．
(1)根据题意，将下面的表格补充完整．
(2)直接写出y与x的关系式：______．
(3)要使粘合后的长方形总面积为1656cm2，则需用多少张这样的白纸？
18.(本小题8分)
如图，某小区有一块长为(a+4b)米，宽为(a+3b)米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；(结果化为最简)
(2)若a=1，b=4，求出此时绿化的总面积S．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠B=34°，∠ACB=104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
20.(本小题8分)
自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练.以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离s(km)与所用时间t(h)之间的关系.请根据图象回答下列问题：
(1)途中小轩共休息了______小时；
(2)小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离a是多少km？
(3)小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是______km/h；
(4)已知小轩是早上7点离开家的，请通过计算，求出小轩到家的时间．
21.(本小题9分)
已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
(1)化简：|a−b+c|−|b−c−a|+|a+b+c|；
(2)若a2+b2−4a−10b+29=0.且c为偶数.求△ABC的周长．
22.(本小题9分)
如图1，AB/​/CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE/​/AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)问题解决：按小明的思路，求∠APC的度数；
(2)问题迁移：如图2，AB/​/CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)问题应用：在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请画出图形，并直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
23.(本小题12分)
[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)观察图②，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______；
(2)根据(1)中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=112，求(x−y)2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
(3)根据图③，写出一个代数恒等式：______；
(4)已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b32的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故此选项不符合题意；
B、a3⋅a2=a4，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
D、(a3)3=a9，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在圆的面积计算公式S=πR2中，变量为S，R．
故选：B．
在圆的面积计算公式S=πR2中，π是圆周率，是常数，变量为S，R．
本题考查了变量和常量．解题的关键是掌握圆的面积S随半径r的变化而变化，所以S，R都是变量，其中R是自变量，S是因变量．
3.【答案】B
【解析】解：①∵∠1=∠2，
∴AB/​/CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD//BC；
③∵∠C=∠5，
∴AD//BC，
④∵∠A+∠ADC=180°
∴AB/​/CD，
故选：B．
利用平行线的判定方法一一判断即可
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】A
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，原说法错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，原说法正确；
综上，只有④的说法正确，
故选：A．
根据平行线公理，垂线以及平行线的性质，对选项逐个判断即可．
此题考查了平行公理，垂线以及平行线的性质．掌握平行线的性质是关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
由(2a+3b)×(a+2b)=2a2+7ab+6b2，得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，因此需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
【解答】解：长为(2a+3b)，宽为(a+2b)的大长方形的面积为：(2a+3b)×(a+2b)=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB=7，AC=10，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=25=10+CE+AE，
∴CE+AE=15，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=7+CE+AE=7+15=22，
故选：B．
根据中点得到BE=CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可．
本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键．
7.【答案】7.8×10−6
【解析】解：0.0000078=7.8×1 0−6．
故答案为：7.8×1 0−6．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键．
8.【答案】84
【解析】解：设这个角为α，则它的补角为α+12，
α+α+12=180，
α=84，
∴这个角的度数为84°．
故答案为：84．
可以设这个角为α，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
9.【答案】y=7−x
【解析】解：∵长方形的周长为14，长为x，宽为y，
∴2(y+x)=14，
∴y=7−x，
故答案为：y=7−x．
根据等腰三角形的周长为14列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可．
本题主要考查列关系式，能列出方程是解题的关键．
10.【答案】8或−2
【解析】解：∵x2+2(m−3)x+25是完全平方式，
∴2(m−3)x=±2x×5，
整理得：2m−6=10或2m−6=−10，
解得m=8或m=−2．
故答案为：8或−2．
根据完全平方公式的特点即可解答．
本题考查完全平方式，掌握完全平方式的特征“首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央”是解题的关键．
11.【答案】30
【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：12AE⋅BC+12AE⋅BD=12AE(BC+BD)
=12(AB−BE)(BC+BD)
=12(a−b)(a+b)
=12(a2−b2)
=12×60
=30．
故答案为：30．
直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确应用乘法公式是解题关键．
12.【答案】−2016或−1或−2
【解析】解：∵(2x+3)x+2016=1，
∴①x+2016=0，即x=−2016；
②2x+3=1，即x=−1；
③2x+3=−1，即x=−2，此时x+2016=2014，符合题意；
综上，x=−2016或−1或−2，
故答案为：−2016或−1或−2．
a0=1(a≠0)，−1的偶次幂等于1，1的任何次幂均为1，据此即可求得答案．本题考查零指数幂，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
本题考查零指数幂及有理数的乘方，进行正确的分类讨论是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=4−1+1−3
=1；
(2)原式=(100+1)×(100−1)
=10000−1
=9999．
【解析】(1)利用负整数指数幂，有理数的乘方法则，零指数幂，绝对值的性质计算即可；
(2)利用平方差公式进行简便计算即可．
本题考查实数的运算及平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】解：原式=(a2−4b2−a2+ab)÷2b
=(ab−4b2)÷2b
=ab÷2b−4b2÷2b
=a2−2b，
当a=2，b=14时，
原式=22−2×14
=1−12
=12．
【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算括号里面的，再按照多项式除以单项式法则进行化简，最后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则和多项式除以单项式法则．
15.【答案】解：(1)如图所示直线CD即为所求，
；
(2)如图所示直线CE即为所求，
．
【解析】(1)根据平行线的定义，结合网格特点作图可得；
(2)根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得．
本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线、平行线的定义．
16.【答案】90° 同位角相等，两直线平行 ∠BCD 两直线平行，内错角相等 ∠BCD 等量代换 同位角相等，两直线平行 90 两直线平行，同位角角相等
【解析】证明：FH⊥AB(已知)，
∴∠BHF=90°．
∵∠1=∠ACB(已知)，
∴DE/​/BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠BCD.(两直线平行，内错角相等)．
∵∠2=∠3(已知)，
∴∠3=∠BCD(等量代换)，
∴CD//FH(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BDC=∠BHF=90°，(两直线平行，同位角角相等)
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角角相等．
先根据垂直的定义得出∠BHF=90°，再由∠1=∠ACB得出DE/​/BC，故可得出∠2=∠BCD，根据∠2=∠3得出∠3=∠BCD，所以CD/​/FH，由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
17.【答案】(1)37；88；
(2)y=17x+3；
(3)1656÷8=207(cm)
当y=207时，17x+3=207，
解得：x=12，
所以，需要12张这样的白纸．
【解析】【分析】
本题考查了变量关系式，利用纸条的变化得出规律：纸条每增加1张纸条的长度增加17是解题关键．
(1)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(2)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(3)根据面积和宽得到纸条的长，再由自变量与变量的对应关系，可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，完成表格如下：
(2)由题意知y与x的关系式为y=17x+3，
故答案为y=17x+3．
(3)见答案．
18.【答案】解：(1)由题意得：
S=(a+3b)(a+4b)−a(a+4b)
=a2+3ab+4ab+12b2−a2−4ab
=12b2+3ab；
(2)当a=1，b=4，
S=12×42+3×1×4=204(m2).
答：此时绿化的总面积S为204m2．
【解析】(1)利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；
(2)把相应的值代入(1)中运算即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：由三角形内角和定理，得∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°−34°−104°=42°，
又∵AE平分∠BAC．
∴∠BAE=12∠BAC=12×42°=21°
∴∠AED=∠B+∠BAE=34°+21°=55°，
又∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=90°−∠AED=90°−55°=35°．
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AED，再根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的高线以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)1.5；
(2)25+15×(3−2)=40(km)，
答：目的地离家的距离a是40km；
(3)20；
(4)4+40÷20=6(h)，
7+6=13(时)，
∴小轩到家的时间是13时．

【解析】解：(1)途中小轩共休息了：1.5−1+(4−3)=1.5(小时)．
故答案为：1.5；
(2)见答案；
(3)全程最快车速是：(25−15)÷(2−1.5)=20(km/h)，
故答案为：20；
(4)见答案．
(1)根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案；
(2)根据“速度=路程÷时间”可得第1小时的速度，进而得出目的地离家的距离a；
(3)根据“速度=路程÷时间”解答即可；
(4)根据返回时所走路程和返回时的平均速度可得b的值，进而得出小轩到家的时间．
此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
21.【答案】解：(1)∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a+c>b，
∴|a−b+c|−|b−c−a|+|a+b+c|
=a+c−b−(a+c−b)+a+b+c
=a+b+c；
(2)∵a2+b2−4a−10b+29=0，
即a2−4a+4+b2−10b+25=0，
∴(a−2)2+(b−5)2=0，
∴a−2=0，b−5=0，
解得：a=2，b=5，
∴5−2即3∵c是偶数，则c=4或6，
当c=4时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+4=11，
当c=6时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+6=13，
综上所述，△ABC的周长为11或13．
【解析】(1)根据三角形的三边关系可得a+c>b，进而化简绝对值即可求解；
(2)根据完全平方公式以及非负数的性质求得a，b的值，根据三角形的三边关系求得c的值，进而即可求解．
本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，因式分解的应用，熟练掌握三角形的三边关系，完全平方公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)过点P作PE/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴PE/​/AB/​/CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
(2)∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE/​/AB交AC于E，

∵AB/​/CD，
∴AB/​/PE/​/CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
(3)如图所示，当点P在射线DM上时，
过P作PE/​/AB，交AC于E，

∵AB/​/CD，
∴AB/​/PE/​/CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1−∠PCD，
∴∠APC=α−β，
如图4所示，当P在DB延长线上时，

同理可得：∠APC=β−α．
【解析】(1)过P作PE/​/AB，通过平行线性质求∠APC即可；
(2)过P作PE/​/AB交AC于E，推出AB/​/PE/​/DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
(3)分两种情况：点P在线段OB上；点P在射线DM上，分别画出图形，根据平行线的性质和三角形的外角得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质和判定的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
23.【答案】解：(1)(a+b)2−(a−b)2=4ab ；
(2)由题(1)可知：(x+y)2−(x−y)2=4xy，
所以(x−y)2=(x+y)2−4xy=36−4×112=14；
(3)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(4)由(3)可知a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=(a+b)3−3ab(a+b)，
把a+b=3，ab=1代入得：
a3+b3=33−3×1×3=18．
所以a3+b32=9．
【解析】解：(1)用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：(a+b)2−(a−b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab ；
(2)由题(1)可知：(x+y)2−(x−y)2=4xy，
所以(x−y)2=(x+y)2−4xy=36−4×112=14．
(3)利用两种方式求解正方体的体积，即可得出关系式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(4)由(3)可知a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=(a+b)3−3ab(a+b)，
把a+b=3，ab=1代入得：
a3+b3=33−3×1×3=18．
所以a3+b32=9．
(1)观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；
(2)灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
(3)利用两种方式求解正方体的体积，得出关系式．
(4)利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．
考查了完全平方式，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力．白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
______
54
71
______
…
白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
37
54
71
88
…