2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 7C. 8D. 0.3
2.若 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>0B. x>3C. x≥3D. x≤3
3.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠C的度数为( )
A. 70°B. 80°C. 110°D. 150°
4.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 2，2，5D. 2，3， 5
5.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 18÷3= 6D. 8=2 2
6.若 (1−a)2=1−a，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a<1D. a≤1
7.顺次连接矩形的各边中点，所得的图形一定是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 正方形D. 矩形
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为(0,4)、(−2,0)，则点D的坐标为( )
A. (2 5,4)
B. (4,2 5)
C. (2 3,4)
D. (4,2 3)
9.如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD.固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )
A. 四边形ABCD的周长不变
B. 四边形ABCD的面积不变
C. AD=AB
D. AB=CD
10.在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE=9，连接BE，则BE+DE的最小值为( )
A. 18
B. 61
C. 10
D. 34
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. (−5)2=______．
12.一棵树在离地面6米处折断，树顶端落在离树底端8米处，该树折断之前高______米.
13.已知y= x−2+ 2−x+3，则xy= ______．
14.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC=6，则EF的长为______．
15.如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为a、b，若ab=9，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是______．
16.如图，在正方形ABCD中，AB=3，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.则下列结论：①DE=FG；②∠BFG=∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为3 22.其中正确的是______.(填写序号)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1) 80− 20+ 5；
(2)(5− 2)2．
18.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF=BE．
求证：AE=CF．
19.(本小题6分)
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．
(1)直接写出AC的长为______，△ABC的面积为______；
(2)请在如图所示的网格中，画出AC边上的高BD，求BD的长．
20.(本小题6分)
已知x=2+ 3，y=2− 3．
(1)求x2+y2的值；
(2)求x2−y2的值．
21.(本小题6分)
如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
22.(本小题8分)
在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=6，BF=8，AF平分∠DAB，求DF的长．
23.(本小题10分)
【教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2].此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p=a+b+c2，那么其三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式．
(1)如图1，若△ABC的三边长依次为BC=a=5，AC=b=6，AB=c=7，求该三角形的面积；
(2)如图2，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=8，AD=7，求该四边形的面积．
24.(本小题12分)
问题呈现：对于任意正实数x、y，由于( x− y)2≥0，所以有x−2 xy+y≥0，于是x+y≥2 xy，只有当x=y时，x+y=2 xy才成立.也就是说，若xy为定值p，则当x=y时，x+y有最小值2 p.若n>0，则只有当n= ______时，n+4n有最小值______．
数学思考：现有面积为1的矩形ABCD，直接写出其周长的最小值______．
拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知A(−3,0)，B(0,−4)，点P为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形OCPD的面积始终为12，当四边形ABCD的面积最小时，试判断四边形ABCD为何种特殊形状的平行四边形，并说明理由．
25.(本小题12分)
如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)若点E运动到AB中点时，求证：四边形DFEC是平行四边形；
(3)若CG=4时，探究3AF2+4AE的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 12= 22， 8=2 2， 0.3= 3010，
所以 12、 8、 0.3都不是最简二次根式，而 7为最简二次根式．
故选：B．
利用二次根式的性质化简得到 12= 22， 8=2 2， 0.3= 3010，从而可对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件(被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式)是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵使 x−3在实数范围内有意义，
∴x−3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
∵∠A+∠C=220°，
∴∠A=∠C=110°．
故选：C．
平行四边形的对角相等，由此来解答即可．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
4.【答案】D
【解析】解：A、1+2=3不能构成三角形，错误；
B、22+32≠42；
C、2+2<5不能构成三角形，错误；
D、22+( 5)2=32．
故选：D．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】解： 2+ 3不能合并，故选项A错误，不符合题意；
3 2− 2=2 2，故选项B错误，不符合题意；
18÷3= 18÷ 9= 2，故选项C错误，不符合题意；
8=2 2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的加减法则和乘除法则直接计算判断对错即可．
此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵ (1−a)2=1−a，
∴1−a≥0
∴a≤1．
故选D．
等式左边为(1−a)2的算术平方根，等式右边的结果1−a应为非负数．
算术平方根的结果是非负数，这是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH为菱形，
故选：B．
连接AC、BD，根据矩形的性质得到AC=BD，根据三角形中位线定理得到EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，进而得到EF=FG=GH=EH，根据菱形的判定定理证明结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵点A、B的坐标分别为(0,4)、(−2,0)，
∴OB=2，OA=4，
∴AB= OA2+OB2= 42+22=2 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2 5，AD//BC，
∴点D坐标为(2 5,4)，
故选：A．
由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质可得AD=AB=2 5，AD//BC，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设两张纸条的宽为h，
∵纸条的对边平行，
∴AD/​/BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵S▱ABCD=BC⋅h=CD⋅h，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=AB．
故选：D．
设两张等宽的纸条的宽为h，由条件可知AB/​/CD，AD//BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的面积公式得到BC=CD，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点D′，连接D′E，则DE=D′E，
∴BE+DE=BE+ED′，
当B，E，D′在同一直线上时，BE+DE的最小值等于线段BD′的长，
∵S△CDE=9，AB=CD=6，
∴12×6×DF=9，
∴DF=3，
∴DD′=2DF=6，AD′=2+6=8，
又∵AB=6，∠A=90°，
∴Rt△ABD′中，BD′= AB2+AD′2= 62+82=10，
∴BE+DE的最小值为10，
故选：C．
过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点D′，连接D′E，则DE=D′E.当B，E，D′在同一直线上时，BE+DE的最小值等于线段BD′的长，依据勾股定理求得BD′的长，即可得到BE+DE的最小值．
本题主要考查了三角形的面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】5
【解析】解：原式= 25=5．
故答案为：5．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，
由勾股定理，得：AC= AB2+BC2=10米，
∴AC+AB=6+10=16(米)，即大该树折断之前有8米高．
故答案为：16．
在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵式子 x−2与 2−x在实数范围内有意义，
∴x−2≥02−x≥0，解得x=2，
∴y=3，
∴xy=2×3=6．
故答案为：6．
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出xy的值即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
14.【答案】32
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，BC=6，
∴CD=12BC=3．
∵E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=12CD=32，
故答案为：32．
根据中线的性质可得CD=3，再由中位线的性质求解即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，令a>b，设斜边是c，
∵小正方形的面积是2，
∴(a−b)2=2，
∴a2+b2−2ab=2，
∵ab=9，
∴a2+b2=20，
∴c= a2+b2=2 5．
∴大正方形的边长是2 5．
故答案为：2 5．
直角三角形的两直角边分别为a、b，令a>b，设斜边是c，由小正方形的面积是1，得到(a−b)2=1，推出a2+b2=13，由勾股定理求出c=.因此大正方形的边长．
本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，关键是由完全平方公式得到a2+b2=13，由勾股定理即可得到答案．
16.【答案】①②③④
【解析】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∴DE=FG，
即①正确；
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE，
∴∠BFG=∠ADE，
即②正确，
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由①得，∠ABE=∠ADE，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE，
∴∠OFB=∠ADE，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°，
∴∠OFB+∠AHD=90°，
即∠FMH=90°，
∴DE⊥FG，
即③正确；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2=3 2，
∴DE=12AC=32 2，
由①知，FG=DE，
∴FG的最小值为32 2，
即④正确，
综上，①②③④正确，
故答案为：①②③④．
连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB=∠EGB=90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG=BE，OB=OF=OE=OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG=∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE=∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得AC=3 2，即可得FG的最小值为32 2，即可判断④．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
17.【答案】解：(1) 80− 20+ 5
=4 5−2 5+ 5
=3 5；
(2)(5− 2)2
=25−10 2+2
=27−10 2．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据完全平方公式展开，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：
在□ABCD中，AD=BC且AD//BC，
∵BE=FD，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【解析】由条件可证明四边形AECF为平行四边形，可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
19.【答案】 29 9
【解析】解：(1)AC= 22+52= 29，△ABC的面积=4×5−12×2×4−12×1×4−12×2×5=9．
故答案为： 29，9；
(2)如图所示，BD即为所求，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12× 29⋅BD=9，
∴BD=18 2929．
(1)利用勾股定理求出AC，利用分割法求出△ABC的面积；
(2)取格点T，连接BT交AC于点D，线段BD即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)原式=x2+y2
=(2+ 3)2+(2− 3)2
=4+2 3+3+4−2 3+3
=14；
(2)原式=(x+y)(x−y)
=(2+ 3+2− 3)[(2+ 3)−(2− 3)]
=4×2 3
=8 3．
【解析】(1)直接把x，y的值代入进行计算即可；
(2)先利用平方差公式把原式进行分解，再把x，y的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】解：设AB=AB′=x，
由题意可得出：B′E=1.4−0.6=0.8(m)，
∴AE=AB−0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2=AB2，
∴(x−0.8)2+2.42=x2，
解得：x=4，
答：秋千AB的长为4m．
【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设AB=x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=6，BF=8，
∴BC= CF2+BF2= 62+82=10，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB/​/DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=10．
【解析】(1)先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵a=5，b=6，c=7，
∴p=12(a+b+c)=9，
∴S= p(p−a)(p−b)(p−c)
=6 6；
(2)如图2，连接AC，
∠B=90° AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5，
在△ACD中，P=12×(5+7+8)=10，
S= 10×(10−5)×(10−7)×(10−8)=10 3
∴该四边形的面积=S△ABC+S△ACD=6+10 3．
【解析】(1)直接利用海伦公式计算得出答案；
(2)利用勾股定理得出AC的长，进而结合海伦公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确运用海伦公式计算是解题关键．
24.【答案】2 4 4
【解析】解：问题呈现：∵n+4n≥2 n⋅4n，
∴n+4n≥4，
当n=4n时，即n2=4时，n+4n有最小值，最小值为4，
∵n>0，
∴n=2，
即只有当n=2时，n+4n有最小值4，
故答案为：2，4；
数学思考：∵矩形ABCD的面积为1，
设矩形ABCD的长为a，则矩形的宽为1a，
∴矩形ABCD周长为2(a+1a)，
∵a+1a≥2 a⋅1a=2，
∴当a=1a时，a+1a有最小值，最小值为2，
∴2(a+1a)的最小值为2×2=4，
即矩形ABCD周长的最小值为4，
故答案为：4；
拓展运用：
设P(x,y)，
∵四边形OCPD为矩形，且面积始终为12，
∴xy=12，
∴y=12x，
∴DP=OC=x，PC=OD=y=12x，
∵A(−3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
∵S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△COD=12×3×12x+12×3×4+12×4⋅x+12x⋅12x=2x+18x+12，2x+18x≥2 2x⋅18x=12，
∴当2x=18x，即x2=9时，2x+18x有最小值为12，
∵点P为第一象限内一动点，
∴当x=3时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24，
此时OC=3，OD=4，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
问题呈现：仿照题干进行求解即可得到答案；
数学思考：设矩形ABCD的长为a，则矩形的宽为1a，仿照题干，求出a+1a的最小值，即可得到答案；
拓展运用：设P(x,y)，根据矩形的面积，推出y=12x，再根据S四边形ABCD=S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△COD，得到S四边形ABCD=2x+18x+12，进而求出当四边形ABCD的面积最小时，x=3，然后根据对角线互相垂直且平分，即可判断四边形ABCD的形状．
本题考查四边形的综合应用，掌握完全平方公式，最小值问题，菱形的判定等知识是解题关键．
25.【答案】(1)解：连接BD，AC交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=DB=4，
∴OB=2，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴AO= AB2−OB2= 42−22=2 3，
∴AC=2AO=4 3，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×4 3×4=8 3；
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴AF=AE=12AB，
∴EF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC/​/AB，DC=AB，
∴EF/​/CD，EF=CD，
∴四边形DFEC是平行四边形；
(3)解：作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=BC，
∵AB=CG=4，
∴CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD，
∵CD/​/AB，
∴∠CDG=∠GEF，
∵∠EGF=∠CGD，
∴∠EGF=∠GEF，
∴FE=FG，
∴FG=2m，
在Rt△CBH中，∠CBH=60°，
∴∠BCH=30°，
∵BC=4，
∴BH=12BC=2，
∴CH= BC2−BH2= 42−22=2 3，
∵CG=4，AB=4，
在Rt△CFH中，CF=4+2m，CH=2 3，FH=6+m，
∴CF2=CH2+FH2，
即(4+2m)2=(2 3)2+(6+m)2，
∴3m2+4m−32=0，
∴3AF2+4AE=32．
【解析】(1)连接BD，AC交于点O，由勾股定理求出AC的长，则可得出答案；
(2)证出EF//CD，EF=CD，由平行四边形的判定可得出结论；
(3)作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，由勾股定理求出CH=2 3，由CF2=CH2+FH2可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．