2023-2024学年江苏省连云港市海州区新海初级中学九年级（下）期中数学试卷（一模）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市海州区新海初级中学九年级（下）期中数学试卷（一模）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−5的倒数是( )
A. 15B. −15C. −5D. 5
2.下列运算中，结果正确的( )
A. (a−1)(a+1)=a2−1B. 3+ 2= 5
C. (a+b)2=a2+b2D. a6÷a2=a3
3.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的图形，满足条件的图形有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.已知关于x的一次函数为y=mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.已知点P(a,m)，Q(b,n)都在反比例函数y=−2x的图象上，且a<0A. m+n<0B. m+n>0C. mn
6.下列说法中，不正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应该采用抽样调查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷两枚均匀的硬币，两个硬币都是正面朝上的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是随机事件
7.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>3，则x的取值范围是( )
A. −4B. −2C. x<−4或x>1
D. x<−2或x>0
8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M、N是边AD、AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：①△MED～△ENB；②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；③若菱形边长为4，M是AD的中点，连结MC，则线段MC=2 7；④若DE：BE=2：5，则AM：AN=3：4，其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名.数据260000用科学记数法表示为______．
11.因式分解：2x2−4x═______．
12.若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为______．
13.关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．
14.已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是______．
15.如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为AB的中点，过点D作AB的垂线，交边BC于点E，若点F在射线ED上(不与E点重合)，且由点D、B、F组成的三角形与△ABC相似，则DF的长为______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为线段BC(不含端点)上一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、AE、DE，AC与DE交于点F，若AB=8，CF的最大值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：sin45°−(π−4)0+2−1+ 8；
18.(本小题6分)
解不等式组：4x−1>3x①x−3≤12x−1②．
19.(本小题6分)
解方程：3x+2=xx−2−1．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=BD，点E在BD上，∠A=∠BEC=90°．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若AD=4，CE=3，求CD的长．
21.(本小题10分)
为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，我们学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法.前段时间学校采取了随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行了整理，绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息我们来解答下列问题：

(1)参与随机抽样问卷调查的有______名学生，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“乐器”所对应扇形的圆心角度数是______；
(3)若我们学校有1600名学生，估计选修书法的学生大约有多少名？
22.(本小题10分)
2022年3月，举世瞩目的北京冬奥会、冬残奥会胜利闭幕，以下是2022年北京冬奥会会徽——冬梦、冬残奥会会徽——飞跃、冬奥会吉祥物——冰墩墩及冬残奥会吉祥物——雪容融的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为______；
(2)将A冬梦和C冰墩墩的组合或B飞跃和D雪容融的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片(不放回)，请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．
23.(本小题10分)
学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm.小王同学观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
(1)已知小王同学的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少cm？
(2)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？
24.(本小题10分)
(1)如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且点D在锐角△ABC的外接圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，若AB=6，AC=4，∠BAC=60°，则线段BC的长为______，线段AD的长为______.(如需画草图，请使用图2)
25.(本小题12分)
某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据．
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
26.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为(−1,0)，AB=3，BC=6，边AD与y轴交于点E．
(1)直接写出点A、C、D的坐标；
(2)在x轴上取点F(3,0)，直线y=kx+b(k≠0)经过点E，与x轴交于点M，连接EF．
①当∠MEF=15°时，求直线y=kx+b(k≠0)的函数表达式；
②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．
27.(本小题12分)
已知抛物线y=x2+bx+c．
(1)如图①，若抛物线图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,−3)，连接AB．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式．
②若点P是抛物线上一动点(与点A不重合)，过点P作PM⊥x轴，与线段AB交于点M，是否存在点P，能使得 2PM=2AM成立？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线y=43x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x2+bx+c交于点D(−6,0)，以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE有交点，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为(−5)×(−15)=1，
所以−5的倒数是−15．
故选：B．
根据倒数的定义进行解答即可．
本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.(a−1)(a+1)=a2−1，故此选项正确；
B. 3+ 2无法合并，故此选项不合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项不合题意；
D.a6÷a2=a4，故此选项不合题意；
故选：A．
直接利用乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了乘法公式以及二次根式的加减、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：第1个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
第2个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意；
第3个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
第4个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
综上，只有2个图形符合题意，
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的识别，解答本题的关键要明确：把一个图形绕一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4.【答案】B
【解析】解：当x=−4时，y=−4+4m+3=3，
即此一次函数的图象经过定(−4,3)，
因为点(−4,3)位于第二象限，以这个函数的图象一定经过第二象限．
故选：B．
当x=−4时，可求出y=3，由此即可得出答案．
本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：y=−2x的k=−2<0，图象位于二、四象限，
∵a<0，
∴P(a,m)在第二象限，
∴m>0；
∵b>0，
∴Q(b,n)在第四象限，
∴n<0．
∴n<0即m>n，
故D正确；
故选：D．
根据反比例函数图象所处的象限，确定两个点的位置，进而得出函数值的符号，即可得出答案．
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质：k<0时，图象位于二四象限是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.为检测一批灯泡的质量，此事件调查难度较大破坏性强，应该采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意；
B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意；
C.抛掷两枚均匀的硬币，两个硬币都是正面朝上的概率是14，故此选项符合题意；
D.“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据方差、概率公式和随机事件定义进行分析即可．
本题考查了普查与抽样调查、方差、概率、必然事件与随机事件等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：由图象可得：抛物线对称轴为x=−1，当x=0时，y=3，
根据抛物线的对称性可得：当x=−2时，y=3，
∴若y>3，则x的取值范围是−2故选：B．
根据抛物线的对称轴为x=−1得到另一个交点为x=−2，结合图象即可求出y>3时的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象，根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
由折叠性质可知，∠A=∠MEN=60°，
∴∠MED+∠BEN=120°，
∵∠MED+∠DME=120°，
∴∠DME=∠BEN，
∴△MED～△ENB，故①正确；
∵∠DME=15°，
∴∠BEN=∠DME=15°，
∴∠ENB=180°−60°−15°=105°，故②正确；
如图，作MH⊥CD交CD的延长线于点H
在Rt△DMH中，∠H=90°，
由①得：∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠MDH=60°，∠DMH=30°，
∵M是AD的中点，
∴DM=2，
∴DH=1,MH= 3，
∴CM= MH2+CH2=2 7，故③正确；
设DE=2a，BE=5a，则AB=AD=BD=7a，设BN=x，则AN=EN=7a−x，
∵△MED～△ENB，
∴MEEN=EDBN=DMEB，
∴ME7a−x=2ax=DM5a
∴EM=AM=2a(7a−x)x，DM=10a2x，
∵AM+DM=7a，
∴2a(7a−x)x+10a2x=7a，解得：x=83a，
∴AM=134a,AN=133a，
∴AM：AN=3：4，故④正确；
故选：D．
根据一线三等角基本模型可得可知△MED～△ENB，可知①正确；根据相似三角形的性质可得∠BEN=∠DME=15°，再利用三角形内角和定理可知②正确；作MH⊥CD交CD|的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质得DH=1,MH= 3，再根据勾股定理可得MC的长，则③正确；设DE=2a，BE=5a，则AB=AD=BD=7a，设BN=x，则AN=EN=7a−x，利用相似三角形的性质可得EM=AM=2a(7a−x)x，DM=10a2x，再根据AM+DM=7a可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键．
9.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得：2x−4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】2.6×105
【解析】解：260000=2.6×105，
故答案为：2.6×105．
将260000写成a×10n的形式即可，注意1≤|a|<10，n的值与小数点移动位数相同．
本题考查科学记数法，解答本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．】
11.【答案】2x(x−2)
【解析】【分析】
直接提取公因式2x，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：2x2−4x=2x(x−2)．
故答案为：2x(x−2)．
12.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，确定x、y的值是关键．
一组数据21，14，x，y，9的中位数是15，可知x、y中有一个数是15，又知这组数的众数是21，因此x、y中有一个是21，所以x、y所表示的数和为15+21，可求出平均数．
【解答】
解：∵一组数据21，14，x，y，9的中位数是15，
∴x、y中必有一个数是15，
又∵一组数据21，14，x，y，9的众数是21，
∴x、y中必有一个数是21，
∴x、y所表示的数和为15+21，
∴x−=21+14+15+21+95=16，
故答案为16．
13.【答案】m<2且m≠1
【解析】解：根据题意，列出不等式组，
m−1≠022−4(m−1)>0，解得m<2且m≠1．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
(1)二次项系数不为零；
(2)在有不相等的实数根下必须满足△=b2−4ac>0．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
14.【答案】15π
【解析】解：∵圆锥的底面半径是3，高是4，
∴圆锥的母线长为5，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π．
故答案为15π．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积的计算公式是解决本题的关键．
15.【答案】158或103
【解析】解：∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=AB2=52，
当△BDF∽△BCA时，DFCA=BDBC，
∴DF3=524，
∴DF=158，
当△BDF∽△ACB时，DFCB=BDAC，
∴DF4=523，
∴DF=103，
综上所述，DF的长为158或103，
故答案为：158或103，
分两种情形：当△BDF∽△BCA时，DFCA=BDBC，当△BDF∽△ACB时，DFCB=BDAC，分别求解即可．
本题考查相似三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．
16.【答案】6
【解析】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°．
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠B=∠ACM=30°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABC=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°，
.即∠DAE=120°．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=30°，
∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
∴ADAC=AFAD，
∴AD2=AF⋅AC，
即AD2=8AF，
∴AF=AD28，
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时 AD=12AB=4．
∴AF最小=AD28=2，
∴CF最大=AC−AF=8−2=6，
故答案为：6．
利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，根据两角相等证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AF=AD28，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17.【答案】解：sin45°−(π−4)0+2−1+ 8
= 22−1+12+2 2
=5 2−12．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、根式的化简、零指数幂的性质、负指数幂分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：4x−1>3x①x−3≤12x−1②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为1【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相关知识的运算．
19.【答案】解：去分母得：3(x−2)=x(x+2)−(x+2)(x−2)，
去括号得：3x−6=x2+2x−x2+4，
解得：x=10，
检验：当x=10时，(x+2)(x−2)≠0，
∴原分式方程的解为：x=10．
【解析】先乘以最简公分母(x+2)(x−2)化为一元一次方程解题即可．
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程需要验根是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∠A=∠BEC∠ADB=∠CBDBC=BD，
∴△ABD≌△ECB(AAS)；
(2)∵△ABD≌△ECB(AAS)，
∴BE=AD=4，
∵CE=3，∠BEC=90°，
根据勾股定理，得BC=5，
∴BD=5，
∴ED=1，
在△CED中，根据勾股定理，
得CD= 12+32= 10．
【解析】(1)根据AD//BC，可得∠ADB=∠CBE，进一步根据AAS证明全等即可；
(2)根据全等三角形的性质，可得BE=AD=4，根据勾股定理，可得BC=5，进一步在△CED中根据勾股定理，即可求出CD的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】50 108°
【解析】解：(1)参与随机抽样问卷调查的学生人数有：10÷20%=50(名)，
选修绘画的人数：50×40%=20(名)，
选修书法的人数：50−(20+10+15)=5(名)，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50．
(2)“乐器”所对应扇形的圆心角度数是：360°×1550=108°，
故答案为：108°．
(3)1600×550=160(名)，
答：我们学校有1600名学生，估计选修书法的学生大约有160名．
(1)利用“舞蹈”的人数和所占百分比求得问卷调查的学生的总人数，进而可求得“绘画”及“书法”的人数，画出条形统计图即可：
(2)利用“乐器”所占百分比×360°即可求解；
(3)用“书法”所占百分比×总人数即可求解．
本题考查了用样本评估总体、条形统计图与扇形统计图综合、求扇形统计图的圆心角，能从条形统计图和扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中他们抽到的两张卡片恰好一套的有4种，
分别是：(A,C)、(B,D)、(C,A)、(D,B)，
所以她们抽到的两张卡片恰好配套的概率为412=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，小明和小红她们抽到的两张卡片恰好配套的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)设小王的影长为x cm，
由题意，得：9072=150x，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解．
答：小王的影长为120cm；
(2)如图，过点F作FG⊥CE，垂足为点G，

∵BC=CF=100，
∵i=1：0.75，
∴DECE=FGCG=10.75=43，
∴设FG=4m，CG=3m，
在Rt△CFG中，(4m)2+(3m)2=1002，m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，则四边形HBGF为矩形，
∴HF=BG=160，BH=FG=80，
∴9072=AHHF，
解得：AH=200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
答：高圆柱的高度为280cm．
【解析】(1)根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题．
(2)过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】2 7 10 33
【解析】解：(1)如图：点D即为所求；
(2)过点C作CH⊥AB，如图所示：
∵AC=4，∠BAC=60°，
∴∠ACH=90°−60°=30°,AH=12AC=2，
则BH=6−2=4，HC2=AC2−AH2=16−4=12，
∴在Rt△BCH中，BC= HC2+BH2= 12+16=2 7，
如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∴∠BMD=∠DNC=90°，
∵D在∠BAC的平分线上，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴DM=DN，CD=BD，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN，
∵DM=DN，AD=AD，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AB+AC=AM+BM+AN−CN=2AN=10，
∴AN=5，
∴AD=ANcs30∘=103 3，
故答案为：2 7，10 33
(1)作∠BAC的平分线，再作AB，AC的垂直平分线，确定△ABC的外接圆的圆心，作圆，与∠BAC的平分线的交点即为点D；
(2)过点C作CH⊥AB，运用勾股定理列式计算，得出HC2=12，结合在Rt△BCH中，BC= HC2+BH2=2 7，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N.利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，最后根据特殊角的三角函数求解．
本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，三角形的角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)设y=kx+b，由题意有：
40k+b=18070k+b=90，
解得k=−3b=300，
所以，y关于x的函数解析式为y=−3x+300；
(2)由(1)W=(−3x+300)(x−a)，
又由表知，把x=40，W=3600，代入上式可得关系式
得：3600=(−3×40+300)(40−a)，
∴a=20，
∴W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800，
所以售价x=60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
(3)由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x≤55)，
其对称轴x=60+m2>60，
∴0∴只有x=55时周销售利润最大，
∴4050=−3(55−100)(55−20−m)，
∴m=5．
【解析】(1)设y=kx+b，把x=40，y=180和x=70，y=90，代入可得解析式．
(2)根据利润=(售价−进价)×数量，得W=(−3x+300)(x−a)，把x=40，W=3600，代入上式可得关系式W=−3(x−60)2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
(3)根据根据利润=(售价−进价)×数量，得W=−3(x−100)(x−20−m)(x≤55)，其对称轴x=60+m2>60，0本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
26.【答案】解：(1)点B的坐标为(−1,0)，
∴OB=1．
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴CD=3，OC=5，AE=1，DE=5．
∴A(−1,3)，C(5,0)，D(5,3)；
(2)①∵点F(3,0)，
∴OF=3．
∵OE=3，
∴OE=OF．
∴∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠MEF=15°，
∴∠OEM=60°．
∴OM=OE⋅tan60°=3 3．
∴M(3 3,0)．
∴3 3k+b=0b=3．
解得：k=− 33b=3．
∴直线y=kx+b(k≠0)的函数表达式为：y=− 33x+3；
②设EM的中点为G，过点G作GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点N，则GN⊥CD，如图，

由题意：以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AD，BC所在直线相交．
∴以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB，CD所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，
则GH=12EM．
设M(m,0)，则OM=m．
∴EM= OE2+OM2= m2+9．
∵GH⊥AB，OB⊥AB，EA⊥AB，
∴AE//GH//BM．
∵EG=GM，
∴GH为梯形ABME的中位线．
∴GH=12(1+1+m)=2+m2．
∴2+m2=12 m2+9．
解得：m=54．
经检验，m=54是原方程的根，
∴M(54,0)；
Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，
则GN=12EM．
∵GN⊥CD，MC⊥CD，ED⊥CD，
∴DE//GN//CM．
∵EG=GM，
∴GN为梯形CMED的中位线．
∴GN=12(5+5−m)=10−m2．
∴10−m2=12 m2+9．
解得：m=9120．
经检验，m=9120是原方程的根，
∴M(9120,0)．
综上，当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，点M的坐标为(54,0)或(9120,0)．
【解析】(1)利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；
(2)①求出线段OF，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27.【答案】解：(1)由题意得，
①c=−39+3b+c=0，
∴c=−3b=−2，
∴y=x2−2x−3；
②设直线AB的函数表达式：y=px+q
∵A(3,0)，B(0,−3)，
3p+q=0q=−3，解得p=1q=−3，
∴直线AB的函数表达式：y=x−3
设P(m,m2−2m−3)，则M(m,m−3)，
∴PM=−m2+3m，
∵OA=OB=3，
∴∠OAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠MHA=90°，
∴AH=HM=3−m，AM= 2(3−m)，
∵ 2PM=2AM，
∴ 2(−m2+3m)=2 2(3−m)，
解之，得：m1=2，m2=3，
∵P与A不重合，
∴m=2，即P(2,−3)；
(2)由题意得：n=8，C(0,8)，
∴CO=8，OD=6，CD=10=CE，
∴E(10,8)，
∵D(−6,0)在y=x2+bx+c上，
∴c=6b−36，
∴y=x2+bx+(6b−36)，
①当−b2<0时，即b>0时，
∵该抛物线与线段CE有交点，
∴6b−36≤8，
∴0②当b<0时，令x=10时，y=16b+64，
∴16b+64≥8，−72≤b<0，
③当b=0时，y=x2−36，
令y=8时，x2−36=8，
∴x=±2 11，
∴当b=0时，该抛物线与线段CE有交点，
综上，−72≤b≤223．
【解析】(1)①将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c.从而得出结果；
②求出AB的解析式，设P(m,m2−2m−3)，则M(m,m−3)，从而表示出AH=HM=3−m，AM= 2(3−m)，再列出关于m的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；
(2)分为b>0和b<0两种情形．进行讨论，求出b的范围．
本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100