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2024年北京师大附属实验中学分校中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年北京师大附属实验中学分校中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.长江干流上的葛洲坝、三峡、向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为( )
A. 7.1695×107B. 716.95×105C. 7.1695×106D. 71.695×106
2.下列4个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.式子 3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>3B. x≥3C. x<3D. x≤3
4.下列说法正确的是( )
A. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
5.将方程x2−6x+1=0配方后，原方程可变形为( )
A. (x−3)2=8B. (x−3)2=−10C. (x+3)2=−10D. (x+3)2=8
6.某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB= 3，AC=2，BD=4，则AE的长为( )
A. 32B. 32C. 217D. 2 217
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.点P(−1,3)关于原点对称的点的坐标是______．
10.因式分解：x2−4y2= ．
11.计算( 6+ 3)( 6− 3)的结果等于______．
12.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m的值为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为______．
14.若一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为17，方差为3，则另一组数据2x1+2，2x2+2，⋯2xn+2的平均数是______，方差是______．
15.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示，则y1>y2的解集是______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−2|−( 2−3)0+ 9− 2×sin45°−(13)−2．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：x+1x÷(x−1x)，其中x= 2．
19.(本小题6分)
解不等式组：2−x<52x+13≥1．
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P(n,0)，过点P作垂直于x轴的直线交直线y=kx−1于点M，交直线y=12x于点N.若MN=2，直接写出n的值．
21.(本小题6分)
2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象.小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没⋅伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A，《无名》表示为B，《流浪地球2》表示为C，《熊出没⋅伴我“熊心”》表示为D. (1)小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为 ；
(2)请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD//CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
23.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF//CE，AF与⊙O的交点为F．
(1)求证：AF=CD；
(2)若⊙O的半径为6，AH=2OH，求AE的长．
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”．
(1)如图，⊙O的半径为2，点A(0,2)，B(2,2)，C(−1,0)．
①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是______；
②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2)已知三条直线y=3，y=−x，y=−2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T(0,t)，半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围．
25.(本小题10分)
如图，直线y= 52x+ 5与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为(2,0)，直线BC与直线PD相交于点E．
(1)如图2，若抛物线经过原点O．
①求该抛物线的函数表达式；
②求BEEC的值．
(2)连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．
26.(本小题10分)
△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：71695000=7.1695×107．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：依题意，得
3−x≥0，
解得，x≤3．
故选：D．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念： a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】D
【解析】解：A.中奖率为110的奖券10张，那么不一定中奖，也就是说“中奖”是随机事件，故A错误，即A不符合题意．
B.根据实际情况，汽车出现故障与否与汽车累计行驶的路程无必然关联，汽车出现故障为随机事件，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据概率的定义，襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，也就是说襄阳明天下雨的可能性为70%，那么C错误，故C不符合题意．
D.平均数代表数据的集中趋势，方差代表数据的稳定性，那么两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，即D正确，故D符合题意．
故选：D．
根据概率、方差、随机事件、必然事件的定义解决此题．
本题主要考查概率、方差、随机事件、必然事件，熟练掌握概率、方差、随机事件、必然事件的定义是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵x2−6x+1=0，
∴x2−6x=−1，
则x2−6x+9=−1+9，即(x−3)2=8，
故选：A．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：从上向下看，是两个同心圆．
故选：B．
俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断．
本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】
解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=1，BO=12BD=2，
∵AB= 3，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，BC= AB2+AC2= ( 3)2+22= 7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴ 3×2= 7AE，
∴AE=2 217，
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，设AD与y轴交于点P，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
在△ADE和△BCH中，
∠DAE=∠CBH∠AED=∠BHCAD=BC,
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】(1,−3)
【解析】解：点关于原点的对称点，可以通过作图知道(x,y)关于原点的对称点是(−x,−y)，
因此点P(−1,3)关于原点对称的点的坐标是(1,−3)．
关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．
本题主要是通过作图总结坐标变化规律，记住，然后应用．
10.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
11.【答案】3
【解析】解：( 6+ 3)( 6− 3)
=( 6)2−( 3)2
=6−3
=3，
故答案为：3．
利用平方差公式计算即可．
本题考查的是二次根式的乘法，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
又∵B(m,−2)在反比例函数的关系式为y=−6x的图象上，
∴m=−6−2=3，
故答案为：3．
将点A(−3,2)代入反比例函数y=kx可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B(m,−2)代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
13.【答案】52或10
【解析】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN=4；
∵AF=AD=5，
由勾股定理得FN=3，
∴FM=2，
设DE为y，则EM=4−y，FE=y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2=(4−y)2+22，
∴y=52，
即DE的长为52．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN=3，
∴FM=8，
设DE为z，则EM=z−4，FE=z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2=(z−4)2+82，
∴z=10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为52或10
故答案为：52或10．
分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
14.【答案】36 12
【解析】解：∵x1、x2、…xn的平均数为17，
∴x1+x2+…+xn=17n，
∴(2x1+2+2x2+2+⋯+2xn+2)⋅1n=2×17+2=36，
∵原来的方差S12=1n[(x1−17)2+(x2−17)2+…+(xn−17)2]=3，
∴现在的方差S22=1n[(2x1+2−36)2+(2x2+2−36)2+…+(2xn+2−36)2]
=1n[4(x1−17)2+4(x2−17)2+…+4(xn−17)2]=4×3=12．
故答案为：36，12．
利用平均数求法和方差的方法分别列式求得平均数和方差得出答案即可．
此题考查算术平均数与方差，掌握算术平均数与方差的计算方法是解决问题的关键．
15.【答案】x>5
【解析】解：观察函数图象得x>5时，一次函数y1=4x+5的图象在函数y2=3x+10的图象的上方，
故y1>y2的解集是x>5．
故答案为：x>5．
利用函数图象，写出直线y1=4x+5在直线y2=3x+10上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
16.【答案】2 3
【解析】
理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，
过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=12AP，
∴CP+12AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，
∴sin60°=CNAC，
∴CN=sin60°×AC=4× 32=2 3，
∴CP+12AP=CP+PN=CN=2 3，
故答案为：2 3．
根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．
本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的中点就在于能否把a+kb转化成为a+c，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键
17.【答案】解：|−2|−( 2−3)0+ 9− 2×sin45°−(13)−2
=2−1+3− 2× 22−9
=2−1+3−1−9
=−6．
【解析】先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x+1x÷(x2x−1x)
=x+1x÷x2−1x
=x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x−1，
当x= 2时，
原式=1 2−1= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：2−x<5①2x+13≥1②，
由①得，x>−3；
由②得，x≥1，
故不等式组的解集为x≥1．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)，
将A(2,m)代入y=12x得m=1，
将A(2,1)代入y=kx−1得1=2k−1，
解得k=1；
(2)过点P作垂直于x轴的直线交直线y=x−1于点M，交直线y=12x于点N，
∵点P(n,0)，
∴M(n,n−1)，N(n,12n)，
∵MN=2，
∴|n−1−12n|=2，
解得n=6或−2．
【解析】(1)将点A的坐标代入两个表达式求得m，k的值；
(2)根据点P的坐标，表示点M，N的坐标，由MN=2，即可得出|n−1−12n|=2，解方程即可．
本题考查了一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，线段的长度；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)他选中《满江红》的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的有4种结果，
∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 102−82=6，
∴DE=2OD=12，
∴菱形AECD的面积=12AC⋅DE=12×16×12=96．
【解析】(1)证四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，再证∠AED=∠ADE，则AD=AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，再求出AC=16，则OA=OC=8，然后由勾股定理得OD=6，则DE=2OD=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接AC，OC，BC，则OC=OA，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠OCA=90°，∠B+∠OAC=90°，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠ACE=∠B，
∵AF//CE，
∴∠CAF=∠ACE=∠B，
∴CF=AC，
∵CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴CF=AD，
∴AF=CF+AC=AD+AC=CD，
∴AF=CD．
(2)解：∵⊙O的半径为6，AH=2OH，
∴OC=OA=2OH+OH=6，
∴OH=2，
∵∠OHC=∠OCE=90°，
∴OHOC=OCOE=cs∠COE，
∴OE=OC2OH=622=18，
∴AE=OE−OA=18−6=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE=∠ACB=90°，可证明∠ACE=∠B，由AF//CE，得∠CAF=∠ACE=∠B，则CF=AC，由垂径定理得AD=AC，则CF=AD，即可证明AF=CD，所以AF=CD；
(2)由⊙O的半径为6，AH=2OH，得OC=OA=2OH+OH=6，求得OH=2，因为OHOC=OCOE=cs∠COE，所以OE=OC2OH=18，则AE=12．
此题主要考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】BC
【解析】解：(1)①如图1.1，
∵A(0,2)，B(2,2)，
∴OA=2，OA⊥AB，
∴点A在⊙O上，
∴⊙O与AB相切，
∴线段AB上没有点在⊙O外，
∴线段AB不是⊙O的“交割线段”，
∵OC=1<2，OB= 22+22=2 2>2，
∴点C在⊙O内，点B在⊙O外，
∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内，
∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”，
故答案为：BC；
②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T(t、t)，
∴OH=BH=2，OG=TG=t，
此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切；
∵⊙O的半径为2，
∴OT=2，
∴t2+t2=22，
解得t= 2或=− 2(舍去)，
∴由函数图象可知，当点M在BT之间(不包括端点)，即 2由对称性可得：当−2综上所述，当−2(2)3−2 3联立y=3y=−x，
解得：x=−3y=3，
∴E(−3,3)，
同理可得D(0,3)，F(3,−3)；
如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时，
∴TD=2，
∴t=2+3=5；
如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH，
∵E(−3,3)，D(0,3)，
∴DE=OD=3，DE⊥OD，
∴∠DOE=45°，
由切线的性质可得∠THO=90°，
∴△TOH是等腰直角三角形，
∵t=OT= 2TH=2 2，
∴当2 2≤t<5时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”；
如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时，
∴TD=2，
∴t=3−2=1；
如图2.4所示，
当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q，
∴Q(32,0)，
∴DQ= OD2+OQ2=3 52，
∴sin∠ODQ=OQDQ= 55；
由切线的性质可得∠TPD=90°，TP=2，
∴sin∠TDP=TPDT= 55，
∴DT=2 5，
∴OT=DT−OD=2 5−3，
∴t=3−2 5，
∴当3−2 3综上所述，当3−2 3(1)①先根据点A和点B的坐标得到⊙O与AB相切，则线段AB上没有点在⊙O外；再证明线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内，即可得到结论；
②设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T(t、t)，利用勾股定理求出t= 2，由函数图象可知，当点M在BT之间(不包括端点)，即 2(3)分图2−1，图2−2，图2−3，图2−4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案．
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．
25.【答案】解：(1)①∵抛物线经过原点O(0,0)、C(2,0)，
∴对称轴为直线x=1，
当x=1时，y= 52×1+ 5=3 52，
∴抛物线的顶点P(1,3 52)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3 52，把C(2,0)代入，得a+3 52=0，
解得：a=−3 52，
∴y=−3 52(x−1)2+3 52=−3 52x2+3 5x，
∴该抛物线的函数表达式为y=−3 52x2+3 5x；
②∵直线y= 52x+ 5与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A(−2,0)，B(0, 5)，
设直线OP的解析式为y=kx，把P(1,3 52)代入，得：k=3 52，
∴直线OP的解析式为y=3 52x，
如图，过点B作BF//x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同，
∴ 5=3 52x，
解得：x=23，
∴F(23, 5)，
∴BF=23，
∵BF//OC，
∴△BEF∽△CEO，
∴BEEC=BFOC=232=13，
∴BEEC的值为13．
(2)如图，过点P作PF⊥x轴于点F，
设P(m, 52m+ 5)，则F(m,0)，
∴PF= 52m+ 5，AF=m−(−2)=m+2，AC=2−(−2)=4，
在Rt△APF中，AP2=AF2+PF2=(m+2)2+( 52m+ 5)2=94m2+9m+9，
若∠CPE=∠BAO，
∵∠PCD=∠ACP，
∴△CPD∽△CAP，
∴∠CDP=∠CPA，
∵PC=PD，
∴∠CDP=∠ACP，
∴∠PCD=∠CPA，
∴AP=AC，
∴54m2+9m+9=16，
解得：m1=−143(舍去)，m2=23，
∴∠CPE与∠BAO能相等，点P的横坐标为23．
【解析】(1)①由抛物线经过原点O(0,0)、C(2,0)，可得抛物线的顶点P(1,3 52)，利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=−3 52x2+3 5x；
②先求出A(−2,0)，B(0, 5)，运用待定系数法可得直线OP的解析式为y=3 52x，过点B作BF//x轴交OP于点F，F(23, 5)，可得BF=23，再由BF//OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得BEEC=BFOC=232=13；
(2)过点P作PF⊥x轴于点F，设P(m, 52m+ 5)，则F(m,0)，利用勾股定理可得AP2=AF2+PF2=(m+2)2+( 52m+ 5)2=94m2+9m+9，若∠CPE=∠BAO，可得△CPD∽△CAP，得出∠CDP=∠CPA，再结合∠CDP=∠ACP，可得∠PCD=∠CPA，进而可得AP=AC，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
26.【答案】解：(1)CD=EF；CD//EF．
(2)结论成立．
理由：如图2中，连接BF．
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴∠FAD=∠BAC，AF=AD，AB=AC，
∴∠FAB=∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
AF=AD∠FAB=∠DACAB=AC
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°，
∵AE=BD，AB=BC，
∴BE=CD=BF，
∴△EFB是等边三角形，
∴EF=BF=CD，∠FEB=∠ABC=60°
∴EF//CD；
(3)当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．
理由：如图3中，连接DF．
由(2)可知，△BEF是等边三角形，BE=BF=CD，
∵BD=CD，
∴BE=12CB，
∵△BEF∽△ABC，
∴S△BEFS△ABC=(BECB)2=14，
∵EF//CD，EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴S平行四边形EFDC=2S△EFB(同底等高)
∴S平行四边形EFDCS△ABC=12．
【解析】(1)∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴EF=AB=CD，∠ADC=∠FED，
∴EF//CD，
故答案为：CD=EF，CD//EF；
(2)证明△FAD≌△DAC(SAS)，推出BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°，再证明△EFB是等边三角形，可得结论；
(3)当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
1.长江干流上的葛洲坝、三峡、向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为( )
A. 7.1695×107B. 716.95×105C. 7.1695×106D. 71.695×106
2.下列4个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.式子 3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>3B. x≥3C. x<3D. x≤3
4.下列说法正确的是( )
A. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
5.将方程x2−6x+1=0配方后，原方程可变形为( )
A. (x−3)2=8B. (x−3)2=−10C. (x+3)2=−10D. (x+3)2=8
6.某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB= 3，AC=2，BD=4，则AE的长为( )
A. 32B. 32C. 217D. 2 217
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.点P(−1,3)关于原点对称的点的坐标是______．
10.因式分解：x2−4y2= ．
11.计算( 6+ 3)( 6− 3)的结果等于______．
12.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m的值为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为______．
14.若一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为17，方差为3，则另一组数据2x1+2，2x2+2，⋯2xn+2的平均数是______，方差是______．
15.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示，则y1>y2的解集是______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−2|−( 2−3)0+ 9− 2×sin45°−(13)−2．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：x+1x÷(x−1x)，其中x= 2．
19.(本小题6分)
解不等式组：2−x<52x+13≥1．
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)．
(1)求k，m的值；
(2)已知点P(n,0)，过点P作垂直于x轴的直线交直线y=kx−1于点M，交直线y=12x于点N.若MN=2，直接写出n的值．
21.(本小题6分)
2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象.小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没⋅伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A，《无名》表示为B，《流浪地球2》表示为C，《熊出没⋅伴我“熊心”》表示为D. (1)小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为 ；
(2)请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD//CE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
23.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF//CE，AF与⊙O的交点为F．
(1)求证：AF=CD；
(2)若⊙O的半径为6，AH=2OH，求AE的长．
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”．
(1)如图，⊙O的半径为2，点A(0,2)，B(2,2)，C(−1,0)．
①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是______；
②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2)已知三条直线y=3，y=−x，y=−2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T(0,t)，半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围．
25.(本小题10分)
如图，直线y= 52x+ 5与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为(2,0)，直线BC与直线PD相交于点E．
(1)如图2，若抛物线经过原点O．
①求该抛物线的函数表达式；
②求BEEC的值．
(2)连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．
26.(本小题10分)
△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：71695000=7.1695×107．
故选：A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：依题意，得
3−x≥0，
解得，x≤3．
故选：D．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念： a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】D
【解析】解：A.中奖率为110的奖券10张，那么不一定中奖，也就是说“中奖”是随机事件，故A错误，即A不符合题意．
B.根据实际情况，汽车出现故障与否与汽车累计行驶的路程无必然关联，汽车出现故障为随机事件，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据概率的定义，襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，也就是说襄阳明天下雨的可能性为70%，那么C错误，故C不符合题意．
D.平均数代表数据的集中趋势，方差代表数据的稳定性，那么两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，即D正确，故D符合题意．
故选：D．
根据概率、方差、随机事件、必然事件的定义解决此题．
本题主要考查概率、方差、随机事件、必然事件，熟练掌握概率、方差、随机事件、必然事件的定义是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵x2−6x+1=0，
∴x2−6x=−1，
则x2−6x+9=−1+9，即(x−3)2=8，
故选：A．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：从上向下看，是两个同心圆．
故选：B．
俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断．
本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】
解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=1，BO=12BD=2，
∵AB= 3，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，BC= AB2+AC2= ( 3)2+22= 7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴ 3×2= 7AE，
∴AE=2 217，
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，设AD与y轴交于点P，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
在△ADE和△BCH中，
∠DAE=∠CBH∠AED=∠BHCAD=BC,
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】(1,−3)
【解析】解：点关于原点的对称点，可以通过作图知道(x,y)关于原点的对称点是(−x,−y)，
因此点P(−1,3)关于原点对称的点的坐标是(1,−3)．
关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．
本题主要是通过作图总结坐标变化规律，记住，然后应用．
10.【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
11.【答案】3
【解析】解：( 6+ 3)( 6− 3)
=( 6)2−( 3)2
=6−3
=3，
故答案为：3．
利用平方差公式计算即可．
本题考查的是二次根式的乘法，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
又∵B(m,−2)在反比例函数的关系式为y=−6x的图象上，
∴m=−6−2=3，
故答案为：3．
将点A(−3,2)代入反比例函数y=kx可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B(m,−2)代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
13.【答案】52或10
【解析】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN=4；
∵AF=AD=5，
由勾股定理得FN=3，
∴FM=2，
设DE为y，则EM=4−y，FE=y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2=(4−y)2+22，
∴y=52，
即DE的长为52．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN=3，
∴FM=8，
设DE为z，则EM=z−4，FE=z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2=(z−4)2+82，
∴z=10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为52或10
故答案为：52或10．
分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
14.【答案】36 12
【解析】解：∵x1、x2、…xn的平均数为17，
∴x1+x2+…+xn=17n，
∴(2x1+2+2x2+2+⋯+2xn+2)⋅1n=2×17+2=36，
∵原来的方差S12=1n[(x1−17)2+(x2−17)2+…+(xn−17)2]=3，
∴现在的方差S22=1n[(2x1+2−36)2+(2x2+2−36)2+…+(2xn+2−36)2]
=1n[4(x1−17)2+4(x2−17)2+…+4(xn−17)2]=4×3=12．
故答案为：36，12．
利用平均数求法和方差的方法分别列式求得平均数和方差得出答案即可．
此题考查算术平均数与方差，掌握算术平均数与方差的计算方法是解决问题的关键．
15.【答案】x>5
【解析】解：观察函数图象得x>5时，一次函数y1=4x+5的图象在函数y2=3x+10的图象的上方，
故y1>y2的解集是x>5．
故答案为：x>5．
利用函数图象，写出直线y1=4x+5在直线y2=3x+10上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
16.【答案】2 3
【解析】
理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，
过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=12AP，
∴CP+12AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，
∴sin60°=CNAC，
∴CN=sin60°×AC=4× 32=2 3，
∴CP+12AP=CP+PN=CN=2 3，
故答案为：2 3．
根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．
本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的中点就在于能否把a+kb转化成为a+c，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键
17.【答案】解：|−2|−( 2−3)0+ 9− 2×sin45°−(13)−2
=2−1+3− 2× 22−9
=2−1+3−1−9
=−6．
【解析】先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x+1x÷(x2x−1x)
=x+1x÷x2−1x
=x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x−1，
当x= 2时，
原式=1 2−1= 2+1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：2−x<5①2x+13≥1②，
由①得，x>−3；
由②得，x≥1，
故不等式组的解集为x≥1．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)，
将A(2,m)代入y=12x得m=1，
将A(2,1)代入y=kx−1得1=2k−1，
解得k=1；
(2)过点P作垂直于x轴的直线交直线y=x−1于点M，交直线y=12x于点N，
∵点P(n,0)，
∴M(n,n−1)，N(n,12n)，
∵MN=2，
∴|n−1−12n|=2，
解得n=6或−2．
【解析】(1)将点A的坐标代入两个表达式求得m，k的值；
(2)根据点P的坐标，表示点M，N的坐标，由MN=2，即可得出|n−1−12n|=2，解方程即可．
本题考查了一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，线段的长度；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)他选中《满江红》的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的有4种结果，
∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 102−82=6，
∴DE=2OD=12，
∴菱形AECD的面积=12AC⋅DE=12×16×12=96．
【解析】(1)证四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED，再证∠AED=∠ADE，则AD=AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE，再求出AC=16，则OA=OC=8，然后由勾股定理得OD=6，则DE=2OD=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接AC，OC，BC，则OC=OA，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠OCA=90°，∠B+∠OAC=90°，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠ACE=∠B，
∵AF//CE，
∴∠CAF=∠ACE=∠B，
∴CF=AC，
∵CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴CF=AD，
∴AF=CF+AC=AD+AC=CD，
∴AF=CD．
(2)解：∵⊙O的半径为6，AH=2OH，
∴OC=OA=2OH+OH=6，
∴OH=2，
∵∠OHC=∠OCE=90°，
∴OHOC=OCOE=cs∠COE，
∴OE=OC2OH=622=18，
∴AE=OE−OA=18−6=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE=∠ACB=90°，可证明∠ACE=∠B，由AF//CE，得∠CAF=∠ACE=∠B，则CF=AC，由垂径定理得AD=AC，则CF=AD，即可证明AF=CD，所以AF=CD；
(2)由⊙O的半径为6，AH=2OH，得OC=OA=2OH+OH=6，求得OH=2，因为OHOC=OCOE=cs∠COE，所以OE=OC2OH=18，则AE=12．
此题主要考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】BC
【解析】解：(1)①如图1.1，
∵A(0,2)，B(2,2)，
∴OA=2，OA⊥AB，
∴点A在⊙O上，
∴⊙O与AB相切，
∴线段AB上没有点在⊙O外，
∴线段AB不是⊙O的“交割线段”，
∵OC=1<2，OB= 22+22=2 2>2，
∴点C在⊙O内，点B在⊙O外，
∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内，
∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”，
故答案为：BC；
②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T(t、t)，
∴OH=BH=2，OG=TG=t，
此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切；
∵⊙O的半径为2，
∴OT=2，
∴t2+t2=22，
解得t= 2或=− 2(舍去)，
∴由函数图象可知，当点M在BT之间(不包括端点)，即 2
解得：x=−3y=3，
∴E(−3,3)，
同理可得D(0,3)，F(3,−3)；
如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时，
∴TD=2，
∴t=2+3=5；
如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH，
∵E(−3,3)，D(0,3)，
∴DE=OD=3，DE⊥OD，
∴∠DOE=45°，
由切线的性质可得∠THO=90°，
∴△TOH是等腰直角三角形，
∵t=OT= 2TH=2 2，
∴当2 2≤t<5时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”；
如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时，
∴TD=2，
∴t=3−2=1；
如图2.4所示，
当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q，
∴Q(32,0)，
∴DQ= OD2+OQ2=3 52，
∴sin∠ODQ=OQDQ= 55；
由切线的性质可得∠TPD=90°，TP=2，
∴sin∠TDP=TPDT= 55，
∴DT=2 5，
∴OT=DT−OD=2 5−3，
∴t=3−2 5，
∴当3−2 3
②设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T(t、t)，利用勾股定理求出t= 2，由函数图象可知，当点M在BT之间(不包括端点)，即 2
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．
25.【答案】解：(1)①∵抛物线经过原点O(0,0)、C(2,0)，
∴对称轴为直线x=1，
当x=1时，y= 52×1+ 5=3 52，
∴抛物线的顶点P(1,3 52)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3 52，把C(2,0)代入，得a+3 52=0，
解得：a=−3 52，
∴y=−3 52(x−1)2+3 52=−3 52x2+3 5x，
∴该抛物线的函数表达式为y=−3 52x2+3 5x；
②∵直线y= 52x+ 5与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A(−2,0)，B(0, 5)，
设直线OP的解析式为y=kx，把P(1,3 52)代入，得：k=3 52，
∴直线OP的解析式为y=3 52x，
如图，过点B作BF//x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同，
∴ 5=3 52x，
解得：x=23，
∴F(23, 5)，
∴BF=23，
∵BF//OC，
∴△BEF∽△CEO，
∴BEEC=BFOC=232=13，
∴BEEC的值为13．
(2)如图，过点P作PF⊥x轴于点F，
设P(m, 52m+ 5)，则F(m,0)，
∴PF= 52m+ 5，AF=m−(−2)=m+2，AC=2−(−2)=4，
在Rt△APF中，AP2=AF2+PF2=(m+2)2+( 52m+ 5)2=94m2+9m+9，
若∠CPE=∠BAO，
∵∠PCD=∠ACP，
∴△CPD∽△CAP，
∴∠CDP=∠CPA，
∵PC=PD，
∴∠CDP=∠ACP，
∴∠PCD=∠CPA，
∴AP=AC，
∴54m2+9m+9=16，
解得：m1=−143(舍去)，m2=23，
∴∠CPE与∠BAO能相等，点P的横坐标为23．
【解析】(1)①由抛物线经过原点O(0,0)、C(2,0)，可得抛物线的顶点P(1,3 52)，利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=−3 52x2+3 5x；
②先求出A(−2,0)，B(0, 5)，运用待定系数法可得直线OP的解析式为y=3 52x，过点B作BF//x轴交OP于点F，F(23, 5)，可得BF=23，再由BF//OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得BEEC=BFOC=232=13；
(2)过点P作PF⊥x轴于点F，设P(m, 52m+ 5)，则F(m,0)，利用勾股定理可得AP2=AF2+PF2=(m+2)2+( 52m+ 5)2=94m2+9m+9，若∠CPE=∠BAO，可得△CPD∽△CAP，得出∠CDP=∠CPA，再结合∠CDP=∠ACP，可得∠PCD=∠CPA，进而可得AP=AC，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
26.【答案】解：(1)CD=EF；CD//EF．
(2)结论成立．
理由：如图2中，连接BF．
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴∠FAD=∠BAC，AF=AD，AB=AC，
∴∠FAB=∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
AF=AD∠FAB=∠DACAB=AC
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°，
∵AE=BD，AB=BC，
∴BE=CD=BF，
∴△EFB是等边三角形，
∴EF=BF=CD，∠FEB=∠ABC=60°
∴EF//CD；
(3)当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．
理由：如图3中，连接DF．
由(2)可知，△BEF是等边三角形，BE=BF=CD，
∵BD=CD，
∴BE=12CB，
∵△BEF∽△ABC，
∴S△BEFS△ABC=(BECB)2=14，
∵EF//CD，EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴S平行四边形EFDC=2S△EFB(同底等高)
∴S平行四边形EFDCS△ABC=12．
【解析】(1)∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴EF=AB=CD，∠ADC=∠FED，
∴EF//CD，
故答案为：CD=EF，CD//EF；
(2)证明△FAD≌△DAC(SAS)，推出BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°，再证明△EFB是等边三角形，可得结论；
(3)当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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