专题08 幂函数与二次函数-2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题08 幂函数与二次函数
【考点预测】
1、幂函数的定义
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数．
（3）幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
【方法技巧与总结】
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．
【典型例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
例2．（2024·高三·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，
故，
即，
当且仅当时，等号成立，
故，实数的最小值为.
故选：D
例3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【解析】函数的单调递增区间是，
因此，即，解得，
所以实数a的值是.
故选：C
例4．（2024·高三·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，，有最小值.
当时，二次函数开口向下，无最小值；
当时，无最小值；
当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.
故选：A
例5．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】设，
因为，令，得，故，所以，
令，得，故，即，
又，即，故，，所以，
由，得，设，，即，，
则
，
所以的最大值与最小值之和为，
故选：C
例6．（2024·高三·全国·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，
由函数在上单调递减可得，解得，
故选：D．
例7．（2024·高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，在定义域R上单调递增，符合题意；
当时，的图象的对称轴为直线，
因为在上单调递增，所以且，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D
例8．（2024·高一·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的对称轴方程为：，
因为函数在区间上是减函数，
所以，解得，
故选：B
例9．（2024·高三·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【答案】②
【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意,
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数，
根据奇函数的性质，
因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为的定义域为，且，故②满足题意；
因为的定义域为，且，故③不满足题意.
故答案为：②.
例10．（2024·高一·重庆·期末）已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】举例，则，根据反比例函数的性质知其为奇函数，
且在上单调递减，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
例11．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ．
【答案】
【解析】当时，的值与无关，且，故，设
将代入，解得，故
故答案为：
例12．（2024·高三·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 .
【答案】
【解析】设此幂函数的表达式为，
依题意可得，，即，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
例13．（2024·高一·吉林长春·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则 ．
【答案】
【解析】由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
例14．（2024·高一·全国·课时练习）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ．
【答案】或
【解析】是幂函数，也是偶函数，
且在上为增函数，
且为偶数，
解得或，
当时，，
当时，.
故答案为：或
例15．（2024·江苏南京·二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
例16．（2024·贵州毕节·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 .
①在上恒成立；②是偶函数；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【解析】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，
由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；
，满足③，
所以.
故答案为：
例17．（多选题）（2024·高三·海南海口·开学考试）如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（ ）

A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为图像与轴交于两点，所以，即，故A正确；
对称轴为，即，所以，故B错误；
结合图像，当时，，即，故C错误；
由对称轴为知，，根据抛物线开口向下，知，所以，
即，故D正确.
故选：AD
例18．（多选题）（2024·高二·山东滨州·阶段练习）对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A，B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为0，，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；
选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能．
选项C，D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，D不可能；
选项C中，由图象与x轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．
故选：BCD．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：
2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递增，则，解得.
故选：B．
3．（2024·高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【解析】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，
所以，所以.
故选：C
4．（2024·高一·黑龙江双鸭山·期中）是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A．2B．C．4D．2或
【答案】A
【解析】由于是幂函数，所以，解得或，
由于在上是减函数，所以，故，
因此，
故选：A
5．（2024·高一·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（ ）
A．1B．-3C．1或-3D．2
【答案】A
【解析】∵为幂函数，∴或；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，不满足题意.
综上可知：.
故选：A.
6．（2024·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得.
故选：C.
7．（2024·高一·广东深圳·期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，所以，
所以，因为，
因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
8．（2024·高一·陕西安康·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设幂函数的解析式为
由幂函数的图象过点，解得
，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.
故选：C
9．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
10．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
二、多选题
11．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由且，
，即，则，当且仅当取等号，故取不到，
所以，A错，B对；
，且，
所以，C对，D错.
故选：BC
12．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】设二次函数，
因为，令，可得，故，所以，
令，得，故，即；
又因为，即，解得，所以，
由，可得，
设，即，
从而，故A错误，B正确；
又由
，所以C错误、D正确．
故选：BD．
13．（2024·高三·河南信阳·阶段练习）已知函数，，则以下正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．
【答案】BCD
【解析】因为，其图象为开口向上的抛物线，
，即无实数根，
故，，即，故B正确，A错误；
C：由B正确可知：，故C正确；
D：因为，故，
所以，故D正确．
故选：BCD
14．（2024·高三·山西晋中·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.
故选：AC.
15．（2024·高二·全国·专题练习）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【解析】不妨设，则，
根据题意，可得恒成立，
即恒成立，
令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：AB
16．（2024·高一·福建福州·期中）已知函数，则（ ）
A．B．
C．的最小值为1D．的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【解析】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
17．（2024·高一·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】AB
【解析】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；
当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，
所以，C选项错误；
因为当时，指数越大，图象越高，所以，
综上，，AB选项正确.
故选：AB
18．（2024·高三·云南·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】需要，不能满足，A选项错误；
由指数函数的性质，当时，有，B选项正确；
由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确；
当时，满足，但不成立，D选项错误.
故选：BC
19．（2024·高一·山东·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，故，
对选项A：，同时除以得到，正确；
对选项B：取，，，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，，故，正确；
故选：ACD
20．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，
所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
三、填空题
21．（2024·高三·上海·专题练习）请写出一个函数 使之同时具有如下性质：
（1）函数为偶函数；
（2）的值域为．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】根据题意，要求函数函数为偶函数，则函数关于直线对称，
而的值域为，可以为二次函数，
如，
故答案为：（答案不唯一）．
22．（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】令，因为，所以，则，
所以原函数可化为，其对称轴为，
所以函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
23．（2024·高一·贵州·阶段练习）已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
所以图象的对称轴为直线，
则的最小值为.
不等式对恒成立等价于，.
因为在上单调递增，
所以，则，解得，
故的取值范围是.
故答案为：
24．（2024·高二·上海杨浦·期末）函数的单调增区间是 .
【答案】/
【解析】为开口向下的二次函数，且对称轴为，
所以单调递增区间为，
故答案为：
25．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）函数的最小值是 ．
【答案】
【解析】函数，
令，所以，
因为函数的对称轴为，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，函数有最小值.
故答案为：
26．（2024·高一·全国·课时练习）已知函数的最小值点为，则 ．
【答案】8
【解析】由题意可得函数的图象开口向上，对称轴为，
又函数的最小值点为，则，即，
所以，则．
故答案为：8．
27．（2024·高一·全国·单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令，，
，，则,
所以,所以实数m的范围为.
故答案为:.
28．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的，，
，
则，
当且仅当时取等号，
即，即满足③，
故答案为：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根