2024年中考数学复习--胡不归最值模型专项练习（含答案）

这是一份2024年中考数学复习--胡不归最值模型专项练习（含答案），共16页。试卷主要包含了正切值与胡不归最值问题，菱形中的胡不归最值问题，特殊角与胡不归最值问题，故选， 解等内容，欢迎下载使用。
1.正切值与胡不归最值问题 (初三)
如图, △ABC中, AB=AC=10, tanA=2, BE⊥AC于点E, D是线段BE上的一个动点，则 CD+55BD的最小值是 ( )
A.25 B.45 C.53 D. 10
2.菱形中的胡不归最值问题(初二)
如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为 45,, P为OB上一动点,则 AP+550P的最小值为 ( )
A. 4 B. 5 C.25 D.35
3.特殊角与胡不归最值问题(初二)
如图, 在△ABC中, ∠A=15°, AB=10, P为AC边上的一个动点(不与A、C重合),连接BP,则 22AP+PB的最小值是 ( )
A.52 B.53 C.1033 D. 8
4等边三角形中 胡不归最值问题(初二)
如图, △ABC为等边三角形, BD平分∠ABC, AB=2, 点E为BD上动点, 连接AE,则 AE+12BE的最小值为( )
A. 1 B.2 c. 3 D. 2
5尺规作图 角平分线 胡不归最值问题(初二)
如图，在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD, AE, 使 AD=AE.②分别以点 D 和点 E 为圆心，以大于 12DE的长为半径作弧，两弧在 ∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点 P是线段 AF上的一个动点，连接CP，则 CP+12AP的最小值是 .
6.平面直角坐标系中的胡不归最值问题(初二)
如图.在平面直角坐标系中，点 A 坐标为( 033,点 C 坐标为(2, 0) ,点B为线段OA上一个动点，则. 12AB+BC的最小值为( )
A.532 B. 5 C.35 D.53
7二次函数中的胡不归最值问题(初三)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x²−2x+c的图象与 x轴交于 A、C两点，与 y 轴交于点 B0−3,, 若P是 x轴上一动点, 点D (0, 1) 在 y轴上,连接PD, 则 2PD+PC的最小值是( )
A. 4 B.2+22 C.22 D.32+223
8直角三角形中的胡不归最值问题(初二)
如图，在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠A=30°,, 则AB=2BC. 请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则 AP+12CP的最小值为 ( )
A. 1 B.2 C.3 D. 2
9先提取系数型胡不归最值问题 (初二)
如图, 在△ABC中, ∠A=90°, ∠B=60°, AB=2, 若D是BC边上的动点, 则2AD+DC 的最小值为 .
10三角函数值与胡不归最值问题(初三)
如图, 在△ABC 中, AB=5,AC=4,sinA=45,BD⊥AC交 AC 于点 D. 点 P 为线段BD上的动点，则 PC+35PB的最小值为 .
11平行四边行中的胡不归最值问题(初二)
如图,▱ABCD中,. ∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P 为边 CD上的一动点，则 PB+32PD的最小值等于 .
12胡不归最值问题 (初三)
如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且( 0B=0C,∠BAD=120°.
1.∠ABC=.
(2). E为BD边上的一个动点, BC=6,当 AE+12BE最小时， BE=.
13菱形中的胡不归最值问题(初三)
如图，已知菱形ABCD的周长为9 92,，面积为 922,点 E为对角线AC上动点，则 13AE+BE的最小值为 .
14菱形中的胡不归最值问题(初二)
如图, 菱形ABCD 中,. ∠ABC=60°,，边长为3，P 是对角线BD上的一个动点，则 12BP+PC最小值是 .
15平面直角坐标系中的胡不归最值问题
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−x+4的图象分别与 y 轴和 x 轴交于点 A和点B.若定点P的坐标为 063,点Q是y轴上任意一点，则 12PQ+QB的最小值为 .
16二次函数抛物线中的胡不归最值问题(初三)
如图，二次函数 y=−x²+2x+3的图象与 x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则 1010PC+PD的最小值为 .
17三角形折叠与胡不归最值问题(初二)
如图①, 在△ABC 中, ∠ACB=90°,∠A=30°,点 C 沿 BE折叠与AB上的点 D重合.连接DE，请你探究： BCAB=¯;请在这一结论的基础上继续思考：如图②, 在△OPM中, ∠OPM=90°,∠M=30°,, 若OM=2, 点G 是OM边上的动点，则 PG+12MG的最小值为 .
18胡不归最值模型的问题探究和应用题(初二)
【问题探究】在等边三角形ABC中, AD⊥BC于点D, AB=2.
(1) 如图1. E为AD的中点, 则点E到AB的距离为 ;
(2) 如图2, M为AD上一动点. 则 12AM+MC的最小值为 ；
【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km. 今计划在铁路线 AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距 A地 km处.
19二次函数中的胡不归压轴题(初三)
如图，已知抛物线 y=ax²+bx+ca≠0与 y 轴相交于点 C0−2,与x轴分别交于点B(3, 0) 和点 A, 且 tan∠CAO=1.
(1)求抛物线解析式.
(2)抛物线上是否存在一点Q，使得 ∠BAQ=∠ABC,，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使 22PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
20二次函数中的胡不归压轴题(初三)
二次函数 y=ax²−2x+c的图象与x轴交于A、C两点, 点C(3, O) , 与y轴交于点B(0, -3) .
1a=,c=;
(2)如图1, P是x轴上一动点, 点D(0, 1)在y轴上, 连接PD, 求 2PD+PC的最小值；
(3)如图2,点M在抛物线上,若 SMBC=3, 求点M的坐标.
1. 解: 如图, 作 DH⊥AB于H, CM⊥AB于M.
∵BE⟂AC,∴∠AEB=90∘,:tanA=BEAE=2,
设AE=a, BE=2a, 则有: 100=a²+4a²,∴a²=20,
∴a=25或 −25(舍弃), ∴BE=2a=45,
∵AB=AC, BE⊥AC, CM⊥AB,
∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等)，
∵∠DBH=∠ABE, ∠BHD=∠BEA,
∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55,∴DH=55BD,
∴CD+55BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,
∴CD+55BD≥45,
∴CD+55BD的最小值为 45.故选: B.
2. 解: 如图, 过点A 作AF⊥OC 于点 F, 过点P作PE⊥OC 于点 E. 连接AC 交 BO 于点 M.
∵四边形OABC是菱形, ∴AC⊥OB,
∴OM=25,CM=5,
∴sin∠BOC=CMOC=55∴PEOP=sin∠BOC=55,
∴PE=55OP:AP+55OP=AP+PE
∴ 当A、P、F三点共线, 且垂直OC时, 有最小值, AF即为所求， ∴AP+55OP的最小值为4, 故选:A.
3.解: 如图, 以AP 为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP,过 B 作 BE⊥AD 于 E,
∵∠PAD=45∘,∴DPAP=22,∴DP=22AP,
∴22AP+PB=DP+PB≥BE,:∠BAC=15∘
∴∠BAD=60° , ∴BE=ABsin60°=5 3,
∴22AP+PB的最小值为 53.故选: B.
4. 解: 如图, 过E 作EH⊥BC 于 H, 过A 作AM⊥BC于 M,
∵△ABC为等边三角形, BD平分∠ABC,
∴∠EBH=30∘,∴EH=12BE,∴AE+12BE=AE+EH,当A、E、H三点共线, 且垂直BC时, AE+12BE有最小值，AM即为所求的最小值.
在 Rt△ABM中, ∠ABM=60°, ∴∠BAM=30°
∴BM=12AB=12×2=1
∴AM=3BM=3×1=3,
∴AE+12BE最小值为 3,故选: C.
5. 解: 理由如下: 由作图步骤可知,射线AF为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90° , ∠B=30° , ∴∠CAB=60° ,
∵AM平分∠CAB,
∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30∘,过点 P 作PD⊥AB于点 D, 则 PD=12AP,
∴CP+12AP=CP+PD,当C、P、D三点共线, 且垂直于 AB时,有最小值.
过点 C 做 CE⊥AB 于点 E, 则CE 即为 CP+12AP的最小值,在 Rt△APE中,∠CAE=60° , ∴∠ACE=30° , ∴AE=12AC=12×4=2,∴CE=3AE=23
∴CP+12AP的最小值即为 23,故答案为： 23.
6. 解: 如图, 在x轴上取点 D( -3, 0) , 连接AD,过B 作 BE⊥AD于E, 过 C 作CF⊥AD 于 F,
∵tan∠DAO=ODOA=333=33,∴∠DAO=30∘, ∠ADO=60∘,∴EB=12AB,∴12AB+BC=EB+BC≥CF, 当C、B、E三点共线, 且垂直AD时, 有最小值,CF即为所求, ∵CD=OD+OC=3=5, ∠ADC=60°, ∴∠DCF=30∘,∴DF=12CD=52,∴CF=3DF=532, ∴12AB+BC的最小值为 532.故选: A.
7. 解: 过点P作PE⊥BC 于点E, 过点 D 作DF⊥BC于点 F.
∵ 二次函数 y=x²−2x+c的图象,与y轴交于点B(O,-3) ,
∴c=-3，∴二次函数的解析式为 y=x²−2x−3,令 y=0,x²−2x−3=0, 解得x= - 1 或3,
∴A (-1, 0), C(3, 0), ∴OB=OC=3,
∵∠BOC=90°, ∴∠OBC=∠OCB=45°,
在等腰 Rt△CPE中, PE=22PC
∴2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PE
当PD+PE 最小的时候, 2PD+PC有最小值.
∴ 当D、P、E三点共线, 且垂直BC时最小, DF 即为所求.∵D(0, 1) , ∴OD=1, BD=4,
∴在Rt△DBF 中, DF=BD2=42=22
∴2PD+PC的最小值为4.故选:A.
8. 解: 过C作CE⊥AB于E, 过点 P作PF⊥EC 于F
∵∠ACB=90°, 点D是AB的中点,
∴CD=12AB=AD,
∵∠CAB=30°, ∴∠B=60°, ∴△BCD为正三角形,
∴∠DCE=30∘,∴PF=12CP,
∴AP+12CP=AP+PF≥AE,:∠CAB=30∘,AC=2,∴
CE=12AC=1,∴AE=AC2+CE2=3,
∴AP+12CP的最小值为 3.故选: C.
9. 解: :2AD+CD=2AD+12CD,∴当 AD+12CD最小时2AD+CD有最小值. 如图, 作∠BCG=30°, 过D作DE⊥CG 于E, ∴DE=12CD,∴AD+12CD=AD+DE,当A、D、E三点共线, 且垂直于 CG时, AD+DE有最小值,AF 即为 AD+12CD的最小值，
由题意， ∠ACF=60∘,∠CAF=30∘,∴CF=12AC=3, ∴AF=3CF=3,即2AD+CD的最小值为6,故答案为:6.
10. 解: 过点 P 作 PE⊥AB 于点 E, 过点 C 作 CH⊥AB于点H, ∵BD⊥AC, ∴∠ADB=90°,
∵sinA=BDAB=45,AB=5,∴BD=4,
由勾股定理得 AD=AB2−BD2=3,
∴sin∠ABD=ADAB=PEBP=35,∴EP=35BP,
∴PC+35PB=PC+PE, 即点 C、P、E三点共线时, PC+35PB最小， ∴PC+35PB的最小值为CH的长，
∵SABC=12×AC×BD=12×AB×CH,
∴4×4=5×CH,∴CH=165.
∴PC+35PB的最小值为 165.故答案为： 165.
11.解:如图,过点 P作PE⊥AD, 交AD 的延长线于点E, 过点 B 作BF⊥AD, 交AD 的延长线于点 F.
∵AB∥CD, ∴∠EDP=∠DAB=60°, ∴∠DPE=30°,
∴DF=12DP,∴PE=3DF=32PD,
∴PB+32PD=PB+PE,∴当点B，点E三点共 线且BE⊥AD时, PB+PE有最小值, EF即为所求的最小值.
∵∠A=60°, ∴∠ABF=30°,
∴AF=12AB=3,∴BF=3AF=33,故答案为：3 3
12. 解: (1) ∵AC垂直平分线段BD, ∴AB=AC,∴∠ABD=∠ADB,∵∠BAD=120° ,∴∠ABD=(180°-120° ) ÷2=30° , ∵OB=OC, OB⊥OC, ∴∠OBC=45° , ∴∠ABC=30°+45° =75° , 故答案为: 75° ;
(2) 作A关于OB的对称点A', 过 A 作AG⊥A'B 于 G,过E 作EF⊥A'B 于F, ∵∠ABO=30° , ∴∠A'BO=30° , ∴FE=12BE,∴AE+12BE=AE+FE≥AG,
设 AG 与OB 交于 E', BE'即为当 AE+12BE最小时的BE，∵BC=6, ∠OBC=45° , ∴OB=OC=3 2,
∵cs∠A'BO=OBBA'=32BA'=32,∴BA'=26,
∵∠A'BA=60° , AB=A'B, ∴△ABA'为等边三角形,
∴BG=12BA'=6,∴cs∠ABO=BGBE'=6BE'= 32,∴BE'=22.故答案为： 22.
13. 解: 连接BD交AC于点O, 过点 E作EF⊥AD 于点E, 过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,
∵菱形ABCD的周长为 92,∴AD=AB=924,
∵菱形ABCD的面积为 922,即 924×DH=922,
∴DH=2,
∴在 Rt△ADH中, AH=AD2−DH2=724,
∴BH=22,∴在 Rt△BDH中, BD=322,
∵四边形ABCD 是菱形, ∴OB=OD=324,BD⊥AC,
∴在 Rt△AOD 中, sin∠DAO=13,
∴在Rt△EAF中, EF=13AE,∴13AE+BE=EF+BE,
∴当 BE+EF最小时, 13AE+BE最小, 过点 B 作 BG⊥AD于点G, BG为BE+EF的最小值,
∵AD×BG=922,∴924×BG=922
∴BG=2,∴13AE+BE的最小值为2.
14. 解: 如图, 作PM⊥AB于 M, CH⊥AB于 H,
∵四边形ABCD是菱形, ∴∠PBM=12∠ABC=30∘,
∴PM=12PB,∴12PB+PC=PM+PC,根据垂线段最短可知, CH即为CP+PM 的最小值,
在 Rt△CBH中∠HBC=60°, ∠BCH=30°,
∴BH=12BC=32,∴CH=3BH=332,
∴12BP+PC最小值是 332, 故答案为： 332,
15. 如图, 作∠OPG=30°,交x轴的负半轴于点G, 过点Q作QE⊥PG于点E, 则 QE=12PQ,
∴12PQ+QB=QE+QB,当B、Q、E三点共线且垂直PG时, QE+QB 有最小值.
过点 B 做 BF⊥PG 于点F, BF即为所求.
∵∠OPG=30°, ∴∠FGO=60°, GO==6,
∴GB=10,
在 Rt△BGF 中, ∠GBF=30∘,∴GF=12GB=5, ∴BF=53
16.解: ∴y=−x²+2x+3=−x−3x+1=−x−1²+4,∴当x=0时, y=3, 当y=0时,x=3或x=1, 该函数的对称轴是直线x=1，
∵二次函数 y=−x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C，对称轴与x轴交于点D，
∴点A 的坐标为 (-1, 0) , 点B的坐标为(3, 0) ,点C的坐标为(0, 3) , 点D的坐标为(1, 0) ,
连接CD, 作PE⊥CD 于点E,
∵OD=1, OC=3, ∠COD=90° ,
∴CD=10∴sin∠OCD=110=1010,
即 sin∠PCE=1010,∴PE=1010PC,
∵点A 和点 D 关于点 O对称, 则PA=PD,则 1010PC+PD=PD+PE=PA+PE
∴ 当APE三点共线时, PE+PD 的最小值就是AE的长,
∵ ∠EAD+∠EDA=∠DCO+∠EDA=90°,
∴∠EAD=∠DCO,∴sin∠EAD=1010,
∴cs∠EAD=31010,
∴AD=2,∴AE=2×31010=3105,即 1010PC+PD的最小值为 3105,故答案为： 3105.
17. 解: ①∵∠ACB=90° , ∠A=30° ,
∴∠ABC=60°,∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合,
∴∠DBE=∠CBE=30°, ∴∠A=∠ABE,
∵∠BDE=∠C=90°, ∴AD=BD,
∵BC=BD, ∴AB=2BC, ∴BC/AB= 12,
②如图2, 在 OM 的下方作∠OME=30°, 作 GE⊥ME于点 E, 则 GE=12GM,PG+12MG=PG+GE,当P、G、E三点共线, 且垂直 ME时, 有最小值, 作PF⊥ME 于点 F,则 PF 即为所求, 在 Rt△PMF 中, PF=32,
∴PG+12MG)的最小值为 32，故答案为： 12,32.
18.解: (1) 如图1, ∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=BC=2∠BAC=∠ACB=∠ABC=60° ,
∵AD⊥BC, ∴∠BAD=30° , BD=1, ∴AD= 3 ,
过E作EF⊥AB于点F,∵E为AD的中点,
∴EF=12AE=34, 故答案为： 34;
(2) 如图2, 作MG⊥AB于点(G, GM=12AM, ∴12AM+MC=GM+CM,作 CH⊥AB 于点 H, 由题意可知 CH 即为所求,求得( CH=3
即 12AM+MC的最小值为 3,故答案为： 3;
【问题解决】如图3, 作BD⊥AC, 垂足为点 D, 在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°, 作BF⊥AN, 垂足为点F, 交AC于M, 则点M即为所求, 在Rt△ABD中, AB=600km,BD=360km,∴AD=6002−3602=480易知∠MBD=∠MAF=30°, 在Rt△MBD中, ∠MBD=30°, BD=360km,则MB=2MD, 由勾股定理得MD=120√₃km, ∴AM=AD-MD= (480-120√₃) km.故答案为 480−1203.
19. 解: (1) ∵C(0, -2) , ∴OC=2, ∵tan∠CAO =1,∴OCOA=1,∴OA=2,A−20将A(-2,0) , B(3, 0), C(0, -2) 代入 y=ax²+bx+c,并解得: a=13,b=−13,c=−2,
∴抛物线解析式为 y=13x2−13x−2;
(2) 存在一点Q, 使得∠BAQ=∠ABC, 理由如下:如图,过A作AM∥BC交y轴于M,交抛物线于Q, 作M关于x轴的对称点 M'，作直线AM'交抛物线于 Q'，∵AM∥BC, ∴∠QAB=∠ABC,即Q是满足题意的点,∵B (3, 0) , C(0, -2) ,
∴直线 BC解析式是 y=23x−2,
设直线AM解析式为 y=23x+m,将A(-2,0)代入得: ∴AE=32,−43+m=0,∴m=43,
∴直线 AM 解析式为 y=23x+43,M043,把抛物线与直线 AM联立方程组，解得 x=−2y=0(与A重合,舍去)或
∵M、M'关于x轴对称, ∴∠Q'AB=∠QAB=∠ABC, M' 0−43,∴Q'是满足题意的点, 设直线 AQ'为y=kx −43,将A(-2, 0) 代入得 −2k−43=0,
∴k=−23∴直线AQ'为 y=−23x−43,将抛物线与直线 AM'联立方程组，并解得 x=−2y=0(舍去)或 x=1y=−2,∴Q1−2;
综上所述，点Q坐标是 5143或(1, -2) ;
(3)在y轴上存在一个点P，使 22PC+PD值最小，理由如下: 过P作PH⊥AC于H, 过D 作DG⊥AC 于 G,如下图：
:y=13x2−13x−2=13x−122−2512,
∴抛物线对称轴是直线 x=12,∴D120,
∵OA=OC=2, ∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OCA=45°=∠OAC, ∴△PCH是等腰直角三角形, ∴PH=22PC,∴22PC+PD=PH+PD,
∴当D、P、H三点共线, 且垂直AC时最小, DG即为所求的 22PC+PD的最小值, ∵∠OAC=45°, DG⊥AC, ∴△ADG 是等腰直角三角形, ∴DG=22AD, A−20,D120,∴AD=52,∴DG=524即 22PC+PD的最小值是 524.
20. 解: (1) 把C(3, 0) , B (0, -3) 代入: y=ax²−2x+c得方程组，得： 9a−6+c=0c=−3解得a=1, c=-3. 故答案为1, -3.
(2) 如图1中, 作 PH⊥BC于H.
∵OB=OC=3, ∠BOC=90° , ∴∠PCH=45° ,在 Rt△PCH 中, PH=22PC.
∵2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PH,当PD+PH 最小时, 2DP+PC最小.
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线，且垂直BC时, 作PG⊥BC于点G, PD+PH最小值即为DG的值,在Rt△DGB中,BD=DO+BO=1+3=4,∠DBG=45° ,
∴DG=22BD=22×4=22,
∴2PD+PC的最小值为 2×22=4.
(3) 如图2中, 取点 E(1, 0) , 作EG⊥BC于 G,易知 EG=2.::SEBC=12⋅BC∗EG=12×32× 2=3,∴过点 E 作 BC的平行线交抛物线于 M₁, M₂,则 SBCM1=3,SBCM2=3,
∵直线BC的解析式为y=x-3,∴直线M₁M₂的解析式为y=x-1, 联立方程组得: y=x−1y=x2−2x−3y = ^ -
解得 x=3+172y=1+172 → x=3−172y=1−172,
∴M13−1721−172,M23+1721+172,根据对称性可知，直线M₁M₂关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M₃、M₄也满足条件，易知直线M₃M₄的解析式为y=x-5, 由 y=x−5y=x2−2x−3解得： x=1y=−4或 x=2y=−3,∴M31.−4,M42−3,综上所述，满足条件的点M的坐标为：
∴M13−1721−172,M23+1721+172, M₃1.−4,M₄2−3.