北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．
1. 在复平面内，下列复数中对应点在第四象限的是（ ）
A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i
2. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（ ）
A. 1B. C. 3D.
3. 已知向量，，且，那么x的值是（ ）
A. B. 3C. D.
4. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. 7D. 13
5. 已知向量与向量的夹角为，且，则（ ）
A. 4B. 3C. D. 1
6. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为
A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8. 如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 设为非零向量，则与的夹角的最大值为（ ）
A B. C. D.
10. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yng Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（ ）

A. 54B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知复数，则________，_________．
12. 体积为的球的表面积是__________.
13. 如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么______．
14. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________．

15. 设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论：
①；②；
③；④若是单位向量，则．
以上所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知复数为虚数单位．
（1）若，求的值；
（2）若为实数，求的值．
（3）若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
17. 已知向量．
（1）求；
（2）求向量夹角的余弦值；
（3）若与平行，求实数的值．
18. 已知向量是夹角为的单位向量，且．
（1）求；
（2）求的值；
（3）求向量与的夹角．
19. 在中，角的对边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
20. 在中，角对边分别为，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
21. 已知向量，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系
，，，，．
（1）当时，直接写出向量；
（2）证明：不存，使得中；
（3）证明：存在，当时，向量满足．