江苏省连云港市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

2023—2024学年度第二学期期中学业质量调研八年级数学试题注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效．2．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，结合所给图形逐一进行判断即可．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，C.是中心对称图形，故该选项符合题意，D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；熟练掌握定义是解题关键．2. 下列事件是随机事件的是（ ）A. 明天太阳从东方升起 B. 经过交通路口时遇到红灯C. 花生油滴入水中会浮在水面 D. 两个负数的和是一个正数【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A不符合题意；B、经过交通路口时遇到红灯，是随机事件，故B符合题意；C、花生油滴入水中会浮在水面，是必然事件，故C不符合题意；D、两个负数的和是一个正数，是不可能事件，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了随机事件，有理数的加法，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3. 下列分式是最简分式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义：分子和分母中不含公因式的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案．【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意；B、，原分式不是最简分式，不符合题意；C、，原分式不是最简分式，不符合题意；D、是最简分式，符合题意；故选：D。4. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ） A. 9米 B. 18米 C. 27米 D. 36米【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解．【详解】解：根据题意，是的中位线，∴，∴（米），故选：．5. 在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答是解题的关键．【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形．故选：D．6. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的C. 不变 D. 缩小为原来的【答案】C【解析】【分析】本题主要考查分式的性质，根据题意及分式的性质可直接进行求解．【详解】解：∵字母的值都扩大为原来的2倍为，∴分式的值不变，故选：C．7. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE，∴AE=BF，所以（1）正确；∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连接BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．8. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，利用正方形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可．【详解】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值， ，∵正方形，，∴，，，，， ∴点O关于的对称点F，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∴，∴，∴，∴最小值为．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分）9. 若分式有意义，则x的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不等于0．【详解】分式有意义，则，所以，故答案为：．【点睛】本题考查分式有意义的条件；理解分母不能等于0是解题的关键．10. 如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形．【详解】解：可添加条件：（答案不唯一）．证明：∵四边形是平行四边形∴∵∴∴同理可证：∴∴四边形是平行四边形．故答案为：（答案不唯一）．11. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为___．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了求频率，根据频率频数总数进行求解即可．【详解】解：某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为，故答案为：．12. 如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是_______ ． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等．根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，进而得到长，然后可算出菱形的周长．【详解】解：∵四边形菱形，∴，，∵点P是的中点，∴，∵，∴，∴菱形的周长是：，故答案为：16．13. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______．【答案】【解析】【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故应满足．【详解】解：应满足的条件为：．证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点，∴在中，为的中位线，所以且；同理且，同理可得，则且，∴四边形为平行四边形，又，所以，∴四边形为菱形．故答案为：．【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．14. 如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为_____．【答案】48【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形周长公式得到，再根据平行四边形面积公式推出，则，据此求出即可得到答案．【详解】解：∵平行四边形的周长为40，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为；48．15. 如图，门上钉子处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点、、三点在同一直线上，则点的高度下降了______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．如图1，作，则，由勾股定理得，，即到的垂直距离为；如图2，作于，作于，则缩短后，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，，则，由，可求，，则到的垂直距离为；然后根据点的高度下降了，计算求解即可．【详解】解：如图1，作，∵，∴，由勾股定理得，，∴到的垂直距离为；如图2，作于，作于， 由题意知，缩短后，∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上，∴，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，∴，∴，即，解得，，∴，即，解得，，∴到的垂直距离为；∴点的高度下降了，故答案为：．16. 如图，为AD上的中点，则BE＝______． 【答案】【解析】【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解：延长BE交CD于点F,∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E为AD上的中点，∴AE=DE,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解. 三、解答题（本大题共10题，共102分）17. 计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）1 （2） （3） （4）【解析】【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．（1）根据分式的加法法则即可求出答案．（2）根据分式的除法法则即可求出答案．（3）根据分式的运算法则即可求出答案．（4）根据分式的运算法则即可求出答案．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．【小问3详解】解：．【小问4详解】解：．18. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．【答案】原式=x－2；当x=3时，原式=1．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值．【详解】解：原式=•=•=x﹣2，当x=3时，原式=3﹣2=1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．（1）画出将关于原点的中心对称图形；（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_______．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据中心对称的性质即可画出；（2）根据旋转的性质即可画出；（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．【小问1详解】如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求；【小问3详解】根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，∴，故答案为：．20. 如图，在中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足，连接、、、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，则当　 　°时，四边形是菱形．【答案】（1）见解析 （2）30【解析】【分析】（1）连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）当时，，又在中，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，故是菱形，进而，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得是菱形．【小问1详解】证明：连接，交于点O，∵四边形是平行四边形，，，又，，即，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】当时，四边形是菱形．，，，，，是等边三角形，，∵四边形是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，即，由（1）可知，四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．故答案为：30．【点睛】本题主要考查平行四边形的证明，菱形的性质与证明，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．解题的关键是熟练运用平行四边形及菱形的性质与判定．21. 今年的4月15日是第八个“全民国家安全教育日”，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题∶（1）这次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m ，“较强”层次类别所占圆心角的为 °；（3）若该校有900名学生，现需要对安全意识为“淡薄”和“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？【答案】（1）200，见解析 （2）55，72 （3）225【解析】【分析】（1）用一般层次人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用总人数减其它层次人数，计算出较强层次的人数，即可补全条形统计图；（2）用“较强”层次的人数除以总人数即可求出所占的百分比，进而得到m的值；用乘以“较强”层次所占的百分比，即可得到扇形统计图中“较强”层次所占圆心角；（3）用2000乘以样本中“淡薄”和“一般”层次所占的百分比即可．【小问1详解】解：，∴这次调查一共抽取了200名学生， ∵较强层次的人数为（人），∴补全条形统计图如下， ；【小问2详解】解：∴，扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角为；故答案为：55,72；【小问3详解】解：，∴估计全校需要强化安全教育的学生人数为225名．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，掌握题意由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．22. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点N．（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，证明见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正方形的判定等知识，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握相关性质定理，是解题关键．（1）根据等腰三角形性质得到，利用角平分线定义得到，再结合题意即可得出结论；（2）根据等腰三角形的三线合一可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出，结合为矩形即可得出结论．【小问1详解】证明：，，是外角的平分线，，，，，四边形为矩形；【小问2详解】当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，由（1）知四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，∴四边形是正方形．23. 如图，，平分，交于点．（1）动手操作：作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹），交于点，交于点，连接；（2）探究求证：四边形是菱形；（3）应用练习：若，，则菱形的面积为_________．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）96【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线，交于点，交于点，连接即可得到答案；（2）根据证明，得出，，再根据证明，得出，由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形即可；（3）由菱形的性质求出，由勾股定理求出，从而，然后根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】证明：如图所示： ∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴，∴．在和中，，，，和中，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形；【小问3详解】平行四边形是菱形，，，在中，由勾股定理得，，菱形的面积．【点睛】本题考查了角平分线的作法，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键．24. 【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设，则．原式∴．这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．【应用】（1）使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；（2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；【拓展】（3）已知分式值为整数，求正整数x的值．【答案】（1） （2） （3）4或2或16【解析】【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可；（2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；（3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．【小问1详解】解： ，故答案为：；【小问2详解】设，则，∴∴，故答案为：；【小问3详解】设，则，∴∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，，由，得或由，得或（舍）∴正整数x的值为4或2或16．【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．25. 如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5)（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是 ．（2）在（1）条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由．（3）若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．【答案】（1）平行四边形 （2）当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形 （3）【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC，分没相遇前，和相遇后，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF=HE，利用内错角相等得GFHE，根据平行四边形的判定可得结论；（2）如图1，连接GH，分没相遇前，和相遇后，两种情况，列方程计算即可；（3）连接AG．CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG=CG，根据勾股定理求出BG，得到AB+BG的长，根据题意解答．【小问1详解】解：在矩形ABCD中：AB=CD，ABCD，ADBC，∠B=90°，∴∠BAC=∠DCA，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG=AB，CH=CD，∴AG=CH，∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts，∴AE=CF，如图，当没相遇前，∵AE=CF，∴AF=CE，∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，∴△AGF≌△CHE，∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，∴GFHE，∴四边形是平行四边形；如图，当相遇后，∵AE=CF，∴AF=CE，∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，∴△AGF≌△CHE，∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，∴∠EFG=∠FEH，∴GFHE，∴四边形是平行四边形；综上所述：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；故答案为：平行四边形；【小问2详解】如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∵G、H分别是AB，DC的中点，∴GH=BC=8cm，∴当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形，∴如图，当没相遇前，∵AE=CF=2t，则EF=10-4t=8，解得：t=0.5，如图，当相遇后，∵AE=CF=2t，∴EF=2t+2t-10=8，解得：t=4.5，综上所述：当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；【小问3详解】如图2，连接AG、CH，∵四边形GEHF是菱形，∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，∵AF=CE，∴OA=OC，∴四边形AGCH是菱形，∴AG=CG，设AG=CG=x，则BG=8-x，由勾股定理得：，即，解得：x=，∴BG=8-=，∴AB+BG=6+=，t=÷2=，即t为秒时，四边形EGFH是菱形．【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理．菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．26. 如图1，是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边、分别与（或延长线图3）、（或延长线图3）相交于点、，连接，数学兴趣小组的同学们在研究图1时，发现有这么一个结论：；为了解决这个问题，他们经过讨论，采取了以下方案：延长到，使，连接，得到图2，请你根据他们的思路，结合图2，解决下列问题：（1）证明：①；②；（2）根据图3，①结论是否成立，如不成立，写出线段、、的数量关系并证明．②若，，求正方形的边长并直接写出中边上的高．【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）①不成立，，见解析；②边长是6，高是【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，正方形的性质，以及勾股定理的应用．（1）①延长到，使，连接，由正方形的性质可得出，，利用证明即可．②由全等的性质可得出，，由等腰三角形的性质得出，进一步可得出，利用证明，即可得，等量代换得出；（2）①在上取，连接，同（1）②过程一样利用证明，利用证明，可得出；②设正方形的边长是，则，利用求出，由勾股定理得：代入即可求出x．再由勾股定理求出，如图3，过F点与H，即可求出．【小问1详解】证明：①延长到，使，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，；②，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，；【小问2详解】①不成立，三线段、、的数量关系是，证明：在上取，连接，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，；②解：设正方形的边长是，则，，，在中，由勾股定理得：，解得：，即正方形的边长是6．∴，∵，如图3，过F点于H，∴中边上的高是．