专题34 掌握直线方程的基本类型 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

高考二轮数学复习策略一轮看功夫，二轮学技巧，三轮振士气。二轮数学复习中，要注意六大策略：　　一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度　　二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。　　三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。　　四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。专题34 掌握直线方程的基本类型 【考点预测】一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；二、基本公式1、两点间的距离公式2、的直线斜率公式3、直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率存在且过，注：①当时，；②当不存在时，（2）斜截式：直线的斜率存在且过，（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．注：可表示经过两点的所有直线（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．【典型例题】例1．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．例2．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．例3．（2024·高三·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（    ）A．直线倾斜角为B．直线在轴上的截距为C．直线的一个方向向量为D．直线经过第二象限例4．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．例5．（2024·高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．例6．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ）A． B． C． D．例7．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ）A． B．C． D．例8．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 ， .例9．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 .例10．（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ．例11．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．例12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 .例13．（2024·高二·全国·课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．例14．（2024·高二·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .例15．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .  例16．（2024·高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．例17．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）当点到直线距离最大时，值为 ．例18．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．例19．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．【过关测试】一、单选题1．（2024·高二·福建漳州·期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ）A． B． C． D．4．（2024·高三·山东聊城·期末）直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．5．（2024·高三·广东深圳·期末）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（    ）A． B． C． D．6．（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（    ）  A． B．C． D．7．（2024·高二·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　）A． B．C． D．8．（2024·高二·河北邯郸·阶段练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2024·高二·山东临沂·期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．10．（2024·高三·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（    ）A．“直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为D．已知，若直线与线段有公共点，则11．（2024·高三·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件12．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知直线：的倾斜角为，则（    ）A． B． C． D．13．（2024·高二·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ）A． B．C． D．14．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．15．（2024·高二·福建南平·阶段练习）两直线与平行，则它们之间的距离为（   ）A．4 B． C． D．二、多选题16．（2024·高三·全国·专题练习）下列说法是错误的为（    ）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．17．（2024·高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ）A． B． C． D．18．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ）A．存在实数k，使得直线的倾斜角为B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点C．对任意的实数k，直线与直线都不重合D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直三、填空题19．（2024·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．20．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是 21．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .22．（2024·高三·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于 23．（2024·高二·全国·课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ．24．（2024·高二·上海长宁·期末）直线和直线的夹角的大小为 .25．（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ．26．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .27．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ．28．（2024·高三·全国·专题练习）点到的距离是，则 ．29．（2024·高三·全国·对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ．30．（2024·高三·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .31．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）直线关于点对称的直线方程是 32．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 .33．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为 34．（2024·高二·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．35．（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为 ．四、解答题36．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线经过直线的交点．(1)若直线经过点，求直线的方程;(2)若直线与直线垂直，求直线的方程．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．