2023-2024学年云南省玉溪四中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省玉溪四中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果 x−2有意义，那么x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<2
2.下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. 9B. 7C. 13D. 18
3.三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是( )
A. 5，13，12B. 3，4，5C. 4，7，5D. 6，8，10
4.下列各式计算正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 8÷2 2=2C. ( 3)2=9D. (−3)2=−3
5.下列二次根式中，不能与 3合并的是( )
A. 12B. 18C. 27D. 48
6.要使▱ABCD成为矩形，下列添加条件正确的是( )
A. AB=BCB. AC⊥BD
C. AC=BDD. ∠ABC=∠CDA
7.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4米，则树高为( )
A. 4米B. 5米C. 7米D. 8米
8.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
9.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 菱形的对角相等
C. 对顶角相等D. 全等三角形的对应角相等
10.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
11.如果 (1−2a)2=2a−1，那么( )
A. a<12B. a≤12C. a>12D. a≥12
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD交BD于点E，∠AOB=110°，则∠DAE的度数为( )
A. 40°
B. 35°
C. 30°
D. 25°
13.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则CF的长为( )
A. 94
B. 154
C. 278
D. 274
14.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. BE=DF
B. ∠DAF=∠BCE
C. AE=CF
D. AF/​/CE
15.如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF= 2OA，其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B= ______度．
17.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则AB= ______．
18.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为______．
19.已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为8，则另一条对角线长为______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：
(1) 48÷ 3− 12× 12+ 24；
(2)( 3− 2)2−(2+ 3)(2− 3)．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(2a−1+1)⋅2a+2a2+2a+1，其中a= 2+1．
22.(本小题8分)
如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)直接写出AB= ______，BC= ______，AC= ______，并求出△ABC的周长；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
23.(本小题7分)
已知：点P是▱ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F.求证：AE=CF．
24.(本小题7分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．
25.(本小题8分)
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(阴影).如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：
如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30πcm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？(结果保留π)
26.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=5，BD=6，求CE的长．
27.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选B．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：算术平方根的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 7是最简二次根式，故B符合题意；
C、 13= 33，故C不符合题意；
D、 18=3 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52≠72，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
D、∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4.【答案】A
【解析】解：A． 2× 3= 6，故此选项符合题意；
B. 8÷2 2=1，故此选项不合题意；
C.( 3)2=3，故此选项不合题意；
D. (−3)2=3，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、 12=2 3，不符合题意；
B、 18=3 2，符合题意；
C、 27=3 3，不符合题意；
D、 48=4 3，不符合题意．
故选：B．
各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、添加AB=BC，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；
B、添加AC⊥BD，可以证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；
C、添加AC=BD，可以证明▱ABCD是矩形，故此选项正确；
D、添加∠ABC=∠CDA不能证明▱ABCD是菱形，故此选项错误；故选：C．
根据矩形的判定方法①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形，针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法．
7.【答案】D
【解析】解：Rt△ABC中，AC=3米，AB=4米；
由勾股定理，得：BC= AC2+AB2=5米；
∴树的高度为：AC+BC=3+5=8(米)；
故选：D．
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=12BC=4，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=1，
故选：A．
先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题，符合题意；
B、逆命题为对角相等的四边形是菱形，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为相等的角是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=12BD，
同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
11.【答案】D
【解析】解：∵ (1−2a)2=|1−2a|=2a−1，
∴1−2a≤0，
解得：a≥12．
故选D
由二次根式的化简公式得到1−2a为非正数，即可求出a的范围．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，∠ADO+∠ABD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADO=∠OAD，
∵∠AOB=∠OAD+∠ADO，
∴∠BAE=∠OAD=∠ADO=12∠AOB=12×110°=55°，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−55°=35°，
故选：B．
由矩形的性质与AE⊥BD，证得∠BAE=∠OAD=∠ADO，再由三角形外角性质求出∠BAE=∠OAD=∠ADO=55°，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识；证明∠BAE=∠ADO=∠OAD是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB/​/CD，
∴∠FAC=∠ACD，
由折叠得∠FCA=∠ACD，
∴∠FAC=∠FCA，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=3，
∴BF=6−AF=6−CF，
∵BC2+BF2=CF2，
∴32+(6−CF)2=CF2，
解得CF=154，
故选：B．
由矩形的性质得∠B=90°，AB/​/CD，则∠FAC=∠ACD，由折叠得∠FCA=∠ACD，所以∠FAC=∠FCA，则AF=CF，由勾股定理得32+(6−CF)2=CF2，求得CF=154，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，推导出∠FAC=∠FCA，进而证明AF=CF是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBEAD=BC∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
∵AF/​/CE，
∴∠AFB=∠CED，
∴∠AFD=∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的性质或全等三角形的性质可证DF=BE，由平行四边形的判定可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
又∵OB=OB，AB=CB，
∴△AOB≌△COB(SSS)；
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵∠OAE=∠OBF，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF(ASA)；
同理可证△BOE≌△COF(ASA)；
故①选项不符合题意；
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
故②选项符合题意；
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积，
∵正方形ABCD的面积=2△ABC的面积=4△ABO的面积=4四边形OEBF的面积，
∴③选项符合题意；
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB= 2OA，
故④选项符合题意，
故正确的有②③④，
故选：C．
根据正方形的性质可证有四对全等三角形，可判断①选项；根据△AOE≌△BOF可判断②③选项，根据△BOE≌△COF可判断④选项，即可得出答案．
本题考查了四边形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等，本题综合性较强，难度较大．
16.【答案】60
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=120°，
∴∠B=180°−120°=60°，
故答案为：60．
根据平行四边形的性质可得AD//BC，∠A=∠C，从而可得∠A的度数，再根据AD//BC可得∠A+∠B=180°，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
17.【答案】4
【解析】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC−BE=6−2=4，
∴CD=AB=4，
故答案为：4
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出AB的长度．
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
18.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD=12BC×CD=12×2×3=3．
故答案为：3．
根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
19.【答案】8或8 5
【解析】解：①当平行四边形是正方形时，满足条件，
∵一条对角线的长为8，
∴另一条对角线长为：8．
②当这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．
此时另外一条对角线的长度=2⋅ 82+42=8 5．
故另一条对角线长为8或8 5．
分两种情形①平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．
此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论是思想思考问题，注意一题多解．
20.【答案】解：(1) 48÷ 3− 12× 12+ 24
= 16− 6+2 6
=4+ 6；
(2)( 3− 2)2−(2+ 3)(2− 3)
=3−2 6+2−4+3
=4−2 6．
【解析】(1)先算乘除法，再算加减；
(2)先利用完全平方公式、平方差公式，再加减．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
21.【答案】解：(2a−1+1)⋅2a+2a2+2a+1
=a+1a−1⋅2(a+1)(a+1)2
=2a−1，
当a= 2+1时，
原式=2 2+1−1
= 2．
【解析】利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．
22.【答案】5 10 5 5
【解析】解：(1)由勾股定理得：AB= 32+42=5，BC= 62+82=10，AC= 22+112=5 5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+10+5 5=15+5 5；
故答案为：5，10，5 5；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB=5，BC=10，AC=5 5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)根据勾股定理可解答；
(2)根据勾股定理的逆定理可解答．
本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠PAE=∠PCF，
∵点P是▱ABCD的对角线AC的中点，
∴PA=PC，
在△PAE和△PCF中，
∠PAE=∠PCFPA=PC∠APE=∠CPF，
∴△PAE≌△PCF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠PAE=∠PCF，由点P是▱ABCD的对角线AC的中点，可得PA=PC，又由对顶角相等，可得∠APE=∠CPF，即可利用ASA证得△PAE≌△PCF，即可证得AE=CF．
此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意能利用ASA证得△PAE≌△PCF是解此题的关键．
24.【答案】证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CFDE是矩形．
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．
【解析】由题意可得，四边形CFDE是矩形，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可证的．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
25.【答案】解：(1)∵阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积，
∴(b−a)2=c2−4×12ab，
∴a2−2ab+b2=c2−2ab，
∴a2+b2=c2；
(2)画出圆柱侧面展开图：

根据圆柱底面半径为40cm，得出AC=2×40π2=40π(cm)，
∵高为30πcm，
∴AB= AC2+BC2=50π(cm)，
∴从点A爬到点B的最短路程是50π厘米．
【解析】(1)利用阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积额即可得答案；
(2)画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=12BD=3，
∴OA= AB2−OB2= 52−32=4，
∴AC=2OA=8，
∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×8×6=24，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=AB×CE=5CE=24，
∴CE=245．
【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=12BD=3，由勾股定理求出OA=4，则AC=2OA=8，再由菱形ABCD的面积即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
27.【答案】解：(1)由题意知，BE=2t，AD=4t，
则CD=AC−AD=60−4t，AE=AB−BE=30−2t，
∵DF⊥BC，∠A=60°，∠B=90°，
∴∠C=30°，∠DFC=∠B=90°，即DF/​/AE，
∴DF=12DC=30−2t，
∴DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)∵四边形AEFD是平行四边形，且AE=30−2t，AD=4t，
∴当AD=AE，即30−2t=4t时，四边形AEFD是菱形，
解得：t=5，
故当t=5时，四边形AEFD为菱形；
(3)如图1，当∠FDE=90°时，
∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=2t，DE/​/BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE=60−4t，
又AD=4t，
∴4t=60−4t，
解得：t=152；
如图2，当∠DEF=90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD/​/EF，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，即30−2t=4t，解得：t=5；
综上，当t=5或t=152时，△DEF为直角三角形．
【解析】【分析】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定与性质及直角三角形的有关性质．
(1)由题意知BE=2t、AD=4t，根据Rt△ABC中∠A=60°得CD=60−4t、AE=30−2t，由DF⊥BC知DF/​/AE、DF=12DC=30−2t，从而得出DF=AE，据此可得证；
(2)由AD=AE即可得；
(3)∠FDE=90°时，证四边形BEDF是矩形得DF=BE=2t、∠ADE=∠C=30°，据此知AD=2AE=60−4t，再结合AD=4t即可求得t的值；∠DEF=90°时由AD/​/EF知∠ADE=∠DEF=90°，从而得AE=2AD，据此可求得t的值．