2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（八）（原卷版+解析版）

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A．2B．3C．2D．3
【解析】解：直线l为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则直线l为y=bax，
∵F1，F2是双曲线C的左、右焦点，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵F1关于直线l的对称点为F1′，设F1′为（x，y），
∴yx+c=-ab，y+02=ba•x-c2，
解得x=b2-a2c，y=-2abc，
∴F1′（b2-a2c，-2abc），
∵F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，
∴（b2-a2c-c）2+（-2abc-0）2＝c2，
整理可得4a2＝c2，
即2a＝c，
∴e=ca=2，
故选：C．
2．（2020秋•海门市校级月考）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+csωx(ω＞0)在[0，π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[83，113)B．(83，113]C．(103，133]D．[103，133)
【解析】解：f(x)=sin(ωx+π6)+csωx=sinωxcsπ6+csωxsinπ6+csωx=32sinωx+32csωx=3sin(ωx+π3)．
∵当x∈[0，π]时，ωx+π3∈[π3，πω+π3]，
∵f（x）在[0，π]有且仅有3个零点，
∴3π≤πω+π3＜4π，
综上：83≤ω＜113．
故选：A．
3．（2020秋•海曙区校级期中）已知|a→|＝|b→|＝1，a→⋅b→=12，c→=(m，1-m)，d→=(n，1-n)（m，n∈R）．存在a→，b→，对于任意实数m，n，不等式|a→-c→|+|b→-d→|≥T恒成立，则实数T的取值范围为（ ）
A．(-∞，3+2]B．[3+2，+∞)C．(-∞，3-2]D．[3-2，+∞)
【解析】解：设a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，d→=OD→，
由c→=(m，1-m)，d→=(n，1-n)（m，n∈R）可知，
C，D两点在直线y＝﹣x+1上运动，A，B两点在单位圆上运动，
因为cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=121×1=12，所以∠AOB=π3，
又|a→-c→|+|b→-d→|=AC+BD，先固定A，B两点，
如图，当AC⊥CD，BD⊥CD时，AC+BD有最小值d，
取AB的中点M，过M作直线的垂线MN，AC+BD有最小值d＝2MN，
当点A，B运动时，MN≤OM+OE=32+22，
所以dmax=(2MN)max=3+2，即T≤3+2．
故选：A．
4．（2020秋•海曙区校级期中）设a∈R，则函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点个数最多有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
【解析】解：函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点等价于方程f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|＝0的根，
即求|x2﹣3x+2|＝a根的个数，即求函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象交点的个数，
作出函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象如图所示，
由图象可知，函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象交点最多有4个，
故函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点个数最多有4个．
故选：A．
5．（2021春•沈阳期末）设f（x）是定义在R上的函数，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【解析】解：令g（x）＝exf（x）﹣ex，
则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex，
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，
∴函数y＝g（x）在R上单调递增．
∵f（0）＝2，
∴g（0）＝1．
∴当x＜0时，g（x）＜1；
当x＞0时，g（x）＞1．
∵exf（x）＞ex+1，
∴exf（x）﹣ex＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故选：A．
6．（2021春•芗城区校级月考）若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，则满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（x22）≥0恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A．[2ln2-12，+∞)B．(ln2-14，+∞)
C．[74，+∞)D．(32，+∞)
【解析】解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，
故函数f（x）的定义域是R，关于原点对称，
且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣x）+x＝﹣（ex﹣e﹣x+sinx﹣x）＝﹣f（x），
故函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（x22）≥0恒成立，
故f（a﹣2ln（|x|+1））≥﹣f（x22）＝f（-x22），
由csx∈[﹣1，1]，f′（x）＝ex+e﹣x+csx﹣1≥2ex⋅e-x+csx﹣1＝csx+1≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
故函数f（x）在R单调递增，
由f（a﹣2ln（|x|+1））≥f（-x22），故a﹣2ln（|x|+1）≥-x22，
即a≥2ln（|x|+1）-x22，
令g（x）＝2ln（|x|+1）-x22，
欲使a≥2ln（|x|+1）-x22恒成立，则a≥g（x）max恒成立，
g（﹣x）＝2ln（|﹣x|+1）-(-x)22=2ln（|x|+1）-x22=g（x），
且函数g（x）的定义域是R，关于原点对称，
故函数g（x）是定义在R上的偶函数，
故要求解g（x）在R上的最大值，只需要求解函数g（x）在[0，+∞）上的最大值即可，
当x∈[0，+∞）时，g（x）＝2ln（x+1）-x22，
故g′（x）=2x+1-x=-(x+2)(x-1)x+1，
故当x∈[0，1]时，x﹣1≤0，则g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上递增，
当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，则g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，
故g（x）max＝g（1）＝2ln2-12，
故a≥2ln2-12，故a的取值范围是[2ln2-12，+∞），
故选：A．
7．（2021春•泰安期末）四边形ABCD中，AB＝BC，AD⊥DC，AC＝2，∠ACD＝θ，若DB→⋅AC→=13，则cs2θ等于（ ）
A．23B．13C．12D．16
【解析】解：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，
∵AB＝BC，OA＝OC，
∴OB⊥AC，
∴OB→•AC→=0；
又∵DB→⋅AC→=13，DB→=DO→+OB→，DO→=12（DA→+DC→），
∴（DO→+OB→）•AC→=DO→•AC→+OB→•AC→
=12（DA→+DC→）•AC→
=12（DA→+DC→）•（DC-DA→）
=-12DA→2+12DC→2=13①，
又AD⊥DC，
∴DA→2+DC→2=AC→2=4②，
由①②解得DC→2=73，
∴|DC→|=73，
∴csθ=|DC→||AC→|=732；
∴cs2θ＝2cs2θ﹣1＝2×712-1=16．
故选：D．
8．（2021•郑州一模）已知函数f(x)=ex-a，x≤02x-a，x＞0(a∈R)，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1]
【解析】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）＝1﹣a，
当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．
∵f（x）在R上有两个零点，
∴1-a≥0-a＜0，解得0＜a≤1．
故选：A．
9．（2021春•河南月考）已知三棱柱ABC﹣DEF，DA，DE，DF两两互相垂直，且DA＝DE＝DF，M，N分别是BE，AB边的中点，P是线段CA上任意一点，过三点P，M，N的平面与三棱柱ABC﹣DEF的截面有以下几种可能：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．其中所有可能的编号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．②③④
【解析】解：以点D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DF为z轴，延长MN分别交x轴，y轴于点N'，M'．
连接N'P交z轴于点P'，则过P，M，N三点的平面与过点N'，M'，P'的平面相同，
当点P与点A重合时，截面为四边形；
当0＜PA＜12AC时，截面为五边形；
当12AC≤PA＜AC时，截面为四边形；
当点P与点C重合时，截面为三角形；
而该三棱柱只有五个面，截面与每个面相交最多产生五条交线，故截面形状最多为五边形，即不可能为六边形．
故选：C．
10．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知函数f(x)=|lg2x|0＜x＜2sin(π4x)2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则(x3-1)(x4-1)x1x2+2x4-5x3的取值范围是（ ）
A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．(17，774]
【解析】解：作出函数f（x）的图象如图所示：
因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，
且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），
∴12＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，
∵﹣lg2x1＝lg2x2，∴lg21x1=lg2x2，∴x1x2＝1，
∵y＝sinπx4关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，
∴(x3-1)(x4-1)x1x2+2x4-5x3=（x3﹣1）（x4﹣1）+2x4﹣5x3
＝x3x4﹣6x3+x4+1
＝﹣x32+5x3+13＝﹣（x3-52）2+774，
令g（x3）＝﹣（x3-52）2+774，则g（x3）在（2，52）是增函数，在（52，4）递减，
∵g（2）＝19，g（4）＝17，g（52）=774，
∴17＜g（x3）≤774．
故选：D．
11．（2020秋•渝中区校级月考）直线l1：3x﹣4y+13＝0，l2：3x﹣4y+23＝0，圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2与直线l1和l2都相切，AB是圆M的一条直径，N（﹣1，0），则NA→⋅NB→的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解析】解：直线l1：3x﹣4y+13＝0，l2：3x﹣4y+23＝0，则l1和l2平行，
又圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2与直线l1和l2都相切，
∴圆心在直线l：3x﹣4y+18＝0上，
点N（﹣1，0）到直线l的距离dmin＝3，且AB是圆M的一条直径，
则NA→⋅NB→=(NM→+MA→)⋅(NM→+MB→)
=(NM→-12AB→)⋅(NM→+12AB→)=|NM→|2-14|AB→|2，
∵直线l1和l2的距离为|23-13|32+(-4)2=2，∴|AB→|=2，
∴NA→⋅NB→=|NM→|2-1，
又|NM→|min=|-3+18|5=3，
∴NA→⋅NB→的最小值为8，
故选：C．
12．（2020秋•河南月考）已知函数f（x）为定义在R上且图像连续的偶函数，满足xf'（x）＞0（或xf'（x）＜0）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立．若把函数y＝f（x）向右平移4个单位可得函数y＝g（x），则方程g(x)=g(2-1x+1)的所有根之和为（ ）
A．4B．6C．10D．12
【解析】解：函数f（x）为定义在R上且图像连续的偶函数，
满足xf'（x）＞0（或xf'（x）＜0）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
可得f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）都单调，
由题意可得g（x）的图像关于直线x＝4对称，且在（﹣∞，4），（0，+∞）内都单调，
若g(x)=g(2-1x+1)，可得x＝2-1x+1或8﹣x＝2-1x+1，
由x＝2-1x+1即x2﹣x﹣1＝0，有两个实根，其和为1；
由8﹣x＝2-1x+1即x2﹣5x﹣7＝0，有两个实根，其和为5．
所以方程g(x)=g(2-1x+1)的所有根之和为1+5＝6．
故选：B．
13．（2020秋•河南月考）已知函数f（x）=3x-13x+1+x|x|+2，且f（﹣a）+f（2a﹣3）＞4，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（32，+∞）C．（3，+∞）D．（4，+∞）
【解析】解：因为f（x）=3x-13x+1+x|x|+2＝3-23x+1+x|x|，
所以f（﹣x）+f（x）＝3-23-x+1-x|﹣x|+3-23x+1+x|x|，
＝6-2⋅3x1+3x-23x+1
＝6﹣2＝4，
因为f（﹣a）+f（2a﹣3）＞4＝f（a）+f（﹣a），
所以f（2a﹣3）＞f（a），
又f（x）=3x-13x+1+x|x|+2＝3-23x+1+x|x|在R上单调递增，
所以2a﹣3＞a，
解得a＞3．
故选：C．
14．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，94]B．（﹣∞，73]C．（﹣∞，52]D．（﹣∞，83]
【解析】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[-14，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[-12，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=-89解得x=73或x=83，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则m≤73．
故选：B．
15．（2020秋•吴忠月考）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与x轴的交点为A、B，以A、B为左、右焦点的双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支与圆O交于P，Q两点，若直线PQ与x轴的交点恰为线段AB的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（ ）
A．3+1B．23-1C．3+12D．23-12
【解析】解：由题意可知PQ为OB的中垂线，
因为点A，B坐标为（﹣r，0），（r，0），
所以PQ方程为x=r2，与x2+y2＝r2联立，
可取P(r2，3r2)，Q(r2，-3r2)，所以双曲线的焦距2c＝2r，即c＝r，
因为|PA|=(r2+r)2+(3r2)2=3r，|PB|=(r2-r)2+(3r2)2=r，
由双曲线定义可得2a=|PA|-|PB|=(3-1)r，a=(3-1)r2，
所以双曲线的离心率e=ca=r3-12r=3+1．
故选：A．
16．（2020秋•吉林月考）已知双曲线C：x29-y27=1的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则1|FA|-4|FB|的取值范围是（ ）
A．[-16，37)B．[-16，37]C．[-16，0)D．[-16，+∞)
【解析】解：设|AF|＝m，|BF|＝n，
由双曲线的右焦点为F′，连接BF′，AF′，
由对称性可得四边形AFBF′为平行是变形，
则|BF′|＝|AF|＝m，
所以n﹣m＝2a＝6，
所以n＝m+6，且m≥c﹣a＝1，
则1|FA|-4|FB|=1m-4m+6，
设f（m）=1m-4m+6，m≥1，
所以f′（m）=-1m2+4(m+6)2=3m2-12m-36m2(m+6)2=3(m+2)(m-6)m2(m+6)2，
所以当1＜m＜6时，f′（m）＜0，f（m）单调递减，
当m＞6时，f′（m）＞0，f（m）单调递增，
当m→+∞时，f（m）→0，
所以f（m）min＝f（6）=16-46+6=-16，
f（1）＝1-47=37，
所以f（m）∈[-16，37]，
故选：B．
17．（2020秋•安徽月考）函数f（x）=x2-2ax+a2，x＜3ax-1116，x≥3，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且为递增数列．则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（34，32）C．[34，1）D．[54，32）
【解析】解：x＜3时，f（x）＝x2﹣2ax+a2，
数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且为递增数列．所以a1＝1﹣2a+a2＜a2＝4﹣4a+a2，解得a＜32，
可得：0＜a＜3222-2a⋅2+a2＜3a-1116，
解得34＜a＜32．
故选：B．
18．（2020秋•安徽月考）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）ex﹣x有两个零点，则实数a取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）
【解析】解：令f（x）＝0，则a＝﹣ex+xe﹣x+2，令g（x）＝﹣ex+xe﹣x+2，则g'(x)=-ex+(1-x)e-x=1-x-e2xex，
令h（x）＝1﹣x﹣e2x，易知函数h（x）单调递减，
又h（0）＝0，故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）max＝g（0）＝1，
又当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，
∴a＜1．
故选：C．
19．（2020秋•北碚区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，若不等式f（x+1）＞x﹣aex在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．[0，1]
【解析】解：f（ex）＝x﹣aex，
所以f（x+1）≥x﹣aex在（0，+∞）上恒成立，
等价于f（x+1）≥f（ex）在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝x+1﹣ex，x＞0，
g′（x）＝1﹣ex，当x＞0时，g′（x）＜0，所以g（x）单调递减，
所以g（x）＜g（0）＝0，所以1＜x+1＜ex，
所以只需f（x）在（1，+∞）上单调递减，
即x＞1，f′（x）≤0恒成立，
即x＞1时，1x-a≤0恒成立，即a≥1x，
因为(1x)max=1，
所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
二．多选题（共13小题）
20．（2020秋•临沂期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．(AA1→+AB→+AD→)2=2(AC→)2
B．AC1→⋅(AB→-AD→)=0
C．向量B1C→与AA1→的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为63
【解析】解：因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，不妨设棱长为a，
对于A，（AA1→+AB→+AD→）2=AC1→2＝3a2+3×2a2×12=6a2，
因为AC→2＝（AB→+AD→）2＝2a2+2a2×12=3a2，则2（AC→）2＝6a2，所以（AA1→+AB→+AD→）2＝2AC1→2，故A正确；
对于B，因为AC1→⋅(AB→-AD→)=（AA1→+AB→+AD→）（AB→-AD→）=AA1→⋅AB→-AA1→⋅AD→+AB→2-AB→⋅AD→+AD→⋅AB→-AD→2＝0，故B正确；
对于C，因为B1C→=A1D→，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，
所以向量A1D→与AA1→的夹角为120°，向量B1C→与AA1→的夹角为120°，故C不正确；
对于D，因为BD1→=AD→+AA1→-AB→，AC→=AB→+AD→，
则|BD1→|=(AD→+AA1→-AB→)2=2a，|AC→|=(AB→+AD→)2=3a，
所以BD1→⋅AC→=（AD→+AA1→-AB→）（AB→+AD→）＝a2，
所以cs＜BD1→，AC→＞=BD1→⋅AC→|BD1→||AC→|=a22a×3a=66，故D不正确．
故选：AB．
21．（2021春•扬中市校级月考）已知函数y＝f（x）在R上可导且f（0）＝1，其导函数f′（x）满足（x+1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，对于函数g（x）=f(x)ex，下列结论正确的是（ ）
A．函数g（x） 在（﹣∞，﹣1）上为增函数
B．x＝﹣1是函数g（x）的极小值点
C．函数 g（x）必有2 个零点
D．e2f（e）＞ee f（2）
【解析】解：g′（x）=f'(x)-f(x)ex，
∵（x+1）[f′（x）﹣f（x）]＞0，
∴当x＜﹣1时，f′（x）﹣f（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）﹣f（x）＞0，
∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故A错误；
x＝﹣1是g（x）的极小值点，故B正确；
g（x）的极小值为g（﹣1）＝ef（﹣1），故当g（﹣1）＞0时，g（x）没有零点，故C错误；
由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增可得g（2）＜g（e），即f(2)e2＜f(e)ee，∴eef（2）＜e2f（e），故D正确．
故选：BD．
22．（2020秋•城厢区校级期中）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为（1，0）
B．若A，F，B三点共线，则OA→⋅OB→=-3
C．若直线OA与OB的斜率之积为-14，则直线AB过点F
D．若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2
【解析】解：抛物线x2＝4y中的p＝2，则焦点F坐标为（0，1），故A错误，
设直线AB的方程为y＝kx+1，
联立方程可得x2=4yy=kx+1，消y可得x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，
∴OA→•OB→=x1x2+y1y2＝﹣4+1＝﹣3，故B正确，
设直线AB的方程为y＝kx+m，
联立方程可得x2=4yy=kx+m，消y可得x2﹣4kx﹣4m＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，
∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+m2＝﹣4k2m+4mk2+m2＝m2，
∵直线OA与OB的斜率之积为-14，
∴y1x1•y2x2=-14，
即m2-4m=-14，
解得m＝1，
∴直线AB的方程为y＝kx+1，即直线过点F；故C正确，
∵|AB|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2=1+k2•16k2+16m=6，
∴4（1+k2）（k2+m）＝9，
∴m=94(1+k2)-k2，
∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，
∴AB的中点到x轴距离d＝2k2+m＝2k2+94(1+k2)-k2＝k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2)-1≥2(k2+1)⋅94(1+k2)-1＝3﹣1＝2，当且仅当k2=12时取等号，
故AB的中点到x轴距离的最小值为2，故D正确．
综上所述：结论正确的是BCD．
故选：BCD．
23．（2020秋•潍坊月考）已知函数f(x)=|x|e|x|+1，g(x)=f(x)，x≤0x2-2x+a，x＞0，且g（1）＝0，则关于x的方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0实根个数的判断正确的是（ ）
A．当t＜﹣2时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0没有相异实根
B．当-1+1e＜t＜0或t＝﹣2时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有1个相异实根
C．当1＜t＜1+1e时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有2个相异实根
D．当﹣1＜t＜-1+1e或0＜t≤1或t=1+1e时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有4个相异实根
【解析】解：当x≤0时，f(x)=|x|e|x|+1=-xe-x+1=-xex+1，
因为g（1）＝0，
所以1﹣2+a＝0，
所以a＝1，
所以g(x)=-xex+1，x≤0x2-2x+1，x＞0，
图象如图所示：
当x≤0时，﹣x≥0，ex＞0，
则﹣xex+1≥1，当且仅当x＝0时等号成立，
g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增加的，在（﹣1，0）上是减少的；
当x＞0时，f（x）在（0，1）上是减少的，在（1，+∞）上是增加的，
故g（x）≥g（﹣1）＝0恒成立．
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增加的，在（﹣1，1）上是减少的，在（1，+∞）上是增加的．
令m＝g（x）﹣t，则g（m）﹣1＝0，
解得：m＝0或m＝2，
当m＝0即g（x）﹣t＝0时，
g（x）＝t，
当t＜﹣2时，g（x）＜﹣2，无解，
当m＝2即g（x）﹣t＝2时，
g（x）＝2+t，
当t＜﹣2时，g（x）＜0，无解，
故方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0没有相异实根，
故A正确；
当t＝﹣2时，由A可知：g（x）＝0，解得x＝1，
当-1+1e＜t＜0时，2+t∈(1+1e，2)，
由上可知f（x）在x＝﹣1时取得极大值为g（﹣1）=1+1e，
结合图象可知，此时y＝2+t与g（x）有且仅有一个交点，
故B正确；
当1＜t＜1+1e时，g（x）＝t或g（x）＝2+t，
若g（x）＝t，
结合图象可知g（x）与y＝t有三个不同的交点，
若g（x）＝2+t，2+t∈(3，3+1e)，
此时g（x）与y＝t有一个交点，
故方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有4个相异实根，
故C错误；
当﹣1＜t＜-1+1e时，g（x）＝2+t∈(1，1+1e)，
由C可知此时有三个不等实根，
当0＜t≤1时，g（x）＝t或g（x）＝2+t，
当g（x）＝t时，由图可知有两个不等实根，
当g（x）＝2+t时，由图可知有一个实根，
当t=1+1e时，g（x）＝t或g（x）＝2+t，
当g（x）＝t时，由图可知有两个不等实根，
当g（x）＝2+t时，由图可知有一个实根，
故此时方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0共有9个不等实根，
故D错误．
故选：AB．
24．（2021•2月份模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22a，以下结论正确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的112
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【解析】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，
所以AC⊥BE，所以A正确；
对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，
则B正确；
对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为
V三棱锥A﹣BEF=13•12EF•AB•BB1•sin45°=13×12×22a×a×22a=112a3，
三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的112，正确；
对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；
故选：ABC．
25．（2021春•芗城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（3x﹣φ）（-π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π4对称，则（ ）
A．函数y＝f（x）的图象向左平移π12个单位长度得到的图象关于原点对称
B．函数y＝f（x）在[0，π4]上单调递增
C．函数y＝f（x）在[0，2π]有且仅有3个极大值点
D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为2π3
【解析】解：∵函数f（x）＝sin（3x﹣φ）（-π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π4对称，
则3×π4-φ＝kπ+π2，k∈Z，∴φ=π4，函数f（x）＝sin（3x-π4）．
函数y＝f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝sin（3x+3π12-π4）＝sin3x的图象，显然所得图象关于原点对称，故A正确；
当x∈[0，π4]，3x-π4∈[-π4，π2]，故函数y＝f（x）在[0，π4]上单调递增，故B正确；
当x∈[0，2π]，3x-π4∈[-π4，23π4]，故当3x-π4=π2，5π2，9π2时，函数f（x）取得最大值，故C正确；
若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为f（x）的半个周期，即12×2π3=π3，故D错误，
故选：ABC．
26．（2020•威海一模）设函数f（x）＝2cs2x﹣2﹣cs2x，则（ ）
A．f（x）在(0，π2)单调递增
B．f（x）的值域为[-32，32]
C．f（x）的一个周期为π
D．f(x+π4)的图象关于点(π4，0)对称
【解析】解：令t＝cs2x，t∈[﹣1，1]，函数化为：f（x）=2t-12t，由复合函数的单调性可知，f（x）在(0，π2)单调递减，不正确；
函数的最大值为：2-12=32，最小值为：12-2=-32，
所以f（x）的值域为[-32，32]，正确；
t＝cs2x的周期为：π，所以f（x）的一个周期为π，正确；
x=π4时，t＝0，函数f（x）＝0，所以函数f（x）的图象关于点(π4，0)对称，不是f(x+π4)的图象关于点(π4，0)对称，所以D不正确；
故选：BC．
27．（2020秋•顺德区月考）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A．“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形
B．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体“的体积为295
D．三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体“的外接球直径为a2+b2+c2
【解析】解：如图，将“等腰四面体”补成一个长方体，设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z，
则x2+y2=a2y2+z2=b2x2+z2=c2，得x2=a2+c2-b22，y2=a2+b2-c22，z2=b2+c2-a22，
结合图形，容易判断出选项AB都是正确的；
对于C，由a＝5，b＝6，c＝7，得x=19，y=6，z=30，
因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，所以“等腰四面体”的体积为xyz-4×13×12xyz=13xyz=295，故选项C正确；
对于D，三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为2R=x2+y2+z2≠a2+b2+c2，故选项D错误．
故选：ABC．
28．（2020秋•湛江期中）已知a＝lg3π，b＝lgπ3，c=lgπ13，则（ ）
A．ab＜a+b＜b+cB．ac＜b+c＜bcC．ac＜bc＜b+cD．b+c＜ab＜a+b
【解析】解：∵0＜lgπ3＜1＜lg3π，
∴0＜b＜1＜a，且c=lgπ13＜0，
∴ac＜bc＜0，b+c=lgπ3+lgπ13=0，
∴ac＜bc＜b+c，即C正确，B错误；
∵ab＝lg3π•lgπ3＝1，a+b＝lg3π+lgπ3＞1，
∴b+c＜ab＜a+b，即D正确，A错误．
故选：CD．
29．（2020秋•琼山区校级期末）已知函数f（x）＝ex，g(x)=lnx2+12的图象与直线y＝m分别交于A、B两点，则（ ）
A．|AB|的最小值为2+ln2
B．∃m使得曲线f（x）在A处的切线平行于曲线g（x）在B处的切线
C．函数f（x）﹣g（x）+m至少存在一个零点
D．∃m使得曲线f（x）在点A处的切线也是曲线g（x）的切线
【解析】解：令f（x）＝ex＝m，得x＝lnm，令g(x)=lnx2+12=m，得x=2em-12，
则点A（lnm，m）、B(2em-12，m)，如下图所示：
由图象可知，|AB|=2em-12-lnm，其中m＞0，
令h(m)=2em-12-lnm，则h'(m)=2em-12-1m，
则函数y＝h'（m）单调递增，且h'(12)=0，
当0＜m＜12时，h'（m）＜0，当m＞12时，h'（m）＞0．
∴函数h(m)=2em-12-lnm在(0，12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增，
∴|AB|min=h(12)=2-ln12=2+ln2，A选项正确；
∵f（x）＝ex，g(x)=lnx2+12，则f'（x）＝ex，g'(x)=1x，
曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为f'（lnm）＝m，
曲线y＝g（x）在点B处的切线斜率为g'(2em-12)=12em-12，
令f'(lnm)=g'(2em-12)，即m=12em-12，即2mem-12=1，则m=12满足方程2mem-12=1，
∴∃m使得曲线y＝f（x）在A处的切线平行于曲线y＝g（x）在B处的切线，B选项正确；
构造函数F(x)=f(x)-g(x)+m=ex-lnx2+m-12，可得F'(x)=ex-1x，
函数F'(x)=ex-1x在（0，+∞）上为增函数，由于F'(1e)=e-2＜0，F'（1）＝e﹣1＞0，
则存在t∈(12，1)，使得F'(t)=et-1t=0，可得t＝﹣lnt，
当0＜x＜t时，F'（x）＜0；当x＞t时，F'（x）＞0．
∴F(x)min=F(t)=et-lnt2+m-12=et-lnt+m+ln2-12
=1t+t+m+ln2-12＞2t⋅1t+m+ln2-12=32+ln2+m＞0，
∴函数F（x）＝f（x）﹣g（x）+m没有零点，C选项错误；
设曲线y＝f（x）在点A处的切线与曲线y＝g（x）相切于点C（n，g（n）），
则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y﹣m＝elnm（x﹣lnm），即y＝mx+m（1﹣lnm），
同理可得曲线y＝g（x）在点C处的切线方程为y=1nx+lnn2-12，
∴m=1nm(1-lnm)=lnn2-12，消去n得m-(m-1)lnm+ln2+12=0，
令G(x)=x-(x-1)lnx+ln2+12，则G'(x)=1-x-1x-lnx=1x-lnx，
函数y＝G'（x）在（0，+∞）上为减函数，∵G'（1）＝1＞0，G'(2)=12-ln2＜0，
则存在s∈（1，2），使得G'(s)=1s-lns=0，且s=e1s．
当0＜x＜s时，G′（x）＞0，当x＞s时，G′（x）＜0．
∴函数y＝G（x）在（2，+∞）上为减函数，∵G(2)=52＞0，G(8)=172-20ln2＜0，
由零点存 定理知，函数y＝G（x）在（2，+∞）上有零点，
即方程m-(m-1)lnm+ln2+12=0有解．
∴∃m使得曲线y＝f（x）在点A处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．
故选：ABD．
30．（2020秋•渝中区校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，△ABC，△BCD都是边长为23的正三角形，AD＝a（0＜a＜6），M是棱AC的中点，则在a的变化过程中，下列说法正确的是（ ）
A．直线AD与直线BC所成的角都为π2
B．当a=23时，三棱锥A﹣BCD的体积取得最大值
C．当a=33时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为28π
D．存在某个实数a，使得∠MBD＝90°
【解析】解：对于A：取BC的中点E，如图1所示：
图（1）
则AE⊥BC，DE⊥BC，
则BC⊥平面ADE，故AD⊥BC，
故选项A正确；
对于B：因为棱长为23，则AE＝DE＝3，
故当AE⊥平面BCD时，三棱锥的A﹣BCD的体积取得最大值，则a=32，故B错误；
对于C：当a=33时，∠AED＝120°，分别取平面ABC和平面BCD的外心O1，O2，
如图2所示：
图（2），
可求得|O1E|＝|O2E|＝1，|O2B|＝|O2C|＝|O2D|＝2，
过|O2D|2+|OO2|2=7分别作平面ABC和平面BCD的垂线交点为O，则平面图如图2，
因为∠AED＝120°，则∠O1EO2＝120°，则∠OEO2＝60°，
则|OO2|=3，则外接球半径R2=|O2D|2+|OO2|2=7，
故球的表面积为4πR2＝28π，故C正确；
对于D：如图3所示：
图（3），
当A∈平面BCD时，A与G点重合，
故A在平面BCD的投影为GD，因为M是棱AC的中点，
故M在平面BCD的投影为M1M2，其中M1，M2分别是GC，CD的中点，
因为∠MBD＝90°，则∠M'BD＝90°，其中M'在M1M2上，
则M'与M1重合，此时a＝6，故不成立，
则D错误；
综上所述，故选：AC．
31．（2020秋•渝中区校级月考）函数f（x）＝lnx+1，g（x）＝ex﹣1，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）
A．存在实数m，使得直线y＝x+m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
B．存在实数k，使得直线y＝kx﹣1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切
C．函数g（x）﹣f（x）在区间(23，+∞)上不单调
D．当x∈（0，1）时，g(x)-f(x)＞16恒成立
【解析】解：对于选项A，B是考查公切线问题，