2024年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科）（二）

这是一份2024年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科）（二），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(2−i)z=2，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={1,3,4}，集合B={2,3,4,6}，则如图中的阴影部分表示( )
A. {3,4}
B. {1}
C. {2,6}
D. {1,2,3,4,6}
3.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有( )
A. 64种B. 46种C. 24种D. 360种
4.已知f(x)=ex1−eax是奇函数，则a=( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
5.直线xcsθ+ysinθ−2=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A. 相离B. 相交C. 相切D. 位置关系与θ有关
6.平面向量a与b的夹角为60∘，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
7.已知函数f(x)=lnx−ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [13,+∞)D. (13,+∞)
8.已知sin(π6−θ)=14，则sin(π6+2θ)=( )
A. −78B. 78C. 1516D. −1516
9.若数列{an}满足a1=1，lg2an+1=lg2an+1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则Sn=( )
A. 2−21−nB. 2n−1−1C. 2n−1D. 2−2n−1
10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )
A. 24
B. 28
C. 32
D. 36
11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0时，∀m，n∈(0,+∞)，f(m+n)+1>f(m)+f(n).
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x=csαy=sinα(α为参数，α∈[0,π])，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcs(θ+π3)=4.
(1)写出曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；
(2)过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值.
23.(本小题12分)
已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)=|x+a|+|x−2|，不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤−2或x≥3}.
(1)求实数a的值；
(2)若f(x)的最小值为M，b+c=M，求证：1b+1+1c≥1.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=22−i=2(2+i)(2−i)(2+i)=4+2i4−i2=4+2i5，
故z在复平面内对应的点坐标为(45,25)，位于第一象限．
故选：A.
利用复数的除法法则得到z=4+2i5，得到z在复平面内对应的点坐标，得到答案．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，图中的阴影部分表示的是CBA={2,6}.
故选：C.
根据集合补集的定义求解即可．
本题考查补集的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，每一位乘客都有4种选择，
故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4=46种，
故选：B.
由题意，归类为分步乘法原理模型求解．
本题考查了分步乘法原理的应用，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，已知f(x)=ex1−eax是奇函数，
则有f(−x)=−f(x)，即e−x1−e−ax=eax−xeax−1=−ex1−eax，
则有eax−x=ex，必有a=2.
故选：C.
根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即e−x1−e−ax=eax−xeax−1=−ex1−eax，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题设知圆心到直线的距离d=|−2| cs2θ+sin2θ=2，
而2>1=r，圆的半径r=1，
所以直线xcsθ+ysinθ−2=0与圆x2+y2=1的位置关系是相离．
故选：A.
由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系．
本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法，圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离；当d=r，直线与圆相切；当df(m)−f(0)，而f(0)=1，
故f(n+m)−f(n)>f(m)−1，
即f(m+n)+1>f(m)+f(n).
【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求得答案；
(Ⅱ)求出函数g(x)=f′(x)的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得g(x)的单调区间；
(Ⅲ)由于不等式f(m+n)+1>f(m)+f(n)可变为f(n+m)−f(n)>f(m)−1，所以可构造函数h(x)=f(x+m)−f(x)，利用(2)的结论可证明该函数为(0,+∞)上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论．
本题考查了导数的综合应用，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为曲线C1的参数方程为x=csαy=sinα，所以x2+y2=cs2α+sin2α=1，
又α∈[0,π]，所以y≥0，故曲线C1的普通方程为x2+y2=1(y≥0)，
又曲线C2的极坐标方程为ρcs(θ+π3)=4，即12ρcsθ− 32ρsinθ=4，
所以直线C2的直角坐标方程为12x− 32y=4，即x− 3y−8=0.
(2)由(1)知直线C2的方程为x− 3y−8=0，
设曲线C1上任意一点P(csθ,sinθ)，θ∈[0,π]，
则P到C2的距离为d=12|csθ− 3sinθ−8|=|cs(θ+π3)−4|，
则|PA|=dsin60∘=2 33|cs(θ+π3)−4|，
当θ=2π3，|PA|取得最大值，最大值为10 33.
【解析】(1)根据曲线C1的参数方程为x=csαy=sinα(α为参数，α∈[0,π])，消去参数，可得其普通方程；根据曲线C2的极坐标方程，结合转化公式即可求得其直角坐标方程；
(2)设曲线C1上任意一点P(csθ,sinθ)，θ∈[0,π]，利用点到直线的距离公式得到P到C2的距离为d=|cs(θ+π3)−4|，根据条件得到|PA|=2 33|cs(θ+π3)−4|，即可求出结果．
本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由f(x)≥5，得|x+a|+|x−2|≥5，因为不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤−2或x≥3}，
所以|−2+a|+|−2−2|=5，|3+a|+|3−2|=5，得a=1；
经验证，a=1符合题意，故a=1.
(2)证明：因为f(x)=|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，
当且仅当(x+1)(x−2)≤0时取等号，所以M=3，所以b+c=3.
所以1b+1+1c=14(1c+1b+1)(c+b+1)=14(b+1c+cb+1+2)≥14(2 b+1c⋅cb+1+2)=1，
当且仅当b+1c=cb+1，即b=1，c=2时取等号．
【解析】(1)根据绝对值的定义，等价转化不等式，解得含参解集，建立方程，可得答案；
(2)利用绝对值的三角不等式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．P(K2≥k0)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否患病
合计
是
否
男
女
合计
性别
是否患病
合计
是
否
男
18
18
36
女
6
24
30
合计
24
42
66