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甘肃省陇南市武都区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
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这是一份甘肃省陇南市武都区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1．－5的绝对值是（ ）
A．B．－5C．5D．
2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．陇D．南
3．已知与互余，若，则的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．网上一家电子产品店，2023年8~11月的电子产品销售总额如图1所示，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2所示．
根据图中信息，有以下四个结论，其中错误的是（ ）
A．2023年8~11月，该电子产品店销售总额为290万元
B．2023年8~11月，该款平板电脑销售额最低的是10月
C．该款平板电脑11月的销售额相比10月的销售额有所下降
D．该款平板电脑9~11月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与8月份相比都下降了
6．如图，在中，，点D在边BC上，，DE平分交AB于点E，若，，则AE的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．已知，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
9．有甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用时间相等，且乙队每天比甲队多修路20m，设甲队每天修路，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5B．8C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．______．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______．
13．如图，正五边形ABCDE内接于，连接OC，OD，则的度数是______．
14．如图，AB是的直径，CD是弦，且，若，则的度数是______．
15．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的点处，若，，，，则矩形ABCD的面积是______．
16．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）解不等式组：．
20．（8分）如图，在中，．
（1）作，使它过点A，B，C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
（2）在（1）所作的中，若，，求AC的长．
21．（10分）拱桥是我国最常用的一种桥梁类型，其样式之多，数量之大，为各种桥型之冠．石家庄的赵州桥、北京的卢沟桥、苏州的枫桥、杭州的广济桥都是著名的拱桥．老师将这四张四种拱桥的图片分别写上A，B，C，D四个编号（除编号和图案外其他全部相同），然后背面朝上放置，洗匀后让同学们从中随机抽取一张，记下编号后放回，让同学们自己查找抽到拱桥的资料，收集信息进行交流．
（1）小明在四张图片中随机抽到编号为C的概率为______；
（2）请用画树状图法或列表法求出小明和小华查找不同拱桥资料的概率．
22．（10分）如图，已知反比例函数和一次函数交于点A，其中一次函数的图象经过、两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的坐标为，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚前端B到墙面AD的距离为，AE的长度为62cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面的高度．如图③，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：，，）
24．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息：
八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100．
九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86．
八、九年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的总人数．
25．（10分）辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，O是AC边上一点，以OA为半径的与AB相交于点P，已知．
（1）求证：直线CP是的切线；
（2）若，，求的半径．
26．（10分）（1）【模型启迪】如图1，在中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使，连接BH，则AC与BH的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【模型探索】如图2，在中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且．求证：．
27．（12分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
2024年中考全仿真模拟试题
数学学科参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．A 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11． 12．－2 13．72° 14．25° 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）
解：原式．
18．（6分）
解：
，
，，，
经检验，是原方程的根，故原分式方程的解为：．
19．（6分）
解：，
解不等式①，得：；解不等式②，得：；
故原不等式组的解集为：．
20．（8分）
解：（1）如图所示；
（2）如图，连接AO，
∵，，，
∴是等边三角形，∴，，
∴，∴，
∴在中，，
故AC的长为．
21．（10分）
解：（1）∵从A，B，C，D四个编号中随机抽取一张，
∴小明在四张图片中随机抽到编号为C的概率，
故答案为：；
（2）根据题意，可画树状图如下，
∵由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小华查找不同拱桥资料的结果有12种，
∴小明和小华查找不同拱桥资料的概率．
22．（10分）
解：（1）∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得，∴反比例函数的解析式为；
（2）存在．
∵点A的坐标为，∴，
①当点O为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为或．
②当点A为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为．
③当点P为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为．
∴为等腰三角形时，点P的坐标为或或或．
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）
解：如图，作于点M，作于点N，
由已知可得，，
，，，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∴，
即遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为88cm．
24．（10分）
解：（1）九年级10名学生的成绩在C组中所占百分比为：，
∴九年级10名学生的成绩在D组中所占百分比为：，
∴，九年级10名学生的成绩在A、B两组的人数为：（人），
九年级10名学生的成绩在D组的人数为：（人），
∴第5名和第6名学生的成绩分别为：83分和86分，
∴九年级学生成绩的中位数为：，
∵八年级10名学生的成绩中得84分的人数最多，
∴八年级学生成绩的众数，故答案为：30，84.5，84；
（2）∵八年级学生成绩的方差为86.7，九年级学生成绩的方差为77.2，且86.7＞77.2，
∴九年级学生掌握知识较好；（也可以从中位数、众数角度分析，合理即可）
（3）由（1）得九年级学生成绩不低于90分的人数所占百分比为30%，
八年级学生成绩不低于90分的人数所占百分比为：，
（人），
∴两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的总人数有435人．
25．（10分）
（1）证明：如图，连接OP，
∵，∴，
∵，∴，
在中，，∴，
∴，∴，
∴，∴直线CP是的切线；
（2）解：在中，∵，，，
∴，，
设的半径为r，在中，，
解得：，∴的半径为3．
26．（10分）
（1）解：∵D为BC边的中点，∴，
在和中，，
∴，∴，，∴，
故答案为：，；
（2）证明：如图，延长AD至点G，使，连接BG，
由（1）同理可得：，∴，，
∵，∴，∴，
∴，即，∴．
27．（12分）
解：（1）当时，，∴，
当时，，∴，∴，
∵对称轴为直线，∴，
∴设抛物线的表达式：，代入，
∴，∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）如图，作于点F，交AC于点E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
当时，，∴；
（3）设，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴，
即：，∴，
∴，∴，
∵，，
∵，，∴．年级
八年级
九年级
平均数
83
83
中位数
83
b
众数
c
86
方差
86.7
77.2
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1．－5的绝对值是（ ）
A．B．－5C．5D．
2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．陇D．南
3．已知与互余，若，则的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．网上一家电子产品店，2023年8~11月的电子产品销售总额如图1所示，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2所示．
根据图中信息，有以下四个结论，其中错误的是（ ）
A．2023年8~11月，该电子产品店销售总额为290万元
B．2023年8~11月，该款平板电脑销售额最低的是10月
C．该款平板电脑11月的销售额相比10月的销售额有所下降
D．该款平板电脑9~11月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与8月份相比都下降了
6．如图，在中，，点D在边BC上，，DE平分交AB于点E，若，，则AE的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．已知，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作于点E，于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
9．有甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用时间相等，且乙队每天比甲队多修路20m，设甲队每天修路，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（ ）
A．5B．8C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．______．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______．
13．如图，正五边形ABCDE内接于，连接OC，OD，则的度数是______．
14．如图，AB是的直径，CD是弦，且，若，则的度数是______．
15．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的点处，若，，，，则矩形ABCD的面积是______．
16．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）解不等式组：．
20．（8分）如图，在中，．
（1）作，使它过点A，B，C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
（2）在（1）所作的中，若，，求AC的长．
21．（10分）拱桥是我国最常用的一种桥梁类型，其样式之多，数量之大，为各种桥型之冠．石家庄的赵州桥、北京的卢沟桥、苏州的枫桥、杭州的广济桥都是著名的拱桥．老师将这四张四种拱桥的图片分别写上A，B，C，D四个编号（除编号和图案外其他全部相同），然后背面朝上放置，洗匀后让同学们从中随机抽取一张，记下编号后放回，让同学们自己查找抽到拱桥的资料，收集信息进行交流．
（1）小明在四张图片中随机抽到编号为C的概率为______；
（2）请用画树状图法或列表法求出小明和小华查找不同拱桥资料的概率．
22．（10分）如图，已知反比例函数和一次函数交于点A，其中一次函数的图象经过、两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的坐标为，在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚前端B到墙面AD的距离为，AE的长度为62cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面的高度．如图③，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：，，）
24．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息：
八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100．
九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86．
八、九年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的总人数．
25．（10分）辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，O是AC边上一点，以OA为半径的与AB相交于点P，已知．
（1）求证：直线CP是的切线；
（2）若，，求的半径．
26．（10分）（1）【模型启迪】如图1，在中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使，连接BH，则AC与BH的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【模型探索】如图2，在中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且．求证：．
27．（12分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
2024年中考全仿真模拟试题
数学学科参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．A 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11． 12．－2 13．72° 14．25° 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）
解：原式．
18．（6分）
解：
，
，，，
经检验，是原方程的根，故原分式方程的解为：．
19．（6分）
解：，
解不等式①，得：；解不等式②，得：；
故原不等式组的解集为：．
20．（8分）
解：（1）如图所示；
（2）如图，连接AO，
∵，，，
∴是等边三角形，∴，，
∴，∴，
∴在中，，
故AC的长为．
21．（10分）
解：（1）∵从A，B，C，D四个编号中随机抽取一张，
∴小明在四张图片中随机抽到编号为C的概率，
故答案为：；
（2）根据题意，可画树状图如下，
∵由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小华查找不同拱桥资料的结果有12种，
∴小明和小华查找不同拱桥资料的概率．
22．（10分）
解：（1）∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得，∴反比例函数的解析式为；
（2）存在．
∵点A的坐标为，∴，
①当点O为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为或．
②当点A为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为．
③当点P为等腰三角形AOP的顶点时，点P的坐标为．
∴为等腰三角形时，点P的坐标为或或或．
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）
解：如图，作于点M，作于点N，
由已知可得，，
，，，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∴，
即遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为88cm．
24．（10分）
解：（1）九年级10名学生的成绩在C组中所占百分比为：，
∴九年级10名学生的成绩在D组中所占百分比为：，
∴，九年级10名学生的成绩在A、B两组的人数为：（人），
九年级10名学生的成绩在D组的人数为：（人），
∴第5名和第6名学生的成绩分别为：83分和86分，
∴九年级学生成绩的中位数为：，
∵八年级10名学生的成绩中得84分的人数最多，
∴八年级学生成绩的众数，故答案为：30，84.5，84；
（2）∵八年级学生成绩的方差为86.7，九年级学生成绩的方差为77.2，且86.7＞77.2，
∴九年级学生掌握知识较好；（也可以从中位数、众数角度分析，合理即可）
（3）由（1）得九年级学生成绩不低于90分的人数所占百分比为30%，
八年级学生成绩不低于90分的人数所占百分比为：，
（人），
∴两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的总人数有435人．
25．（10分）
（1）证明：如图，连接OP，
∵，∴，
∵，∴，
在中，，∴，
∴，∴，
∴，∴直线CP是的切线；
（2）解：在中，∵，，，
∴，，
设的半径为r，在中，，
解得：，∴的半径为3．
26．（10分）
（1）解：∵D为BC边的中点，∴，
在和中，，
∴，∴，，∴，
故答案为：，；
（2）证明：如图，延长AD至点G，使，连接BG，
由（1）同理可得：，∴，，
∵，∴，∴，
∴，即，∴．
27．（12分）
解：（1）当时，，∴，
当时，，∴，∴，
∵对称轴为直线，∴，
∴设抛物线的表达式：，代入，
∴，∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）如图，作于点F，交AC于点E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
当时，，∴；
（3）设，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴，
即：，∴，
∴，∴，
∵，，
∵，，∴．年级
八年级
九年级
平均数
83
83
中位数
83
b
众数
c
86
方差
86.7
77.2
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