2023-2024学年广东省东莞中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，比−3小的数是( )
A. −2B. 4C. −5D. 1
2.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为( )
A. 7.7×10−5B. 7.7×10−6C. 77×10−7D. 0.77×10−5
3.下列正确的是( )
A. 4×9=2×3B. 4+9=2+3C. 9=±3D. 4.9=0.7
4.化简aa−b−ba−b的结果是( )
A. a+bB. a−bC. a2−b2D. 1
5.若△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 4：9B. 2：3C. 2： 3D. 16：81
6.如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB=20°，∠FED=60°，则∠GFH的度数为( )
A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°
7.一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是( )
A. 三边形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
8.若关于x的方程x2−x+m=0没有实数根，则m的值可以为( )
A. −1B. −14C. 0D. 1
9.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k,b是常数，且k≠0)与反比例函数y2=cx(c是常数，且c≠0)的图象相交于A(−3,−2)，B(2,3)两点，则关于x的不等式kx+b>cx的解集是( )
A. −3B. x<−3或x>2
C. −32
D. 010.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6,0)、B(0,6)，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为( )
A. 7
B. 3
C. 3 2
D. 14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式3x+1<−2的解集是______．
12.因式分解：ax2−9a= ______．
13.将抛物线y=−3x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为______．
14.如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C在AD上，点C的对应点E在BC的延长线上，若∠BAE=80°，则∠B= ______．
15.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为4，H为边AF的中点，则图中阴影部分的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：| 3−1|+(12)−1−(π−3.14)0+ 9；
(2)化简：(1−1a−1)÷a2−4a2−2a+1．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，
(1)尺规作图：作△ABC的高CD，交AB于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若∠A=60°，∠B=45°，AC=10，求AB的长．
18.(本小题7分)
如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，AB=2，OB=4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若直线CD垂直平分线段AO，交AO于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段OE的长．
19.(本小题9分)
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观.学校为了解学生参加家务劳动的情况，对八年级学生参加家庭劳动情况开展调查研究，请将下面过程补全．
(1)收集数据，在八年级随机抽取20名学生进行问卷调查，他们一周参加家庭劳动的次数分别为：
3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 7 2 6 4 6 6
(2)整理数据，结果如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ______，补全频数分布直方图；
(2)已知这组数据的平均数为3.5，该校八年级现有200名学生，请估计该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
(3)劳动时间为6≤x<8的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加学校开展的以“劳动美”为主题的演讲活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
20.(本小题9分)
2023年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市．某商店计划今年购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，订购A种“蓉宝”纪念品花费6000元，订购B种“蓉宝”纪念品花费3200元，其中A种纪念品的订购单价比B种纪念品的订购单价多20元，并且订购A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍．
(1)求商店订购A种纪念品和B种纪念品分别是多少件？
(2)若商店一次性购买A，B纪念品共60件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AD=6，求EC的长．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求△AOD周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作DP/​/AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
23.(本小题12分)
实践操作：
第一步：如图(1)，正方形纸片ABCD边AD上有一点P，将正方形纸片ABCD沿BP对折，点A落在点E处；
第二步：如图(2)，将正方形ABCD沿AE对折，得到折痕AF，把纸片展平；
第三步：如图(3)，将图(1)中纸片沿PE对折，得到折痕PG，把纸片展平；
第四步：如图(4)，将图(3)中纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，把纸片展平，发现点E刚好在折痕MN上．
问题解决：
(1)在图(2)中，判断BP与AF的数量关系，并证明你的结论；
(2)在图(3)中，求证：△PDG的周长不变；
(3)在图(4)中，若正方形的边长为 3，直接写出CG的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【解答】
解：∵−2>−3，4>−3，−5<−3，1>−3，
∴所给的实数中，比−3小的数是−5．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10−6故选B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：A、 4×9= 4× 9=2×3，本选项计算正确，符合题意；
B、 4+9= 13≠2+3，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 9=3，故本选项计算错误，不符合题意；
D、 0.49=0.7，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则、二次根式的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：aa−b−ba−b=a−ba−b=1．
故选：D．
利用同分母的分式加减法的运算法则求解即可求得答案．
此题考查了同分母分式的加减运算法则．此题比较简单，注意运算结果需化为最简．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比是4：9，
故选：A．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可．
本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，∠FED=60°，
∴∠FED=∠GFB=60°，
∵∠HFB=20°，
∴∠GFH=∠GFB−∠HFB=40°，
故选：B．
先利用平行线的性质可得∠FED=∠GFB=60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：(n−2)⋅180°=360°×2，
n−2=4，
n=6，
故选：D．
设这个多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和与外角和可得：(n−2)⋅180°=360°×2，进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的方程x2−x+m=0没有实数根，
∴Δ=(−1)2−4×1×m=1−4m<0，
解得：m>14，
故选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
根据关于x的方程x2−x−m=0没有实数根，判断出Δ<0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
9.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b(k、b是常数，且k≠0)与反比例函数y2=cx(c是常数，且c≠0)的图象相交于A(−3,−2)，B(2,3)两点，
∴不等式y1>y2的解集是−32．
故选：C．
一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A(−6,0)、B(0,6)，
∴OA=OB=6，
∴AB=6 2
∴OP=12AB=3 2，
∵OQ=2，
∴PQ= OP2−QO2= 14，
故选：D．
连接OP.根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
11.【答案】x<−1
【解析】【解答】
解：解不等式3x+1<−2，得3x<−3，解得x<−1．
【分析】
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12.【答案】a(x−3)(x+3)
【解析】解：ax2−9a
=a(x2−9)
=a(x−3)(x+3)．
故答案为：a(x−3)(x+3)．
先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
13.【答案】y=−3(x+2)2
【解析】解：根据题意，将抛物线y=−3x2向左平移2个单位，得：y=−3(x+2)2，
故答案为：y=−3(x+2)2．
根据图象平移的规则，“上加下减，左加右减”，即可求解．
本题考查了图象的平移，解题的关键是：熟记图象平移规则．
14.【答案】30°
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠EAD=∠CAB，AE=AC，
∵∠BAE=80°，
∴∠EAD=∠CAB=12∠EAB=40°，
∴∠ACE=70°，
∴∠B=∠ACE−∠CAB=30°，
故答案为：30°．
根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】4 3+83π
【解析】解：过点H作HE⊥CD交CD于点Q，连接OC，OD，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为4，H为边AF的中点，
∴∠COD=60°，∠QCO=60°，CO=OD=4，Q为边CD的中点，
∴CQ=DQ=2，
∴OQ=2 3，
∴QH=4 3，
∴S△CDH=12×4×4 3=8 3，
∴扇形COD面积：60°π42360∘=83π，
∵S△COD=12×4×2 3=4 3，
∴阴影部分的面积：8 3+(83π−4 3)=8 3+83π−4 3=4 3+83π，
故答案为：4 3+83π．
根据题意先计算出S△CDH的面积，再计算扇形COD面积及S△COD面积，即可得到本题答案．
本题考查等边三角形性质，正六边形性质，扇形面积公式等．
16.【答案】解：(1)| 3−1|+(12)−1−(π−3.14)0+ 9
= 3−1+2−1+3
= 3+3；
(2)(1−1a−1)÷a2−4a2−2a+1
=(a−1a−1−1a−1)÷(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1⋅(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−1a+2．
【解析】(1)首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，然后计算加减；
(2)根据分式的混合运算法则求解即可．
本题考查了实数的运算、异分母分式的加减运算，涉及了算术平方根、负指数幂、零指数幂的运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图所示，CD即为所求；

(2)∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=90°−60°=30°，
∴AD=12AC=5，
∴CD= AC2−AD2=5 3，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD=5 3，
∴AB=BD+AD=5 3+5．
【解析】(1)以点C为圆心，适当长度为半径画弧，交AB于点E，F，然后分别以点E，F为圆心，以适当长度为半径画弧，两弧交于点M，连接CM交AB于点D，线段CD即为所求；
(2)首先根据含30°角直角三角形的性质求出AD=12AC=5，然后利用勾股定理求出CD= AC2−AD2=5 3，进而得到BD=CD=5 3，即可求解．
此题考查了尺规作三角形的高，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
18.【答案】解：(1)∵AB⊥y轴，
∴∠ABO=90°，
∵AB=2，OB=4，
∴点A的坐标为(2,4)，
将A(2,4)代入y=kx，
得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x．
(2)连接AE，过点A作AF⊥OE于点F，如图所示：

∵直线CD为线段OA的垂直平分线，
∴AE=OE，
设线段OE的长为m，则AE=m，
∵点A的坐标为(2,4)，
∴AF=4，OF=2，
∴EF=m−2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE2=AF2+EF2，
即m2=42+(m−2)2，
解得：m=5，
∴线段OE的长为5．
【解析】(1)由题意可得点A的坐标为(2,4)，代入y=kx，求出k的值即可；
(2)连接AE，过点A作AF⊥OE于点F，由直线CD为线段OA的垂直平分线可得AE=OE，设线段OE的长为m，则AE=m，EF=m−2，由勾股定理得AE2=AF2+EF2，即m2=42+(m−2)2，求出m的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】5
【解析】解：(1)由收集到的数据可知，4≤x<(6分)别有4，4，4，5，4共有5个，
∴a=5，如图所示；
(2)5+420×200=90(人)，
答：该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数为90人．
(3)画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个，
∴恰好抽到一男一女概率为812=23．
(1)根据收集到的数据找出4≤x<6有几个即可．
(2)由图表信息先求出达到平均水平及以上的概率，然后再求解八年级学生达到平均水平及以上的人数即可．
(3)列出树状图，利用概率计算公式计算即可．
本题主要考查数据统计与概率的计算，熟练掌握概率的计算是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)设商店订购B种纪念品x件，则订购A种纪念品1.25x件，
根据题意，得60001.25x−3200x=20，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的根，且符合题意，
1.25×80=100(件)，
答：商店订购A种纪念品100件，B种纪念品80件；
(2)设购买m件B种纪念品，
A种商品的单价为6000÷100=60(元)，B种商品的单价为60−20=40(元)，
根据题意，得60(60−m)+40m≤3000，
解得m≥30，
答：最少购买30件B种纪念品．
【解析】(1)设商店订购B种纪念品x件，则订购A种纪念品1.25x件，根据“A种纪念品的订购单价比B种纪念品的订购单价多20元”列分式方程，求解即可；
(2)设购买m件B种纪念品，根据总费用不超过3000元列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系或不等关系是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD．
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD/​/BE．
∴∠BED+∠ODE=180°．
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：过D作DH⊥AB于H．

∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH=DE．
∵AD=CD，
∴AD=CD．
∴Rt△ADH≌Rt△CDE(HL)，
∴AH=CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=10，AD=6，
∴BD= AB2−AD2= 102−62=8．
∵12AB⋅DH=12AD⋅BD，
∴DH=245．
∴DE=245．
∵∠E=∠ADB=90°，∠DCE=∠A，
∴△ABD∽△CDE，
∴ADCE=BDDE，即6CE=8245，
解得CE=185．
【解析】(1)连接OD，由BD为角平分线得到∠OBD=∠CBD，再由OB=OD，利用等边对等角得到∠ODB=∠OBD，从而得出∠ODB=∠CBD，利用内错角相等两直线平行得到OD与BE平行，由DE垂直于BE得到OD垂直于DE，即可得证；
(2)过D作DH⊥AB于H，根据HL得出Rt△ADH≌Rt△CDE，得出AH=CE，再根据勾股定理得出BD= AB2−AD2= 102−62=8，再利用等积法即可得出DE的长，然后证明出△ABD∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x−6)，
将(0,6)代入上式得：6=a(0+2)(0−6)，
解得a=−12，
∴抛物线的表达式为y=−12(x+2)(x−6)=−12x2+2x+6；
(2)作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，
∵B(6,0)，C(0,6)，∠BOC=90°，
∴OB=OC=6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E(6,6)，
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|=|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE= AB2+BE2= 82+62=10，
∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2=12，
(3)由已知点A(−2,0)，B(6,0)，C(0,6)，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将B(6,0)，C(0,6)代入y=kx+b中，
则6k+b=0b=6，
解得k=−1b=6，
∴直线BC的表达式为y=−x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6，
∵PD/​/AC，
∴可设直线PD表达式为y=3x+a，
由(1)设P(m,−12m2+2m+6)，
将P点坐标代入直线PD的表达式得a=−12m2−m+6，
∴直线PD的表达式为：y=3x−12m2−m+6，
由y=−x+6y=3x−12m2−m+6，
得x=18m2+14my=−18m2−14m+6，
∴D(18m2+14m,−18m2−14m+6)，
∵P，D都在第一象限，
∴S=S△PBD+S△PAD=S△PAB−S△DAB
=12|AB|[(−12m2+2m+6)−(−18m2−14m+6)]
=12×8×(−38m2+94m)
=−32m2+9m
=−32(m2−6m)
=−32(m−3)2+272，
∵−32<0，
∴当m=3时，S有最大值，最大值为272，
此时P点为(3,152)．
【解析】(1)由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x−6)，再将(0,6)代入求出a即可；
(2)根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小；
(3)先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD/​/AC，设直线PD表达式为y=3x+a，再设P(m,−12m2+2m+6)，将P点坐标代入直线PD的表达式得a=−12m2−m+6，然后解方程组求出D的坐标，再根据S=S△PBD+S△PAD=S△PAB−S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键．
23.【答案】解：BP与AF的数量关系是：AF=BP，
证明：∵正方形ABCD以BP对折，

点A落在点E处，正方形ABCD以AE对折得到折痕AF，
∴△APB≌△EPB，AF⊥PB，
设AF与PB交于点H，
∴∠AHB=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD，
∴∠BAH+∠FAP=90°，
∠BAH+∠ABP=90°，
∴∠FAP=∠ABP，
在△ABP和△DAF中，
∵∠FAP=∠ABP，AB=AD，∠BAD=∠D，
∴△ABP≌△DAF(ASA)，
∴AF=BP；
(2)连接BG，

△PDG的周长为PD+DG+PG=PD+DG+PE+EG，
由(1)得：△ABP≌△EBP，
∴AP=PE，AB=BE，∠PEB=90°，
△PDG周长为PD+AP+DG+EG=AD+DG+EG，
∴∠BEG=90°，
又∵四边刑ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=90°，
∴BC=BE，
在Rt△BEG中，
EG= BG2−BE2，
在Rt△BCG中，CG= BG2−BC2，
∴EG=CG，
∴△PDG的周长为AD+DG+EG=AD+DG+CG=AD+CD=2AD，
∵AD为正方形ABCD的边长，
∴△PDG的周长不变；
(3)纸片对折后，AD与BC重合，折痕为MN，

∴M、N分别为AB、CD的中点，MN⊥AB，MN⊥CD，
由(1)得：△BPA≌△EBP，
∴AB=BE= 3，∠ABP=∠EBP，
∵M为AB的中点，
∴BM=12 3，
∴∠BEM=30°(在直角三角形中30°对的直角边等于斜边的一半)，
由(2)得：∠BEG=90°，
∴∠BEM+∠GEN=90°，
∴∠GEN=60°，
∵MN⊥AB且MN⊥CD，
∴MN/​/AD/​/BC，∠ENG=90°，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABP=∠EBP=12∠ABE=12(90°−∠CBE)=30°，
∴BP=2AP，
∴AB= BP2−AP2= 4AP2−AP2= 3AP= 3，
∴AP=1，即：PE=1，
PD=AD−AP= 3−1，
∵∠GEN=60°，∠ENG=90°，
∠PGD=180°−∠ENG−∠GEN=30°，
在Rt△PDG中，PG=2PD=2( 3−1)，
由(2)得：EG=CG，
∴EG=PG−PE=2( 3−1)−1=2 3−3，
∴CG=EG=2 3−3．
【解析】(1)正方形ABCD以AE对折得到折痕AF，则△APB≌△EPB，AF⊥PB，进而据正方形的性质得∠FAP=∠ABP，证明△ABP≌△DAF即可得结论；
(2)由△PDG的周长为PD+DG+PG=PD+DG+PE+EG，先证明：△ABP≌△EBP，转化为△PDG周长为PD+AP+DG+EG=AD+DG+EG，再证明EG=CG，从而得到△PDG的周长为2AD结论得证；
(3)先证明：△BPD≌△EBP，则BM=12 3，∠BEM=30°；根据MN//AD//BC，∠ENG=90°，推出BP=2AP，Ap=PE=1，PD=AD−AP= 3−1，在证明EG=CG即可到结论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理、平行线的性质定理、三角形全等的判定和性质，理解题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键．分组
频数
0≤x<2
2
2≤x<4
9
4≤x<6
a
6≤x<8
4