2024年湖南省邵阳市邵东市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
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5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数，，，，，中，其中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了实数比较大小的方法，解题的关键是熟记实数比较大小的方法．
由实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：，
∴最小的数是．
故选：D．
2. 下列四个运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A选项：，故本选项计算正确；
B选项：，故本选项计算错误；
C选项：，故本选项计算错误；
D选项：与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误．
故选：A
3. 据不完全统计，北京冬奥会的收视率历届最高，在中国仅电视收视人数就超610000000人次，将610000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B
4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的值可能是（ ）
A. 2B. 1C. 0D. 任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
实数a的值可能是0，
故选C．
5. 2023年5月30日空间站内，神十五、神十六两个航天员乘组拍下“全家福”，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的画面，下面是神州十五3位航天员的年龄统计如下：57，46，56，下列说法错误的是（ ）
A. 神州十五航天员的平均年龄为53岁B. 神州十五航天员年龄的中位数为56岁
C. 神州十五航天员50岁以上占D. 神州十五航天员45以上的频率为1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平均数、频率与中位数的意义，解题时要注意理解题意，要细心，不要漏解．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．首先根据平均数、中位数、频率的意义逐项分析即可得出结果．
【详解】解：据题意得，3位航天员的年龄统计如下：57，46，56，
神州十五航天员的平均年龄为，故A项说法正确，不符合题意；
将57，46，56，从小到大排序后得： 46， 56，57，所以神州十五航天员年龄的中位数为56岁，故B项说法正确，不符合题意；
3位航天员，50岁以上的有2人，神州十五航天员50岁以上占，故C项说法错误，符合题意；
3位航天员，45岁以上的有3人，神州十五航天员45以上的频率为1，故A项说法正确，不符合题意；
故选∶C．
6. 如图，是由个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，一共有两列，从左到右每列的小正方形的个数分别为3，1
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．从左边看得到的每列正方形的个数是解决本题的关键．
7. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若， ，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解决问题的关键．
先根据切线的性质得到，然后利用正切的定义求出的长．
【详解】解∶是的切线，是的直径，
，
，
，
故选∶D．
8. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据如果甲得到乙所有钱一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，可以列出相应的方程组．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
9. E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A. 矩形B. 菱形
C. 正方形D. 非特殊的平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形判定条件即可求出结果.
【详解】如图,


连结AC,BD.
、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点,
, ,
.
四边形EFGH是菱形;
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查菱形的判定条件，熟悉掌握是关键.
10. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 因式分解： ________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式直接运用完全平方公式进行因式分解即可
【详解】解：，
故答案为：
12. 若点与点关于x轴对称，则_______________
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及已知字母的值求代数式的值，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反求出m，n的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：1．
13. 分式方程的解为：___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘以约去分母得：，
解这个整式方程得，
检验：当时，分母，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
14. 不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球m个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有_____个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式的应用，用红球的个数除以球的总个数等于列出关于m的方程，解之即可．
【详解】解：根据题意知，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴这个袋中白球大约有4个．
故答案为：4．
15. 已知方程的一个根是1，则m的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．
【详解】解：将代入得：，解得．
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键．
16. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
17. 如图，在半径为的中，是的弦，是的中点，交于点．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，连接，根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】连接
的半径为
是的弦，是的中点
故答案为：
18. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：设A（t，）,
∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，
∴B（-t，-）,
∵轴，轴，
∴C（t，-）,
∴；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用特殊锐角的三角函数值，绝对值的性质，零次方和负指数幂的性质进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、零次方、负指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题的关键．
20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案及相关数据如下：线段表示教学楼，测量角度的仪器的高度，点F、G、B在同一条水平直线上，点C、D、E在同一水平直线上，点E在线段上．，，根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践”小组求出教学楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，．）
【答案】教学楼的高度为
【解析】
【分析】本题考查是解直角三角形的应用，由等腰三角形的判定求出，再利用三角函数值求出，即可求出，熟练掌握解直角三角形的方法求出线段长是解决此题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵在 中，，
∴，
∴．，
∴教学楼 的高度为．
21. 春季防流感，人人有责，勤洗手，加强个人卫生可以更好的防范病菌．小王和小李计划每人购买一瓶某品牌免洗洗手液，该品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中王和小李选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
22. 为了“天更蓝，水更绿”，湘潭市政府加大了对空新污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善．市环保局随机五30天空气质增指数（），绘制成扇形统计图．
（1） ， ；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）请根据样本数据，估测该城市一年（以360天计）中大约有 天为中．
【答案】（1）4，2 （2）
（3）
（4）108
【解析】
【分析】此题主要考查扇形统计图、样本估计总体等知识，准确提取数据是解题的关键．
（1）根据扇形统计图中优的圆心角度数进行计算即可求m的值，再用总数减去其它部分即可得到n的值；
（2）用良的天数除以总天数即可得到答案；
（3）用乘以对应的占比即可得到答案；
（4）用360乘以样本中的对应百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
所以，
故答案为：4，2；
【小问2详解】
良的占比；
【小问3详解】
差的圆心角；
【小问4详解】
(天)，
故答案为：
23. 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式： ；
（2）应用：请运用“十字相乘法”解方程：
【答案】（1）1；5 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解；
（2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解．
【小问1详解】
解：；
故答案为：1；5
【小问2详解】
解：将方程左边因式分解得，
∴或，
解得：．
24. 如图，四边形内接于，，延长到点E，使得，连接．

（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由四边形内接于，可得，由，可得，证明，进而结论得证；
（2）如图，过点D 作于，则，由，可得，则，由，，可得，则，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点D 作于，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角、弦长相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角、弦长相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
25. 问题提出
如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，得到，；
（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；
（3）过点作交于点，则，证明，，得，，，再利用勾股定理即可得解．
【详解】解：问题探究
（）．理由如下：如图（），
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（）证明：过点作交于点，则，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴．
∴，，
∴等腰直角三角形．
∴．
∴．
（）．理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
过点作交于点，则，
∴．
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．
26. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标；
（3）D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）点P的坐标为或
（3）最小值为2
（4）存在，点Q 的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求直线的解析式，然后分两种情况讨论：①当时，则有轴，求出；②当时，由，可求得；
（3）先求出，如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则，由轴对称的性质可得，则当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为．
（4）分两种情况讨论：点在轴右侧和点在轴左侧，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，证明，则，得出关于的方程，求解方程即可得出答案．
【小问1详解】
∵，，，
∴．
设抛物线的解析式为，则
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
存在以P、C、M为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵，
∴对称轴是直线．
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得：，
∴．
∴．
∴由两点间距离公式可得：．
若以P、C、M为顶点的三角形与相似，则有，
①如图1，当时，则有轴，
∴．

②如图2，当时，

∴．
∴．
∴．
∴．
综上所述，点P的坐标是或
【小问3详解】
解；∵D为的中点，
∴，
如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为，
∴的最小值为．
【小问4详解】
存在，理由如下：
①如图3，当点在轴右侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
∴Q的坐标是．
②如图4，当点在轴左侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
∴Q的坐标是．
综上所述，Q的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题，属于压轴题，难度较大．A
B
C
A
(A，A)
(B，A)
(C，A)
B
(A，B)
(B，B)
(C，B)
C
(A，C)
(B，C)
(C，C)
空气质量等级
空气质量指数（）
频数
空气质量等级
空气质量指数（）
频数
优
m
良
15
中
9
差
n