辽宁省实验中学2024届高三考前模拟数学试卷

这是一份辽宁省实验中学2024届高三考前模拟数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（ ）
A．极差B．中位数C．方差D．众数
2．复数，在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈．其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示该雄蜂上溯第n代祖辈数量，例如，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．己知，则（ ）
A．B．C．D．
6．某天小明打算出门去健身中心锻炼，起床发现闹钟停了，随意把闹钟调到6点30分，并使闹钟正常行走后，就出发去健身房。当到那里时，他看到墙上的时钟显示为7点10分，在那里跑步一小时五十分钟后结束锻炼，然后用同样的时间回到家，这时家里闹钟显示为9点10分。请问此时小明该把时间调到几点才和实际时间相符（ ）
A．9点20分B．9点25分C．9点5分D．8点55分
7．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．4D．3
8．三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且的最大值为s，最小值为t，则（ ）
A．2B．C．D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数的图像关于对称，则（ ）
A．函数为奇函数B．在区间有两个极值点
C．是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
10．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ）
A椭圆是“黄金椭圆”
B若椭圆是黄金椭圆，则
C．设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得
D．设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则
11．已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．二项式展开式的第3项的二项式系数是______．
13．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为3π，则该圆锥的体积为______．
14．设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分13分)设的导数满足，其中常数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极值．
16．(本小题满分15分)如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，．
(1)求证：平面．
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求k的值
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)
17．(本小题满分15分)
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个?
18．(本小题满分17分)
在直角坐标系xOy中，点P到点(0，1)距离与点P到直线距离的差为﹣1，记动点P的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)设点P的横坐标为．
(ⅰ)求W在点P处的切线的斜率(用表示)；
(ⅱ)直线l与W分别交于点A，B．若，求直线l的斜率的取值范围(用表示)．
19．(本小题满分17分)已知是曲线上的点，是数列的前n项和，且满足
(1)求；
(2)确定a的取值集合M，使时，数列是单调递增数列；
(3)证明：当时，弦的斜率随n单调递减．
2024高三模拟数学参考答案
1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C
9．ACD 10．AD 11．BD 12．28 13． 14．
15．解：(Ⅰ)∵，∴．
令，得，解得
令，得，因此，解得，
因此，∴，
又∵，故曲线在点处的切线方程为，
即．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
从而有，令，则或
∵当时，，当时，，
当时，，
∴在x＝0时取极小值，在时取极大值
16．(Ⅰ)取CD中点E，连接BE，∵，
∴四边形ABED为平行四边形
∴且BE＝AD＝4k
在中，∵，∴．
∴，即，又∵，所以
∵平面ABCD，平面ABCD
∴，又，\CD^平面
(Ⅱ)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，所以
设平面的法向量，则由
得取，得
设与平面所成角为θ，则，
解得k＝1．故所求k的值为1．
(Ⅲ)共有4种不同的方案
17．(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
18．从而；；
；；
；；
．
所以X的分布列为
(2)由(1)知，故n的最小值为19．
(3)购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用．
当时，费用的期望为：19×200＋500×0.2＋1000×0.08＋1500×0.04＝4040；
当时，费用的期望为：20×200＋500×0.08＋1000×0.04＝4080．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，
故应选．
18．解：(1)设点P的坐标为．
由题意得．
即．
所以或
整理得或故W的方程为．
(2)(ⅰ)因为W为，所以．所以W在点P处的切线的斜率为：．
(ⅱ)设直线l为，点M为线段AB的中点．
当k＝0时，不合题意，所以．
因为点A，B满足所以满足．
从而
因为直线PM的方程为，所以．
即．从而．
因为，
所以，即．
等价于(其中)．
①当时，即时，有，此时．
②当时，即时，有，此时．
③当时，即时，
有，
其中，
所以．
综上，当时，；
当时，．
19．(1)∵，令，得．
解得．
令，得，即：，
解得．
(2)当时，，∵，∴，
于是，两式相减得，于是．
两式相减得．
所以数列和分别是以为首项，6为公差的等差数列，所以
．
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且．
．
即所求a的取值集合．
(3)弦的斜率为，
任取，设函数，则，
设函数，则．
所以在上单调递增，在上单调递减．
，所以在和上都是减函数。
由(Ⅱ)知当时，数列是单调递增数列，
取．
取．
所以，即弦的斜率随n单调递减．
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04