2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十一）（原卷版+解析版）

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1．（2021•辽宁模拟）已知函数，且，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
【解答】解：因为，
所以，
，
因为（a），
所以（a），
又在上单调递增，
所以，
解得．
故选：．
2．（2021•锦州一模）已知实数，，满足且，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：实数，，满足，
，，，则排除，选项，
令，
所以，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），即，
，
，设，，在上单调递减，则（a）（b），
，排除选项．
故选：．
3．（2021•朝阳一模）过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为
A．4B．1C．0D．无数多个
【解答】解：由题意，题目中的长方体与正方体，所作的平面个数相同，所以一正方体代替长方体来求解．
法一：在正方体中，
三棱锥是正三棱锥，
直线、、与平面所成角都相等，
过顶点作平面平面，
则直线、、与平面所成角都相等，
同理，过顶点分别作平面与平面、平面，平面平行，
直线、、与平面所成的角都相等，
这样的平面可以作4个．
故选：．
法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，
因为有四条体对角线，所以，可以做四个平面．
故选：．
4．（2021•湖南模拟）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：令，
时，，时不合条件；
令，得，
令，知在上单调递减，
，要在处取得最大值，，即．
故选：．
5．（2021•湖南模拟）定义函数，则下列命题中正确的是
A．不是周期函数
B．的图象存在对称轴
C．是奇函数
D．是周期函数，且有最小正周期
【解答】解：当为有理数时，，
，
任何一个有理数都是的周期，
是周期函数，且无最小正周期，
选项，错误，
若为有理数，则也为有理数，
，
若为无理数，则也为无理数，
，
综上，总有，
函数为偶函数，图像关于轴对称，
选项错误，选项正确，
故选：．
6．（2021•湖南三模）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则
A．B．
C．D．以上三种情况都有可能
【解答】解：根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为，
则至少能摸出一个黑球的概率，
按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为，
则至少能摸出一个黑球的概率，
则有，
故，
故选：．
7．（2021•益阳模拟）如图所示，边长为2的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由题可知，当点在点处时，最小，
此时，
过圆心作交圆弧于点，连接，此时最大，
过作于，的延长线于，
则
，所以的取值范围为，．
故选：．
8．（2021•益阳模拟）已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且（1），则不等式的解集为
A．，，B．
C．，，D．，，
【解答】解：因为，
所以记，
因为是定义在上的奇函数，
所以为定义在上的偶函数，
又，
因为当时，，
所以当时，，即在上单调递增，
所以在上单调递减，
又（1），得（1），所以，
不等式等价于，
所以或，
即或，
解得或．
故选：．
9．（2021•湖南模拟）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切，切点，且交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【解答】解：连，过作，若，
则易知，，，
，，
所以在中，，整理得，
所以渐近线方程为，即，
故选：．
10．（2021•南通模拟）若直线经过点，则圆面积的最小值是
A．B．C．D．无最小值
【解答】解：由题意得，即，
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
故，
，
故圆的面积．
故选：．
11．（2021•江苏模拟）从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，则这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，
基本事件总数，
这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人包含的基本事件个数：
，
则这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为：
．
故选：．
12．（2021•南通模拟）设为定义在上的函数，对任意的实数有为自然对数的底数），当时，，则方程的解有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【解答】解：为定义在上的函数，对任意的实数有，
，
故，
故函数周期是2，
方程的实数根的个数即两函数与的图象的交点个数，
如图，
由图知，两函数有四个交点，
即方程的实数根的个数为4，
故选：．
13．（2021•南通模拟）若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为
A．，B．
C．D．，
【解答】解：因为函数为定义在上的偶函数，当时，单调递增，
所以，
因为，
所以，
即，
当时，可化为，成立，
当时，，即，
令，则，
所以，即，
解得，
所以，
当时，，
即，显然成立，
综上，的解集，．
故选：．
14．（2021•湖北模拟）已知实数，，，满足，则，，大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，则，，
对于函数，，
，
可得在递减，在递增，
（1），
，即，
，
令函数，，
可得的图像如下：
，
综上：，
故选：．
15．（2021•福州一模）已知函数，图象过，在区间上为单调函数，把的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．设，且，若，则的值为
A．B．C．1D．
【解答】解：函数，图象过，
故有，，．
在区间上为单调函数，，．
把的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合，
，， 或．
当，，不满足在区间上为单调函数．
当，，满足在区间上为单调函数．
设，且，则，，，，
若，则，，
则．
故选：．
二．多选题（共22小题）
16．（2021•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，则下列说法正确的是
A．若，，则它的方程是
B．若，一条渐近线方程为，则
C．为双曲线右支上一点，，则离心率的取值范围为，
D．若过的直线与轴垂直且与渐近线交于、两点，，则双曲线的渐近线方程为
【解答】解：若，，可得，即有，双曲线的方程为，故正确；
一条渐近线方程为，可得，
又，则，，
则，，故错误；
设，，由双曲线的定义可得，
由，可得，即为，
解得，由，可得，
即有，故正确；
若过的直线与轴垂直且与渐近线交于，、两点，
由，可得，即为，
则双曲线的渐近线方程为，故错误．
故选：．
17．（2021•锦州一模）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4D．均值为2，标准差为
【解答】解：由题意，设连续7天，每天的体温高于的人数分别为，，，，，，，则，
对于，取2，2，2，2，3，4，6，则满足中位数为3，众数为2，但是第7天的人数为，故选项错误；
对于，若，由中位数为1，可知均值为，与均值小于1矛盾，故选项正确；
对于，取0，1，2，4，4，4，6，则满足均值为3，众数为4，但是第7天的人数为，故选项错误；
对于，当均值为2，标准差为时，，，若，则，且如1，1，1，1，2，3，5，符合题意，故选项正确．
故选：．
18．（2021•锦州一模）已知函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间，上单调递增
D．的最大值为1
【解答】解：对于，的定义域为，
且，
所以为偶函数，故正确；
对于，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，
所以不是周期函数，故错误；
对于，当，时，，
，，单调递增，故正确；
对于，当时，，
故的最大值不为1，故错误．
故选：．
19．（2021•朝阳一模）关于函数，下列说法正确的是
A．函数的极小值为
B．函数有且只有1个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【解答】解：对于：函数的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
（2），故正确；
对于：令，
则，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，
故，故函数在上单调递减，
又（1），（2），
故函数有且只有1个零点，故正确；
对于：结合选项可知不存在负实数，使得恒成立，故错误；
对于：设，，结合选项可知，，
可证，故正确；
故选：．
20．（2021•湖南模拟）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是
A．该截角四面体的表面积为
B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为
D．该截角四面体中，二面角的余弦值为
【解答】解：题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成，
故，故选项正确；
因为棱长为的正四面体的高，
所以，故选项正确‘
因为截角四面体上下底面距离为，
所以，
所以，
即，
所以，
故，故选项正确；
二面角的余弦值应该为负值，故选项错误．
故选：．
21．（2021•湖南模拟）已知函数，的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是
A．函数的一个对称点为，
B．当，时，函数的最小值为
C．若，则的值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
【解答】解：函数，的图象上，
对称中心与对称轴的最小距离为，．
再根据，，可得，故．
令，可得，故错误；
当，时，，，故当时，函数的最小值为，故正确；
若，，，
则，故正确；
将的图象向右平移个单位，可得的图象，故错误，
故选：．
22．（2021•湖南模拟）已知球的半径为2，球心在大小为的二面角内，二面角的两个半平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦的长为2，为的中点，四面体的体积为，则下列结论中正确的有
A．，，，四点共面B．
C．D．的最大值为
【解答】解：因为公共弦在棱上，连结，，，，，
则，
因为二面角的两个半平面分别截球面得两个圆，，为球心，
所以，，
又平面，平面，
所以，，
故，，，四点共圆，故选项正确；
因为为弦的中点，
故，，故即为二面角的平面角，
所以，
故，故选项错误，选项正确；
设，，
在△中，由余弦定理可得，，
所以，故，
所以，
当且仅当时取等号，故选项正确．
故选：．
23．（2021•湖南三模）已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有
A．
B．若，则
C．若，则
D．若在，上单调递减，则
【解答】解：，
因为的最小正周期为，故，错误；
因为对任意的，恒成立，
所以为函数的最小值，
若，则，，
所以，，
所以，
解得，正确；
因为为函数的最小值，
所以为函数的最大值，即，
所以，正确；
，时，，，
因为在，上单调递增，所以在，上单调递减，
当，时，，，
，时，，，
因为在，上单调递减，所以在，上单调递增，
所以，
所以，正确．
故选：．
24．（2021•益阳模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，，两点，且，在其准线上的射影分别为，，则下列结论正确的是
A．若直线轴，则B．
C．D．
【解答】解：选项，由题意知，，
直线轴，把代入得，，，即选项错误；
选项，当直线轴时，，，即选项错误；
选项，当直线轴时，，
当直线与轴不垂直时，设直线，
联立，得，
，即选项正确；
选项，由抛物线的定义知，，，
又轴，，，
同理可得，，
，即选项正确．
故选：．
25．（2021•益阳模拟）已知函数，则下列说法中正确的是
A．是的周期
B．的值域为，
C．在，内单调递减
D．在，中的零点个数不超过2574个
【解答】解：，．
是函数的最小正周期，正确；
，函数是偶函数．
当，时，，
结合图象根据函数性质可知：当时，取最大值1，当或时，取最小值，函数值域为，，错；
结合图象由函数的性质可知：在，上是增函数，在，上是减函数，
又函数的周期是，函数在，上的单调增区间是，，减区间是，，错误；
由函数性质可知在，上有2个零点，函数最小正周期是的偶函数且，
函数在，中的零点个数不超过个，正确；
故选：．
26．（2021•湖南模拟）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为3
C．在上存在点，使得
D．在上存在点，使得
【解答】解：设点，由，
得，化简得，即，
故选项正确；
对于选项，设，，由 到点的距离为 3，
得，又，联立方程可知有解，
故选项正确；
对于选项，设，，由，得，
又，联立方程消去得，解得无解，
故选项错误；
对于选项，设，，由，得，
又，联立方程消去得，解得，有解，
故选项正确．
故选：．
27．（2021•湖南模拟）如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，，且，，分别是，的中点，，分别是，上的两个动点，则
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与所成角为
D．若为的中点，则四棱锥的外接球表面积为
【解答】解：对于，当与重合时，与是相交直线，故错误；
对于，由已知可得，又平面平面，
平面，
在矩形中，的面积，
又，，故正确；
对于，由平面，得，
又，，平面，得直线与所成角为，故正确；
对于，由题意可知，四边形为矩形，连接，则矩形的外接圆的圆心为的中点，
且，
过作，垂足为，连接，，则，，，故，
就是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，
则外接球的表面积为，故正确．
故选：．
28．（2021•南通模拟）已知函数的定义域为，其导函数满足，且为奇函数，那么下列结论中正确的有
A．函数的图象关于点成中心对称
B．对于任意的，不等式恒成立
C．曲线上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是
D．不等式的解集是
【解答】解：是在上的奇函数，的图象关于原点对称，又的图象向右平移1个单位得到函数图象，函数图象关于点成中心对称，对；
，可取成立，又，此时曲线在处的切线的倾斜角是，对；
令，，可知函数在上是增函数．
不等式得（1），即（1），又在上是增函数，，不等式的解集是，对；
是在上的增函数，对任意，，与同号，，即，得不等式恒成立，对；
故选：．
29．（2021•南通模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）
A．存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交
B．存在某一位置，使得BC∥平面AEP
C．点A1与点B1到平面PBE的距离总相等
D．三棱锥C1﹣PBE的体积不变
【解答】解：选项A：P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，PE∩平面ABB1A1＝E，
而E∉BB1，由异面直线的判定定理可知PE与直线BB1异面，
所以不存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交，故选项A不正确；
选项B，连接ED交A1C于点P'，面AP'E即为面ADE，此时BC∥AD，
而BC⊄平面ADE，AD⊂面ADE，所以BC∥平面ADE，即BC∥平面AEP，故选项B正确；
选项C：如图过点A1与点B1作平面PBE的垂线，垂足分布为H，H1，有△B1HE≌△A1H1E，
所以B1H＝A1H1，即点A1与点B1到平面PBE的距离总相等，故选项C正确；
选项D：因为，为定值，连接B1C交BC1于点F，连接EF，
而A1C∥EF，A1C⊄平面C1BE，EF⊂平面C1BE，
所以A1C∥平面C1BE，所以P到平面C1BE的距离为定值，
所以三棱锥C1﹣PBE的体积不变，故选项D正确．
故选：BCD．
30．（2021•江苏模拟）已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，
则，，
，
而，
所以，
所以，
在中，
，
解得，
设，，，，，，
所以，，
两式相减得，，
所以，
所以，
即，
所以，
故选：．
31．（2021•江苏模拟）已知表示不超过的最大整数，例如，等，定义，则下列结论正确的有
A．，
B．不等式的解集为
C．的值域为，
D．是周期函数
【解答】解：定义，
对于，，，当时，，故错误；
对于：不等式整理得：，故的解集为，，故错误；
对于：根据定义，的值域为，，故正确；
对于的周期为1，故该函数是周期函数，故正确．
故选：．
32．（2021•南通模拟）在数列中，若，则称为“和等比数列“．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，数列中，若，①
则有，②，
①②可得：，
又由，且，则，
则，，，
则
，正确，错误；
若，则，，，
则
，正确，错误；
故选：．
33．（2021•南通模拟）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为．若集合，，，则下列说法中正确的有
A．若，则实数的取值范围为
B．存在，使
C．无论取何值，都有
D．的最大值为
【解答】解：集合表示以原点为圆心，以3与5为半径的圆围成的圆环．
，直线与圆环有交点，圆心到直线的距离，
解得：，，对；
集合中直线恒过点在圆环内，
圆环与直线一定有交点，可判断错对；
集合中直线与圆环相交得线段长，
当最大时最大，直线恒过点，
的最大值为，的最大值为，对．
故选：．
34．（2021•南通模拟）已知函数与，则下列结论中正确的有
A．将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象
B．将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象
C．的图象与的图象关于直线对称
D．的图象与的图象关于直线对称
【解答】解：函数，，
故将的图象向右平移个单位长度后可得到的图象，故正确；
由题意，，