山东省临沂市平邑县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，比小数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴比小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键．
2. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可．
【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算正确，符合题意；
D． ，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键．
5. 如图，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．
6. 如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．
7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用4，5，6这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有456，465，546，564，645，654，共六种可能，
只有456，654是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故选：C．
8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴得N、P关于y轴对称，
∴选项A、C错误，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴选项D错误，选项B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，
在和中，，
，
，
，
四边形矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
12. 方程的解为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，现将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程即可．
【详解】方程两边同乘，得，
解得，
故答案为：．
13. 如图，在中，若，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
14. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
15. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可）
①4月份的利润为50万元
②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
④9月份该厂利润达到200万元
【答案】①②④
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可．
【详解】解：①、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴反比例函数的解析式为：，
当时，，
∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意；
②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意；
③、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意．
④、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式：，
故时，，
则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意．
故答案为：①②④．
16. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：，均为正整数，
，，，，…，
，，，，…，
，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
第7个智慧优数是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）；
（2）解不等式组．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了含三角函数的实数混合运算、解一元一次不等式等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则和解不等式组的方法和步骤．
（1）首先根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂、绝对值的性质以及二次根式的性质进行运算，然后相加减即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
∴不等式组的解集为．
18. 首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【答案】（1）参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）1152人 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）用D类人数除以所占百分比即可得到总人数；再用总人数乘以F类所占百分比，即可求解；
（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
（3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可．
【小问1详解】
解：（人）．
（人）；
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
【小问2详解】
解：（人）．
答：估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1152人；
【小问3详解】
解：答案不唯一．例如：
第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“4~6小时”的人数最多；②平均每周阅读课外书的时间在“0~4小时”的人数最少；③平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占调查总人数的32%；
第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；②阅读的课外书的主要来源中选择“向他人借阅”的人数最少．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19. “一条河改变一座城、一条河凝聚万众心”，历时3年，我县兴水河片区改造从蓝图变为现实，兴水河由原来的垃圾河、臭水沟，蜕变成了平邑人民的“幸福河”．兴水河中央综合公园成为了县城群众休闲观光、健身娱乐、夜游赏灯的好去处，公园里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少米？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
【答案】座板距地面的最大高度为1.7米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，求出，再求，通过解直角三角形，即可求解．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
，，
秋千链子的长度为，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
座板距地面的最大高度为1.7米．
20. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
【答案】（1）老师有8人，学生有247人
（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
【解析】
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可．
（2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可．
【小问1详解】
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，
根据题意，得，
解得，
∴.
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人．
【小问2详解】
师生总数为（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，
根据题意，得，
解得，
∵m为整数，
∴m的值可取3，4，5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1），；
（2）点D的坐标为或
【解析】
【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；
（2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
22. 如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是90度，可得，再证明，进而得出，即可得出结论；
（2）证明，设半径，得出，，根据勾股定理得出，根据求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
；
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角的正切，切线的判定，正确理解题意是解题的关键．
23. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【解析】
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解.
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．
24. （1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论；
③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；
（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，

作于点M，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A．8小时及以上；
B．6～8小时；
C．4～6小时；
D．0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论
……
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离
0
10
20
30
40
…
飞行高度
0
22
40
54
64
…