2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.能与−2相加得0的数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.下列正确的是( )
A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94= 32D. 4.9=0.7
3.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
4.下列图形是三棱柱展开图的( )
A. B.
C. D.
5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )
A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn
6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )
A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数
C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．
8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9.计算 3+ 12的结果是______．
10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．
11.若 an+an⋯+ana个an=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．
12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．
13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．
14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．
15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．
16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
解不等式组2x−1>x+1x+32kx的解集．
21.(本小题8分)
以下是某地近年来PM2.5年均值和全年空气优良率统计表：
(1)与上一年相比，PM2.5年均值变化率最大的是(▲)

(注：①空气优良天数比例=空气优良天数全年天数×100%；②变化率=变化值变化前的值×100%)
(2)请在图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数情况；
(3)请结合上述图表中信息，写出一个不同于(1)的结论．
22.(本小题8分)
小刚和小强分别从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇.相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地.求两人的行进速度．
23.(本小题8分)
在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=AD．
(1)如图，若AB=CB，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=CD，(1)中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例．
24.(本小题8分)
如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC=127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：
求灯管支架BC的长度．
(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00)
25.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：AC=BC；
(2)连接AO并延长交BC于点E，若AO=5，OF=3，求OE的长．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系，二次函数y=ax2−bx−a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点M(1,1−a)，N(3,−3)．
①若函数图象恰好经过点M，求a的值；
②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
27.(本小题10分)
数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(3,5)，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．

数学的眼光

(1)如图①，请说明∠AP1B>∠AP2B1；
数学的表达
(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC=PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
(4)如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、2+(−2)=0，故此选项符合题意；
B、−2+(−2)=−4，故此选项不符合题意；
C、12+(−2)=−32，故此选项不符合题意；
D、−12+(−2)=−52，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据有理数的加法法则逐项计算判断即可．
本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A． 4+9= 13≠2+3，错误，不符合题意；
B. 4×9=2×3，正确，符合题意；
C. 94= 38≠ 32，错误，不符合题意；
D. 4.9≠0.7，错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式的性质判断即可．
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：3.7231×1011=372310000000．
则原数中0的个数为7．
故选：C．
先将3.7231×1011化成原数，再看原数中的个数即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法与原数之间的换算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形．
故选：B．
利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
5.【答案】D
【解析】解：A.当m=2，n=3时，m+3n+3=56，mn=23，即m+3n+3≠mn，故本选项不符合题意；
B.当m=2，n=5时，m−3n−3=−12，mn=25，即m−3n−3≠mn，故本选项不符合题意；
C.当m=2，n=3时，m3n3=827，mn=23，即m3n3≠mn，故本选项不符合题意；
D.3m3n=mn，故本选项符合题意．
故选：D．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质(分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值不变)是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意和条形图可得，
3环以下(含3环)的人数为：2+3+5=10，故选项A不符合题意，
∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，4球以下的人数为10人，由图可知，4球的人数超过6人，
∴4环以下(含4环)的人数为：2+3+5+7=17，故选项B不符合题意，
5环以下(含5环)的人数无法确定，故选项C符合题意，
6环以下(含6环)的人数为：35−1=34，故选项D不符合题意，
故选：C．
根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题．
本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】14
【解析】解：∵x+2y=5，
∴3x+6y−1=3(x+2y)−1=3×5−1=14．
故答案为：14．
将3x+6y−1转化为3(x+2y)−1再整体代入计算即可．
本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键．
8.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
9.【答案】3 3
【解析】解：原式= 3+2 3
=3 3．
故答案为：3 3．
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
10.【答案】2π
【解析】解：∵圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，
∴S侧=πrl=2×1×π=2π，
故答案为：2π．
直接利用圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积计算公式，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．
11.【答案】3
【解析】解：根据题意得：a⋅an=an+1=a4，
∴n+1=4，
∴n=3．
故答案为：3．
根据合并同类项法则进行化简后可得a⋅an=an+1=a4，计算出n值即可．
本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键．
12.【答案】23
【解析】解：由平均数的公式得：(x+2+3)÷3=3，
解得：x=4，
∴方差=13×[(4−3)2+(2−3)2+(3−3)2]=23．
故答案为：23．
先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
13.【答案】123°
【解析】解：由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．
设∠ABD的平分线与AD的交点为E，如图，
则∠ABE=12∠ABD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD//BC，
∴∠CBD=∠ADB=24°，
∴∠ABD=90°−24°=66°，
∴∠ABE=12∠ABD=33°，
∴∠1=∠A+∠ABE=90°+33°=123°．
故答案为：123°．
由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD的交点为E，则∠ABE=12∠ABD.结合矩形的性质可得，∠A=∠ABC=90°，∠CBD=∠ADB=24°，进而可得∠ABD=66°，则∠ABE=33°，根据∠1=∠A+∠ABE可得答案．
本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】32 2
【解析】解：如图，连接OF、OG，则OF=OG=4，过点G作GM⊥OF于点M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠FOG=360°8=45°，
在Rt△OGM中，∠GOM=45°，OG=4，
∴OM=GM= 22OG=2 2，
∴S△FOG=12OF⋅GM=12×4×2 2=4 2，
∴S正八边形ABCDEFGH=8S△FOG=32 2．
故答案为：32 2．
根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键》
15.【答案】2n−2
【解析】解：设关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m的两根分别为：x1，x2，
(x−n)2+2(x−n)+2=m，
x2−2nx+n2+2x−2n+2−m=0，
x2+(2−2n)x+n2−2n+2−m=0，
x1+x2=−(2−2n)=2n−2，
故答案为：2n−2．
先设关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m的两根分别为：x1，x2，然后把关于x的方程化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于x的方程转化成一般形式．
16.【答案】3
【解析】解：以AO为边作等边三角形AOH，连接HD，
∵点A(1,0)、B(5,0)，
∴OA=1，AB=4，
∵△AOH是等边三角形，
∴AO=AH=OH，∠OAH=60°，
∵将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，
∴AD=AC，∠CAD=60°=∠OAH，
∴∠OAC=∠DAH，
∴△CAO≌△DAH(SAS)，
∴∠AHD=∠COA=90°，
∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，
∴当BD⊥DH时，BD有最小值，
此时，如图，过点A作AN⊥BD于N，
∵∠AHD=90°，AN⊥BD，DB⊥HD，
∴四边形AHDN是矩形，
∴AH=DN=1，∠HAN=90°，
∴∠BAN=30°，
∴BN=12AB=2，
∴BD=DN+BN=3，
故答案为：3．
由“SAS“可证△CAO≌△DAH，可得∠AHD=∠COA=90°，则点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，由矩形的性质和直角三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：由2x−1>x+1得：x>2，
由x+320时，抛物线开口向上，
∴−3≤−4a，
解得a≤34，
故0