辽宁省营口市大石桥市水源镇九年一贯制（寄宿制）学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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（本试卷共23道题 满分120分）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
一、选择题（共30分）
1. 如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．首先根据余角的概念求出，然后根据邻补角互补求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴．
故选：B．
2. 下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】先求出每个式子的值，再比较即可．
【详解】解：A、，相等，故此选项不符合题意；
B、，，相等，故此选项不符合题意；
C、，，不相等，故此选项符合题意；
D、，相等，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了立方根，算术平方根，有理数的乘方，以及绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解本题的关键．
3. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据“方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1”即可判断．
【详解】解：A选项：方程中只有一个未知数，故不是二元一次方程，不合题意；
B选项：方程含有两个未知数，但项的次数是2，故不是二元一次方程，不合题意；
C选项：方程中含有两个未知数，且未知数的项的次数是1，故是二元一次方程，符合题意；
D选项：方程含有两个未知数，但项的次数不是1，故不是二元一次方程，不合题意．
故选：C
4. 如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形已知，，则阴影部分的面积为（ ）．
A. 18B. 14C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，利用平移有：，，随即可得结论．
【详解】解∶根据平移有：，，
，
∵，，
阴影部分的面积：．
故选：B．
【点睛】勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
5. 已知是方程的一个解，则k的值是（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，然后解关于k的方程即可求出k的值．
【详解】解：把代入，
，
∴．
故选A．
6. 如图，已知直线，将直角三角尺放在图中所示的位置上，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算，过点作，根据两直线平行，同旁内角互补，求得，进而求得，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7. 在直角坐标系中，已知点P在第三象限内．且到x轴的距离为2，到y轴的距离为，那么点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【详解】解：若点在第三象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为，
则点的坐标为，
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
8. 如图的棋盘中，若“帅”位于点 (1，－2)上， “相”位于点(3，－2)上，则 “炮” 位于点 ( )上．
A. (2，1)B. (－2，1)C. (－1， 2)D. (1，－2)
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知两点的坐标可确定平面直角坐标系，再判断其它各点的坐标．
【详解】解：依题意，坐标系的原点是从下数第3行与从左数第4列的交点，故炮的坐标为（-2，1）．
故选B．
【点睛】本题主要考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，建立平面直角坐标系，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
9. 我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
整理得：，
故选：B．
10. 如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（ ）
A. 29°B. 32°C. 34°D. 56°
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了图形折叠，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题（共15分）
11. 在小河旁有一村庄，现要建一取水点，为使该村村民到河边取水最近，则取水点应建在______点处．
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可作答．
【详解】点C与村庄的连线与小河所在直线垂直，
根据垂线段最短可知：在C点建一取水点，使该村村民到河边取水最近，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的实际应用，理解垂线段最短，是解答本题的关键．
12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是______．
【答案】49
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出m的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数．
【详解】解：由题意得：
解得
故答案为：．
13. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，得，计算即可，本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解题的关键．
【详解】是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，
解得，
故答案为：3．
14. 甲岁数的5倍比乙岁数的3倍少2，设甲为岁，乙为岁，列出相应的二元一次方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程，设甲为岁，乙为岁，根据甲岁数的5倍比乙岁数的3倍少2，列出方程即可．
【详解】解：设甲岁，乙为岁，
由题意得，，
故答案为：．
15. 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，②当射线GP'⊥EG于点G时，∠P'GE=90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【详解】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，
∵∠MFD=∠BEF=56°，
∴CDAB，
∴∠GEB=∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB=∠GEF=∠BEF=28°，
∴∠FGE=28°，
∴∠PGF=∠PGE-∠FGE=90°-28°=62°；
②当射线GP'⊥EG于点G时，∠P'GE=90°，
同理：∠P'GF=∠PGE+∠FGE=90°+28°=118°.
则∠PGF的度数为62°或118°.
故答案为：62°或118°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
三、解答题（共90分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，数的乘方运算，
（1）根据算术平方根，立方根和去绝对值等知识先化简，再计算即可作答；
（2）根据算术平方根，立方根和去绝对值等知识先化简，再计算即可作答．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：，
将代入得：，即，
解得：，
将代入得：，
；
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为______；点的的坐标为 ______．
（2）①画出三角形；
②求出三角形的面积．
【答案】（1），；
（2）①见解析；②．
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中的平移问题，画平移图形，坐标系中的面积计算．
（1）根据平移规律，横坐标减去6，纵坐标加上2，依次计算即可；
（2）①根据画图形即可；②运用割补法计算面积即可．
小问1详解】
∵任意一点，经平移后对应点为，
∴，，平移后的坐标依次为，
故，
故答案为：；
【小问2详解】
①∵，，平移后的坐标依次为，
故，
画图如下：

②根据题意，．
19. 如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
（1）试说明：AB∥CD；
（2）若∠2=25°，求∠BFC的度数.
【答案】（1）证明见解析（2）115°
【解析】
【详解】试题分析：（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）根据角平分线求出∠EDF，根据三角形外角性质求出∠FED，根据三角形内角和定理求出即可．
试题解析：（1）
（2）∠BFC=115°
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDF=∠2=25°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠FED=90°，
∴∠3=180°-90°-25°=65°．
∴∠BFC=180°-65°=115°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
20. 已知方程是关于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值：
（2）求时，y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y值即可．
【小问1详解】
解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）得，原方程为，
当时，则，
解得．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
21. 如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．
【答案】（1），，，；（2）存在，或；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质得出，且，求出，，得出，，由平移的性质得，；
（2）设，由（1）由（1）得：，，∴，进而可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵m，n满足，
∴，且，
∴，，
∴，，
由平移的性质得：，；
（2）解：存在，理由如下：
设，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）证明：由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22. 甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元．
（1）若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空）
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元；
（3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
【答案】（1）
（2）甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元
（3）共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价；
（2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【小问1详解】
解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，
∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)．
又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，
∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)．
【小问2详解】
解：依题意，得
解得
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
【小问3详解】
解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得，化简得．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或
∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
23. 点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．
（1）如图，当点在右侧时，求证：；
（2）如图，当点在左侧时，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）60度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义；
（1）通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点作，交于点，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求．
小问1详解】
平分，
，
又，
，
∴，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
过点作，交于点，如图，
由（1）同理可证：，
，
，，
，
；
【小问3详解】
设，
则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．