2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直角三角形的两直角边长分别为12、5，则这个直角三角形的斜边长是( )
A. 13B. 13C. 169D. 119
2.在实数范围内， x有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x≤0C. x>0D. x0).解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为 24n是整数，且 24n= 4×6n=2 6n，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【解答】
解：∵ 24n= 4×6n=2 6n，且 24n是整数，
∴2 6n是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，
∴∠A=∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4cm，AB=2BC=8cm，
故选：C．
要求AB的长度，需要先求得斜边BC的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．由已知条件求得斜边BC的长度是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：12+22=5=( 5)2，A能构成直角三角形；
32+42=25=52，B能构成直角三角形；
12+( 3)2=4=22，C能构成直角三角形；
62+82=100≠122，D不能构成直角三角形；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8.【答案】C
【解析】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，正确，符合题意；
②两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，符合题意；
③有一个角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；
④对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；
⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：C．
分别根据平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟知平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是菱形
∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是菱形，
∴EF//BD//HG，FG//AC//EH，EF=12BD，FG=12AC，EF=FG，
∴AC=BD，即该梯形的两条对角线相等．
故选：A．
已知梯形四边中点得到的四边形是菱形，则根据菱形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．
此题主要考查了菱形的判定以及三角形的中位线的性质，根据已知得出EF=FG进而得出是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，依题意得AD=BC、CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，
∴B正确．
故选B．
首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可作出判定．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，先根据已知条件判定平行四边形是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CM⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
连接CM，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFME是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CM，再根据垂线段最短可得CM⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可得到EF的值，再利用直角三角形的性质即可得到CP的值．
【解答】
解：如图，连接CM交EF于P点．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFME是矩形，
∴EF=CM，
由垂线段最短可得CM⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CM，
即12×4×3=12×5⋅CM，
解得CM=2.4，
∴EF=2.4．
∵点P是EF的中点，∠ACB=90°，
∴CP=12EF=1.2
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.∠A=∠BCD．
∵∠A=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形．
∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴∠BFD=∠DEB=90°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，
∴∠BGD=360°−90°−90°−60°=120°，
故①正确；
在△CDG和△CBG中，
CD=CBCG=CGDG=BG，
∴△CDG≌△CBG(SSS)，
∴∠DGC=∠BGC=60°．
∴∠GCD=30°，
∴CG=2GD=GD+GD，
∴CG=DG+BG．
故②正确．
∵△GBC为直角三角形，
∴CG>BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF与△CGB不全等．
故③错误；
∵S菱形ABCD=2S△ADB=2×12AB⋅DE
=AB⋅( 3BE)
=AB⋅ 32AB
= 32AB2，
故④错误；
∵DE= 3BE= 32AB= 32CD，
∴2DE= 3CD，
故⑤正确；
∵BD>BF，BD=BC，
∴BC>BF，
故⑥错误．
∴正确的有：①②⑤共三个．
故选：C．
由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在直角三角形GBC中，CG>BC=BD，故△BDF与△CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．
13.【答案】2 6 5 35
【解析】解： 24= 4×6=2 6；
(− 5)2=5；
925=35．
故答案为：2 6；5；35．
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】 6 2a 2b −43
【解析】解： 18 3
= 183
= 6；
16a3b÷ 2a
= 16a3b2a
=2a 2b；
−2 563 14
=−2× 7× 2×23× 7× 2
=−43．
故答案为： 6；2a 2b；−43．
18 3= 183，再分子分母约分即可；
16a3b÷ 2a= 16a3b2a，再化简即可；
−2 563 14=−2× 7× 2×23× 7× 2，再分子分母约分即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
15.【答案】①
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
因此∠ABC=∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟记“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”是解题的关键．
16.【答案】8−4 3
【解析】解：∵x=2− 3，
∴x2+(2+ 3)x
=(2− 3)2+(2+ 3)(2− 3)
=4+3−4 3+4−3
=8−4 3．
故答案为：8−4 3．
直接把x的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
17.【答案】2或6
【解析】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=2t cm，
则CF=BC−BF=6−2t(cm)，
∵AG/​/BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6−2t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=2t cm，
则CF=BF−BC=2t−6(cm)，
∵AG/​/BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t−6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
18.【答案】 30
【解析】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4 3，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG/​/AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG−MG=2x−x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
CD= FC2−FD2= 15x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x= 2，
∴CD= 15x= 30，
故答案为： 30．
连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．
本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD．
19.【答案】解：(1)原式=9 3+14 3−20 3+2 33
=11 33；
(2)原式=2−1+3−4 3+4
=8−4 3．
【解析】(1)先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先用平方差公式，完全平方公式展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，BC=AD=3，
∴▱ABCD的周长是：2×(5+3)=2×8=16；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=38°，∠B=∠D，∠A+∠D=180°，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=180°−38°=142°．
【解析】(1).依据平行四边形的对边相等，结合周长的定义计算即可；
(2).依据平行四边形的对角相等，邻角互补，结合已知∠A=38°，计算即可．
题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形各边、各角的关系是解决问题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，
∵点F在BC的延长线上，
∴DE/​/CF，
∵DE=CF，
∴四边形CEDF为平行四边形，
∴DF/​/CE，
∴∠CDF=∠ECA，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=12AB=AE，
∴∠A=∠ECA，
∴∠ECA=∠A；
(2)∵四边形CEDF为平行四边形，
∴CE/​/DF，
∴∠CDF=∠ECA，
∵∠ECA=∠A，
∴∠CDF=∠A．
【解析】(1)根据三角形中位线的判定与性质求出DE/​/BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形CEDF为平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF/​/CE，则∠CDF=∠ECA，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出CE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACE，据此即可得证；
(2)根据平行四边形的性质得出CE/​/DF，再根据平行线的性质即可的证．
此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理，熟练运用平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由折叠性质可知：DF=AD=BC=5，EF=EA，EF⊥BD，
在Rt△BAD中，AB=12，AD=5，
由勾股定理得：BD=13；
(2)∵BF=BD−DF=13−5=8，
设AE=EF=x，
∴BE=12−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2=BE2，
即x2+82=(12−x)2，
解得：x=103，
即AE=103，
【解析】本题考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键．
(1)由折叠性质得出DF=AD=BC=5，EF=EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，由勾股定理求出BD，
(2)求出BF，设AE=EF=x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x即可．
23.【答案】证明：如图，设AC交BD于点O，
∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【解析】连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，再证明EO=FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】4.8
【解析】(1)证明：由题意可知，AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∠ABC=90°，
OA=OD，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∴OA=OD=5，△AOD的面积=12矩形ABCD的面积=14×6×8=12，
又∵△AOE的面积+△DOE的面积=△AOD的面积，
∴12OA×EF+12OD×EG=12，
即12×5×(EF+EG)=12，
解得：EF+EG=4.8，
故答案为：4.8．
(1)由题意可知，AD=BC，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
(2)由矩形的性质得OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∠ABC=90°，则OA=OD，再由刮骨疗毒得AC=10，则OA=OD=5，然后由三角形面积关系即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAB+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AB=AD，AE=AG，
∴△EAB≌△GAD(SAS)．
(2)解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠AKG=∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG=90°
∴∠KEH+∠HKE=90°，
∴∠EHK=180°−90°=90°，
∴BE⊥DG．
(3)解：连接DE，如图，
，
在Rt△ABC中，
∵AB=BC=6 2，
∴AC= (6 2)2+(6 2)2=12，
∴AO=DO=12AC=6，
∵AG=AE=AO=DO=6.AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK=∠GAK=90°，
∵DE=AG=6，∠DKE=∠AKG，
∴△DKE≌△GAK(AAS)，
∴EK=AK=3，
在Rt△DKE中，
DK= DE2+EK2= 62+32=3 5．
【解析】(1)利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边AB与AD、AE与AG，两线点的夹角相等，判定全等．
(2)利用第一问的全等条件，得到∠AEB与∠AGF相等，进而得到BE与DG的夹角是直角，垂直关系．
(3)利用正方形的性质，求得对角线长12，得到OA的长，证明AODE是正方形，借助△KDE≌△KGA求解．
本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定条件，解题关键是全等之后对应角度和对应边灵活转化．