2024年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是有理数的是( )
A. πB. 1.2C. 2D. 33
2.下列计算正确的是( )
A. 9=±3B. (−1)0=0C. −a8÷a4=−a4D. 2+ 3= 5
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为( )
A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−5
5.如图所示的圆锥的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.不等式组x−1>0,5−2x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知AB=AC，AB=8，BC=3，以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )
A. 8
B. 10
C. 11
D. 13
8.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1)( )
A. 3.2米B. 3.9米C. 4.7米D. 5.4米
9.若点(−1,y1)，(2,y2)，(3,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
( )
A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y1>y3>y2D. y2>y3>y1
10.如图①，在矩形ABCD中，ABA. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y= x−2中，自变量x的取值范围是______．
12.因式分解：4ax2−4ax+a=______．
13.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE/​/BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于______．
14.如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t−5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s.
15.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是_____．
16.定义：a*b=ab，若2*(x+3)=1*(2x)，则x= ______．
17.如图，半圆的直径AB=6，点C在半圆上，∠BAC=30°，则阴影部分的面积为 (结果保留π)．
18.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为______．
19.点A，B，C在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的 2倍，则∠ACB的度数是______．
20.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y= 33x+ 33上，且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°，OA1=1，则点C6的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
21.如图，在13×6的正方形网格中(每个小正方形的边长均为1)有线段AB，点A、B均在正方形的顶点上．
(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接AC，画出△ABC；
(2)以AB为对角线作平行四边形ABCD，画出平行四边形ADBC；
(3)直接写出平行四边形ADBC的周长．
四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
先化简，再求代数式(1a−2−1a+2)÷2a−4a2−4a+4的值，其中a=3tan30°−4cs60°．
23.(本小题8分)
某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
(1)若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是______；
(2)当α=180°时，求成绩是60分的人数；
(3)设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
(1)求证：AC是⊙D的切线；
(2)若CE=2 3，求⊙D的半径．
25.(本小题10分)
某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
(1)若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
26.(本小题10分)
如图：已知Rt△ABC，∠ACB=90°，点O是AB的中点，过A、C两点向经过点O的直线作垂线垂足分别为E、F．

(1)当∠ABC=45°时(如图1)，求证：EF=AE+CF；
(2)当∠ABC=30°时(如图2)，探究线段EF、AE、CF.之间数量关系为______；
(3)在(2)的条件下，AE=9，S四边形AEFC=24 3，连接BF并延长与AC的延长线相交于点M，求线段FM的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−5ax+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=bx+2经过B、C两点，又知AB=3．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在线段BC的延长线上，点E在线段BC上，CD=BE，点F在直线BC下方的抛物线上，∠DFE=90°，DE= 5EF求点F的坐标；
(3)在(2)的条件下，点P在射线OC上，点S在线段AB上，其坐标为(3,0)，过点S作SQ//BP，交y轴于点Q，直线FQ、BP交于点R，当PC=2PQ时，求R点的坐标，并判断此时点R是否在(1)中的抛物线上．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选：B．
直接利用有理数的定义分析得出答案．
此题主要考查了实数，正确把握有理数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 9=3，原计算错误，不符合题意；
B、(−1)0=1，原计算错误，不符合题意；
C、−a8÷a4=−a4，正确，符合题意；
D、 2与 3不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加减法则，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则对各选项进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法则，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10−5，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
故选：A．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6.【答案】C
【解析】解：解不等式x−1>0得x>1，
解不等式5−2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=8+3=11．
故选：C．
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
8.【答案】C
【解析】【分析】
过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
【详解】
解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF=x，
∵tan65°=OFDF，
∴OF=xtan65°，
∴BF=3+x，
∵tan35°=OFBF，
∴OF=(3+x)tan35°，
∴2.1x=0.7(3+x)，
∴x=1.5，
∴OF=1.5×2.1=3.15(米)，
∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7(米)，
故选C．
9.【答案】C
【解析】解：∵k<0，
∴在同一象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x=−1时，y1>0，
∵2<3，
∴y2∴y2故选C．
k<0时，在同一象限内，y随x值的增大而增大，即可解．
本题考查反比函数图象及性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
10.【答案】B
【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，
当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴12AB⋅12BC=3，即AB⋅BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，
当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7−AB，代入AB⋅BC=12，
得AB2−7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB所以AB=3，BC=4．
故选：B．
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
11.【答案】x≥2
【解析】解：已知y= x−2，
则x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式有意义的条件计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】a(2x−1)2
【解析】解：原式=a(4x2−4x+1)=a(2x−1)2，
故答案为：a(2x−1)2
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵AD=2，AB=3，DE=4，
∴BC=DE⋅ABAD=4×32=6，
故答案为：6．
由DE/​/BC，根据“平行于三角形一边的直线交其它两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC，则DEBC=ADAB，其中AD=2，AB=3，DE=4，求出BC的值即可．
此题考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线交其它两边或两边的延长线所得的三角形与原三角形相似”证明三角形相似是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的应用有关知识，根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令h=0得：
0=20t−5t2，
得t(20−5t)=0，
解得t=0(舍去)或t=4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
故答案为4．
15.【答案】100
【解析】【分析】
设矩形的宽为x，则长为(20−x)，S=x(20−x)=−x2+20x=−(x−10)2+100，当x=10时，S最大值为100．
本题考查了二次函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．
【解答】
解：设矩形的宽为x，则长为(20−x)，
S=x(20−x)=−x2+20x=−(x−10)2+100，
当x=10时，S最大值为100．
故答案为100．
16.【答案】1
【解析】解：由题意得：2x+3=12x，
去分母得：4x=x+3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0，
故该分式方程的解为x=1，
故答案为：1．
根据题意列得分式方程，解方程并检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】3π−94 3
【解析】解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB=6，点C在半圆上，∠BAC=30°，
∴∠ACB=90°，∠COB=60°，
∴AC=3 3，
∵∠CDA=90°，
∴CD=3 32，
∴阴影部分的面积是：π⋅322−3×3 322−60·π·32360=3π−9 34，
故答案为：3π−9 34．
根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】3 2+2
【解析】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=90°−∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠GBD+∠C=90°，
∵∠EAD+∠C=90°，
∴∠GBD=∠EAD，
∵∠ADB=∠EDG=90°，
∴∠ADB−∠ADG=∠EDG−∠ADG，
即∠BDG=∠ADE，
∴△BDG≌△ADE(ASA)，
∴BG=AE=1，DG=DE，
∵∠EDG=90°，
∴△EDG为等腰直角三角形，
∴∠AED=∠AEB+∠DEG=90°+45°=135°，
∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，
∴△AED≌△AEF，
∴∠AED=∠AEF=135°，ED=EF，
∴∠DEF=360°−∠AED−∠AEF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EF=DE=DG，
在Rt△AEB中，
BE= AB2−AE2= 32−12=2 2，
∴GE=BE−BG=2 2−1，
在Rt△DGE中，
DG= 22GE=2− 22，
∴EF=DE=2− 22，
在Rt△DEF中，
DF= 2DE=2 2−1，
∴四边形DFEG的周长为：
GD+EF+GE+DF
=2(2− 22)+2(2 2−1)
=3 2+2，
故答案为：3 2+2．
先证△BDG≌△ADE，得出AE=BG=1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．
本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．
19.【答案】45°或135°
【解析】解：如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的 2倍，
即AB= 2OA= 2OB，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB=12∠AOB=45°，
点C在劣弧AB上时，∠AC′B+∠ACB=180°，
∴∠AC′B=180°−45°=135°，
∴∠ACB=45°或135°，
故答案为：45°或135°．
根据题意画出图形，先判断出∠AOB=90°，再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20.【答案】(47,16 3)
【解析】【分析】
本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键.根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
【解答】
解：∵OA1=1，
∴OC1=1，
∴∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°⋅OC1= 32，横坐标为cs60°⋅OC1=12，
∴C1(12, 32)，
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2=2，A2C3=4，A3C4=8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°⋅A1C2= 3，代入y= 33x+ 33求得横坐标为2，
∴C2(2, 3)，
C3的纵坐标为：sin60°⋅A2C3=2 3，代入y= 33x+ 33求得横坐标为5，
∴C3(5,2 3)，
依次可得：C4(11,4 3)，C5(23,8 3)，C6(47,16 3)；
故答案为(47,16 3).
21.【答案】解：(1)如图，△ABC为所作；
(2)如图，平行四边形ADBC为所作；

(3)AD= 32+42=5，BD= 12+72=5 2，
所以平行四边形ADBC的周长=2(5+5 2)=10+10 2．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A的对应点C即可得到△ABC；
(2)把AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，则四边形ADBC满足条件；
(3)先利用勾股定理计算出AD和BD，然后计算四边形ADBC的周长．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．熟练掌握平行四边形的性质是解决(2)小题的关键．
22.【答案】解：原式=a+2−(a−2)(a+2)(a−2)⋅(a−2)22(a−2)
=4(a+2)(a−2)⋅(a−2)22(a−2)
=2a+2，
当a=3tan30°−4cs60°=3× 33−4×12= 3−2，
原式=2 3−2+2=2 33．
【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=2a+2，接着根据特殊角的三角函数值得到a= 3−2，然后把a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了特殊角的三角函数值．
23.【答案】25
【解析】解：(1)低于80分的征文数量为20×(1−30%−20%−10%)=8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是820=25，
故答案为：25．
(2)当α=180°时，成绩是70分的人数为10人，
则成绩是60分的人数20−10−20×(10%+20%+30%)=2(人)；
(3)∵80分的人数为：20×30%=6(人)，且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：(20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60)÷20=78.5(分)．
(1)求出低于80分的征文数量，再根据概率公式计算可得；
(2)当α=180°时，成绩是70分的人数为10人，据此求解可得；
(3)根据题意得出各组人数进而求出平均数．
此题主要考查了概率公式以及扇形统计图的应用，正确获取信息得出各组人数是解题关键．
24.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−60°−30°=90°，即AD⊥AC，
∵AD是⊙D的半径，
∴AC是⊙D的切线；
(2)解：连接AE，
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，∠AED=60°，
∴∠EAC=∠AED−∠C=30°，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2 3，
∴AD=AE=2 3，
故⊙D的半径为2 3．
【解析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°−∠ADC−∠C=180°−60°−30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线；
(2)连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED−∠C=30°，得到AE=CE=2 3，于是得到结论．
25.【答案】解：(1)设购买篮球x个，购买足球y个，
依题意得：x+y=6070x+80y=4600．
解得x=20y=40．
答：购买篮球20个，购买足球40个；
(2)设购买了a个篮球，
依题意得：70a≤80(60−a)
解得a≤32．
答：最多可购买32个篮球．
【解析】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
(1)设购买篮球x个，购买足球y个，根据题意，列出方程组，求解即可；
(2)设购买了a个篮球，则购买(60−a)个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出a的最大整数解即可．
26.【答案】AE+CF= 3EF
【解析】(1)证明：连接OC，
∵点O是AB中点，AC=BC，
∴CO⊥AB，∠CAB=∠CBA，∠ACO=∠BCO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠CAB=∠ACO，
∴AO=CO，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∴∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠COF=∠EAO，
∴△COF≌△AOE，
∴CF=OE OF=AE，
∵EF=EO+FO，
∴EF=AE+CF；
(2)解：过A、B两点作直线CF的垂线，垂足分别为M、N，延长AE交BN于点D，过A、C两点向经过点O的直线作垂线，垂足分别为E、F，
∴四边形AEFM、EFDN、AMND都是矩形，OE/​/BD，
∴AEED=AOOB=1，
∴AE=ED=MF=FN，
设EF=AM=DN=x，CF=y，
∵∠M=∠N=∠ACB=90°，
∴∠MCA=90°−∠NCB=∠NBC，
∴△MCA∽△NBC，
∴AMCN=ACBC，
∵∠ABC=30°，
∴BC= 3AC，
∴AMCN=1 3，
∴CN= 3x，
∴AE=ED=MF=FN= 3x−y，
∴AE+CF= 3x−y+y= 3x= 3EF，
故答案为：AE+CF= 3EF；
(3)解：过点F作FN⊥AB垂足为N，过点C作CH⊥AE垂足为H，延长AE交BM于点Q，过点Q作QP⊥AB垂足为P，
由(2)知 3EF=AE+CF，AE=9，
设CF长为x，EF=(x+9) 33，
∵S四边形AEFC=24 3，
∴12(x+9)(x+9) 33=24 3，
解得x=−21(舍)，x=3，
∴F=CH=4 3，AH=6，
在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2，
∴AC=2 21，AB=2AC=4 21，AO=BO=2 21，
在Rt△AEO中，AO2=AE2+EO2，
EO= 3，FO=5 3，
∵∠EAO=90°−∠AOE=∠NFO，
∴△AED∽△FNO，
∴AOFO=EONO=AEFN，
∴2 215 3= 3NO=9FN，
∴NO=5 2114,FN=45 714，
∴tan∠EAO=OEAE= 39，tan∠MBA=FNBN=5 311，tan∠MBA=PQPB=5 311，
设PQ=5 3x，BP=11x，AP=45x，
∵AB=AP+PB，
∴45x+11x=4 21，
解得x= 2114，
∴PQ=15 714，
∴BP=11 2114，
在Rt△BPQ中，BQ2=BP2+PQ2，
∴BQ= 21．
∵PQlFN，
∴△BPQ∽△BFN，
∴BQBF=PQFN，
∴ 21BF=15 71445 714，
∴BF=3 21，
∴FQ=BF−BQ=3 21− 21=2 21，
在Rt△APQ中，sin∠QAP=QPAQ，
在Rt△AEO中，sin∠QAP=OEAO，
∴QPAQ=OEAO15 714AQ= 32 21，AQ=15，
∵CF//AQ，
∴△MCF∽△MAQ，
∴CFAQ=MFMQ315=MFMF+2 21，
∴MF= 212．
(1)连接OC，证明△COF≌△AOE，推出CF=OE，OF=AE，即可证明EF=AE+CF；
(2)过A、B两点作直线CF的垂线，垂足分别为M、N，延长AE交BN于点D，设EF=AM=DN=x，CF=y，证明△MCA∽△NBC，得到CN= 3x，AE=ED=MF=FN= 3x−y，据此计算即可求解；
(3)过点F作FN⊥AB垂足为N，过点C作CH⊥AE垂足为H，延长AE交BM于点Q，过点Q作QP⊥AB垂足为P，设CF长为x，EF=(x+9) 33，求得FF=CH=4 3，AH=6，证明△AEO∽△FNO和△BPQ∽△BFN以及△MCF∽△MAQ，结合多锐角三角函数的关系，经过计算即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题以及学会利用参数构建方程是解题的关键．
27.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为直线x=−5a2a=52，AB=3，
∴A(1,0)，B(4,0)，
∵y=bx+2过点B、C，
∴b=−12，C(0,2)，
∵抛物线经过点A、C，
∴c=2a−5a+c=0，
∴解得c=2a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2−52x+2；
(2)过F作FG/​/y轴交BC于点G，则∠FGE=∠OCB，

∵CD=BE，
∴CD+CE=BE+CE，即DE=BC
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴OC=2，OB=4，
∴在Rt△BOC中，BC= 22+42=2 5，
∴DE=2 5，
∵DE= 5EF，
∴EF=2，
∴在Rt△DEF中，DF= DE2−EF2= (2 5)2−22=4，
∴tan∠DEF=DFEF=42=2，
∵tan∠BCO=OBOC=42=2，
∴∠FED=∠BCO=∠FGE，
∴FG=EE=2，
设F(t,12t2−52t+2)，则G(t,12t+2)，
∴FG=−12t+2−(12t2−52t+2)=2，
解得t=2，
∴F(2,−1)；
(3)过C作CH//SQ，交x轴于点H，
则CH//SQ//BP，
∴HSBS=CQPQ
当点P在OC延长线上时，

∵PC=2PQ，
∴CQ=PQ，
∴HS=BS
∵B(4,0)，S(3,0)，
∴H(2,0)
∴OH=OC=2，
∴∠OCH=45°，
∵CH//SQ//BP，
∴∠OPB=∠OOS=∠OCH=45°，
∴Q(0,3)，P(0,4)，
∴直线FQ的解析式为y=−2x+3，直线BP的解析式为y=−x+4，
∵R是直线BP、直线FQ的交点，
∴联立方程组y=−2x+3y=−x+4，
解得x=−1y=5，
∴R(−1,5)，
∵当x=−1时，y=12x2−52x+2=12+52+2=5，
∴点R在(1)中的抛物线上；
当点P在线段OC上时，

∵PC=2PQ，
∴CQ=PQ，
∴BH=2BS=2，
∵B(4,0)，S(3,0)，
∴H(6,0)，
∴OC=2，OH=6，
∴tan∠OCH=3，
∵CH//SQ//BP，
∴∠OPB=∠OQS=∠OCH，
∴OP=43，OQ=1，
∴P(0,43)，Q(0,1)
∴直线BP解析式为y=−13x+43，直线SQ的解析式为y=−x+1，
∵R是直线BP、直线FQ的交点，
∴R(−12,32)，
∵当x=−12时，y=12x2−52x+2=12×14+52×12+2=278，
∴点R不在(1)中的抛物线上．
综上所述，当点P在OC延长线上时，点R在(1)中的抛物线上；当点P在线段OC上时，点R不在(1)中的抛物线上．
【解析】(1)先根据题意求出点A，B坐标，再求出点C坐标，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)过F作FG/​/y轴交BC于点G，则∠FGE=∠OCB，根据已知条件求出BC=DE，由B，C坐标求出BC=2 5，再根据DE= 5EF，求出EF=2，然后求出FG=2，设F(t,12t2−52t+2)，则G(t,12t+2)，得出FG=−12t+2−(12t2−52t+2)=2，解方程求出t的值即可；
(3)过C作CH//SQ，交x轴于点H，则CH//SQ//BP，从而得出HSBS=CQPQ，再分点P在OC延长线上和点P在线段OC上两种情况，分别求出点R的坐标，再把R坐标代入(1)中二次函数验证，即可得出结论．
本题考查二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线的性质，勾股定理，直线与直线的交点等知识，关键是掌握这些知识和运用．