湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题(五)

这是一份湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题(五)，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，向量，满足，，且，不等式恒成立，已知，则下列命题错误的是，已知函数在上可导，且的导函数为等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（ ）
A．6B．7C．13D．14
2．若集合．集合，则的真子集个数为（ ）
A．3B．4C．31D．32
3．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．54C．56D．58
6．椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形ABC的一边AB为圆O的一条弦，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．向量，满足，，且，不等式恒成立．函数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，则
10．已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数B．关于点对称
C．D．
11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为16
三、填空面：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：
（1）甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
（2）若的值能使二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为______．
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
14．关于x的方程有实根，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）函数．
（1）当时，证明：；
（2）讨论函数的零点个数．
16．（15分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：平面PBC；
（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
17．（15分）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是换，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
（1）求，，；
（2）设，，求数列的行项和；
（3）设，，数列的前项和为，证明：，
18．（17分）平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
（1）求轨迹C的方程；
（2）求面积的取值范围；
（3）若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
19．（17分）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
（1）要使的值最大，求n的值；
（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（五）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【详解】数据从小到大排序为6，7，13，14，20，24，，第60百分位数应为第4个数14，选D．
2．【详解】，，则，故的真子集个数为．故选A．
3．【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示．其中，，，原平面图形的面积为，故选D．
4．【详解】，故选
5．【详解】也是等差数列，，，的公差为1，，，故选C
6．【详解】由题可得，设，，则，又，则，，则，．故选B
7．【详解】设，则，则，在中，由余弦定理得，因此的最大值为2，当时能取得，故选D．
8．【详解】作，，，则，即，从而有，故．设，，则．作点E关于直线OB的对称点F，则，故选．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9．【详解】A．若复数，，满足，但这两个虚数不能比大小，选项错误；
B．若，，则有，但，B选项错误；
C．设，，
则
所以，C选项正确；
D．令、，则，，
所以，但是，D选项错误；故选ABD．
10．【详解】为奇函数，则，即的图象关于点对称，则关于对称，，C错误．由可知，即，故是奇函数，A正确．，即，故4是的一个周期．，，，，故，D正确．没有理由推断B选项．故选AD．
11．【详解】设直线，与联立得．设，，则，，，．，因此，A选项错误．
，B选项正确．
，，切线，即，同理，联立解得，故．不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，则．当直线PN与抛物线相切时，最小．与联立，消去y得：，令，解得，则，故，C选项正确．，故，则，D选项正确．故选BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【详解】由题意得，，记每个基本事件为，甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有个基本事件，其中的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
当时，共有7项，其中只有第4项的二项式系数最大，
当为其他值时，均不满足只有第4项的二项式系数最大，
当时，共有5个基本事件满足要求，，，，，故甲胜的概率为．
13．【详解】由基本不等式，，则，又，故，即基本不等式必须取等，，，．
14．【详解】设方程的实根为，则，点是直线上任意一点，．设，，，在单调递减，在单调递增，从而，的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．【详解】（1），，令得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
从而，不等式得证．
（2）令，则．．
当时，单调递增；当时，，单调递减．
又，当时，；当时，．
从而当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点．
16．【详解】（1）证明：∵E，F分别为PA，PC的中点，∴．
又平面，平面，∴平面ABC．
又平面BEF，平面平面，∴．
平面平面．
又，，∴平面PBC，从而平面PBC
（2），由（1）得，从而，从而四边形ABCD为矩形．由于平面ABC，从而．
（3）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，
由于，设，则．，，
设平面BEF的法向量，则，取
由题意，，
即，解得，从而符合题意的点存在，．
17．【详解】（1）1到6中与6互质的只有1和5，所以；
1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；
1到中，所有奇数都与互质，所以．
（2），从而
．
（3）证明：，
从而，证毕．
18．【详解】（1）由题意可知：动点到定点的距离比到定点的距离大，且，从而点的轨迹为双曲线的右支．设双曲线方程为，则，，，轨迹C的方程为：．
（2）直线l不与y轴垂直，设其方程为，与联立得：．
设，，则，．
，解得．
设，则．
由于在单调递减，则，故．
（3）证明：与联立，得，．
设，，由A，S，N三点共线，得，
解得，同理有．
，
即ST的中点为，故为定值1．
19．【详解】（1），由题意有，
解得，由于为整数，故．
（2）①证法1：设的分布列为，
其中，，记，则对任意，
．
证法2：由马尔科夫不等式，得．
（3），则，．
由题意，，即，，也即．
由切比雪夫不等式，有，
从而，，估计的最小值为45．