2023-2024学年浙江省A9协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省A9协作体高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数(1+i)(3−i)(其中i是虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知平面向量a=(12,1)，b=(−1,k)，若a⊥b，则实数k=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是( )
A. α∩β=m，n⊂α，A⊂α，A⊂β
B. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
D. α∩β=m，n∈α，A∈α，A∈β
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若b=2，c=2 3，C=60°，则角B等于( )
A. 30°B. 45°C. 135°D. 90°
5.在平行四边形ABCD中，AC=a，BD=b，则用a，b表示向量AD和AB分别是( )
A. a+b和a−bB. a−b和a+b
C. a+b2和a−b2D. a−b2和a+b2
6.已知圆台的上、下半径分别为r1，r2，3r1=r2=3.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为( )
A. 5πB. 12πC. 6πD. 36π
7.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B=60°，b=2，则边AC上中线BD的取值范围为( )
A. [ 213, 3]B. ( 213, 3]C. (1, 3)D. (1, 3]
8.折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为如图的扇形OCD，其中∠AOB=120°，OD=4，OB=1，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OP=xOC+yOD，则下列说法错误的是( )
A. 若y=x，则x+y=2B. AB⋅PQ>−5
C. PA⋅PB≥232D. 若y=3x，则OA⋅OP=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是( )
A. a=b=1B. a⊥bC. |a|=|b|D. a⋅b=1
10.对于△ABC，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
C. 若csAB
D. 若tanA>tanB，则A>B
11.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱切球(与正方体的各条棱都相切)为球O，则下列说法正确的是( )
A. 球O的体积为43π
B. 球O内接圆柱的侧面积的最大值为4π
C. 球O在正方体外部的体积小于43(2 2−1)π
D. 球O在正方体外部的面积大于6 4−2 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z(1−i)=3i，求复数z的共轭复数z−= ______．
13.已知平面向量a，b，c不共线，且两两所成角相等，若|a|=|b|=2，|c|=1，λ>0，则(a−b)⋅(a−λc)的值为______．
14.如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线BC，在点B处测量这个孔明灯的仰角为∠OBA=45°，在C处测量这个孔明灯的仰角为∠OCA=30°，在基线BC上靠近B的四等分点处有一点P，在P处测量这个孔明灯的仰角为∠OPA=60°，则这个孔明灯的高度OA= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(m2−4)+(m2−m−6)i，m∈R，i是虚数单位．
(1)若复数z是纯虚数，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)求直线AE与直线BD1所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，G为BC上一点且满足CG=2GB，AB=a，AD=b．
(1)试用向量a，b表示BF，DG；
(2)若A=60°，AB=3AD=2，求向量BF，DG夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，面对角线A1D，CD1上各有一个动点M，N，使得直线MN/​/平面A1ACC1．
(1)当M，N为对角线A1D，CD1的中点，T为CD的中点时，证明：平面MNT//平面A1ACC1；
(2)当正方体棱长为2时，求线段MN长度的最小值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=2，sinC= 3sinA．
(1)若△ABC为锐角三角形时，求边a的取值范围；
(2)求△ABC面积的最大值；
(3)在(1)的条件下，若E，F分别为AB，AC的中点，连接CE，BF交于点O，求cs∠EOF的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1+i)(3−i)=4+2i，其对应的点(4,2)位于第一象限．
故选：A．
结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(12,1)，b=(−1,k)，若a⊥b，
则12×(−1)+k=0，解得k=12．
故选：D．
结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“A⊂α，A⊂β”应该是“A∈α，A∈β”，错误；
对于B，“n∈α”应该是“n⊂α”，错误；
对于C，正确；
对于D，“n∈α”应该是“n⊂α”，错误．
故选：C．
根据题意，由空间点，线，面的位置关系的表示方法依次分析选项，综合可得答案．
本题考查空间点，线，面的位置关系的表示方法，注意符号语言的运用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为b=2，c=2 3，C=60°，
由正弦定理得，bsinB=csinC，
所以sinB=bsinCc=2× 322 3=12，
因为bB，所以C正确；
D中，当B为钝角，A为锐角时，此时tanA>tanB时，B>A，所以D不正确．
故选：ABC．
A中，由正弦定理可得a=b，进而可得A=B，即判断出该三角形的形状，进而判断出A的真假；B中，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，判断出B的真假；C中，由余弦函数的单调性，可得角A，B的关系，判断出C的真假；D中，当B为钝角，A为锐角时，判断出D的真假．
本题考查三角形中角之间的关系及余弦函数的单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对A选项，根据题意可知：棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱切球O的直径长为正方体的面对角线长，
即球O的半径为 2，∴球O的体积为43πR3=8 2π3，∴A选项错误；
对B选项，设球O内接圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
则(2R)2=(2r)2+h2，∴4r2+h2=8，
∴球O内接圆柱的侧面积为2πrh=π⋅2r⋅h≤π⋅4r2+h22=4π，
当且仅当2r=h=2时，等号成立，∴球O内接圆柱的侧面积的最大值为4π，∴B选项正确；
对C选项，∵球O在正方体外部的体积小于球O体积与正方体内切球体积之差43(2 2−1)π，∴C选项正确；
对D选项，∵球O在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，
且每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积 4−2 2π，
∴6个球冠的表面积大于6 4−2 2π，∴D选项正确．
故选：BCD．
根据题意可知：棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱切球O的直径长为正方体的面对角线长，再针对各个选项分别求解即可．
本题考查正方体的棱切球问题，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】−32−32i
【解析】解：∵z(1−i)=3i，
∴z(1−i)(1+i)=3i(1+i)，
∴2z=−3+3i，
∴z=−32+32i，
∴复数z的共轭复数z−=−32−32i，
故答案为：−32−32i.
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】6
【解析】解：因为平面向量a，b，c不共线，且两两所成角相等，所以向量a，b，c两两成120°角，
由|a|=|b|=2，|c|=1，设c=(1,0)，a=(−1, 3)，b=(−1,− 3)，
则a−b=(0,2 3)，a−λc=(−1−λ, 3)，可得(a−b)⋅(a−λc)=0×(−1−λ)+2 3× 3=6．
故答案为：6．
根据题意，向量a、b、c两两成120°角，结合|a|=|b|=2，|c|=1，设c=(1,0)，a=(−1, 3)，b=(−1,− 3)，利用平面向量数量积及其坐标运算法则算出(a−b)⋅(a−λc)的值．
本题主要考查平面向量数量积及其坐标运算法则等知识，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】1507 14m
【解析】解：因为OA⊥底面ABC，
AB，AP，AC⊂平面ABC，
所以OA⊥AB，OA⊥AP，OA⊥AC，
在Rt△OAB中，∠OBA=45°，可得AB=OA，
在Rt△OAC中，∠OCA=30°，
所以AC=OAtan∠OCA= 3OA，
在Rt△OAP中，∠OPA=60°，所以AP=OAtan∠OPA= 33OA，
因为BC=200m，由题意可得PB=14BC=50m，PC=34BC=150m，
在△ABP中，由余弦定理可得cs∠APB=AP2+PB2−AB22AP⋅PB=13AO2+502−OA22⋅ 33OA⋅50，①
在△ACP中，由余弦定理可得cs∠APC=AP2+PC2−AC22AP⋅PC=13OA2+1502−3OA22⋅ 33OA⋅150，②
因为cs∠APB+cs∠APC=0，
①+②可得：13AO2+502−OA22⋅ 33OA⋅50+13OA2+1502−3OA22⋅ 33OA⋅150=0，
整理可得：OA2=36×50214，
解得OA=150 147m.
故答案为：1507 14m.
由OA⊥底面ABC及题意可得AB，AC，AP用OA表示的代数式，分别在△ABP和△ACP中，由余弦定理可得cs∠APB，cs∠APC的余弦的表达式，再由cs∠APB+cs∠APC=0，可得关于OA的方程，进而求出OA的大小．
本题考查余弦定理的应用，互为补角的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)复数z=(m2−4)+(m2−m−6)i，复数z是纯虚数，
则m2−4=0m2−m−6≠0，解得m=±2m≠−2且m≠3，
故m=2．
(2)复数z在复平面内对应的点在第三象限，
则m2−4