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压轴题04 立体几何压轴题10题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）
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这是一份压轴题04 立体几何压轴题10题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用），文件包含压轴题04立体几何压轴题10题型汇总原卷版docx、压轴题04立体几何压轴题10题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共127页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
压轴题04立体几何压轴题十大题型汇总
01几何图形内切球、外接球问题
1.（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线AE与DF所成角大小为π3
B．二面角A−EB−C的平面角的余弦值为13
C．此八面体一定存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为8π3
2. （2024·浙江宁波·二模）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1=3，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为（ ）
A．9πB．16πC．25πD．36π
3. （2024·河北石家庄·二模）已知正方体的棱长为22，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心O为球心作一个半径为233的球，则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为（ ）
A．26πB．463πC．863πD．46π
4. （多选）（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为22
B．侧面积为242π
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D．底面积为42π
5. （21-22高三上·湖北襄阳·期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，球O1同时与以A为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以C1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F.若以F为焦点，AB1为准线的抛物线经过O1，O2，设球O1，O2的半径分别为r1，r2，则r1r2= .
02立体几何中的计数原理排列组合问题
6.（2024·浙江台州·二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm×11cm×5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm×11cm×5cm，24cm×112cm×5cm，24cm×11cm×52cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A．8B．10C．12D．16
7. （2023·江苏南通·模拟预测）在空间直角坐标系O−xyz中，A10,0,0,B0,10,0,C0,0,10，则三棱锥O−ABC内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A．C103B．C93C．C102D．C92
8. （2024·重庆·模拟预测）从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为（ ）
A．2736B．2935C．67D．3235
9. （多选）（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A．可以围成20个不同的正方形
B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C．可以围成516个不同的三角形
D．可以围成16个不同的等边三角形
10. （2024·上海浦东新·模拟预测）如图ABCDEF−A'B'C'D'E'F'为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
03立体几何动点最值问题
11.（多选）（2024·浙江台州·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为平面ABCD内一动点，且直线D1P与平面ABCD所成角为π3，E为正方形A1ADD1的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹为抛物线
B．正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球被平面A1BC1所截得的截面面积为π6
C．直线CP与平面CDD1C1所成角的正弦值的最大值为33
D．点M为直线D1B上一动点，则MP+ME的最小值为11−266
12. （多选）（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则D1M+MC的最小值为4+22
B．平面ACD1被正方体内切球所截，则截面面积为π6
C．若C1M与AB所成的角为π4，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线D1A,D1C所成角为60∘
13. （多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，棱AB的中点为M，过点M作正方体的截面α，且B1D⊥α，若点N在截面α内运动（包含边界），则（ ）
A．当MN最大时，MN与BC所成的角为π3
B．三棱锥A1−BNC1的体积为定值23
C．若DN=2，则点N的轨迹长度为2π
D．若N∈平面A1BCD1，则BN+NC1的最小值为6+23
14. （多选）（2024·福建厦门·一模）如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等边三角形，且AB=23，EF=x(x>0)，则（ ）
A．EF//平面ABCD
B．二面角A−EF−B随着x的减小而减小
C．当BC=2时，五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为272
D．当BC=32时，存在x使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF
15. （多选）（2024·广西南宁·一模）在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z≥0)，下列说法正确的是（ ）
A．当x=14,z=0,y∈0,1时，B1M+MD的最小值为13
B．当x=y=1,z=12时，异面直线BM与CD1所成角的余弦值为105
C．当x+y+z=1，且AM=253时，则M的轨迹长度为42π3
D．当x+y=1,z=0时，AM与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为63
04不规则图形中的面面夹角问题
16.（2024·浙江台州·二模）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB∥CD，AD⊥AB，AB=6，CD=9，AD=6，且AA1=BB1=4，Q为线段CC1中点，
(1)求证：BQ∥平面ADD1A1；
(2)若四棱锥Q−ABB1A1的体积为3233，求平面ABB1A1与平面CDD1C1夹角的余弦值.
17. （2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°,BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．
(1)证明：∠ABQ=90°；
(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．
18. （2024·浙江金华·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD的棱AB,BC的长为2，其余各条棱长均为1．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)求二面角A−PC−B的大小．
19. （2024·安徽·二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90°，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体．
(1)求证：平面ACF⊥平面BDE；
(2)点M为DF上一点，若二面角C−AM−E的余弦值为13，求∠MAD．
20. （2024·山西·二模）如图，四棱锥P−ABCD中，二面角P−CD−A的大小为90°，∠DCP=∠DPC<π4，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，E是PA的中点.
(1)求证：平面EBD⊥平面PCD；
(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角B−ED−C的余弦值.
05不规则图形中的线面夹角问题
21.（2024·浙江宁波·二模）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60∘，以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D1⊥平面ABCD，点E为边BC1的中点，连接CE,DD1.
(1)求证：CE ∥平面ADD1；
(2)求直线CE与平面BDD1所成角的正弦值.
22. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．
(1)证明：直线MN//平面PAD；
(2)当二面角P−AD−C为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
23. （23-24高三下·浙江·开学考试）在三棱锥D−ABC中，AC=3,DC=22,∠DCA=45∘,CB⊥AB,BC=BD=6.
(1)证明：平面ADC⊥平面ABC；
(2)点E为棱DC上，若BC与平面EAB所成角的正弦值为3311，求DE的长；
24. （2022·江西赣州·二模）已知四棱锥P—ABCD中，△ABD､△BCD､△BDP都是正三角形AB=2，AP=3
(1)求证：平面ACP⊥平面BDP；
(2)求直线BP与平面ADP所成角的正弦值.
25. （2024·全国·模拟预测）如图，AB,CD,EF两两垂直，点E为AB的中点，点F在线段CD上，且满足DF=4CF,AB=EF=2，CD=5．
(1)求证：平面ABC⊥平面ABD．
(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．
06几何中的旋转问题
26.（2024·全国·模拟预测）如图，已知长方体ABCD−A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=2，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCD−A'B'C'D'绕直线OD'进行旋转．若平面α满足直线OD'与α所成的角为53°，直线l⊥α，则旋转的过程中，直线AB与l夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35）
A．43−310B．33−410C．33+310D．43+310
27. （多选）（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器ABC−A1B1C1内灌进一些水，已知AB=AA1=4．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面ACC1A1与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形
B．当C1A1⊂α时，水面的面积为221
C．当B∈α时，水面与地面的距离为835
D．当侧面ACC1A1与地面重合时，水面的面积为12
28. （2024·陕西商洛·模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45∘，则该魔方的表面积增加了 .
29. （2024·福建·模拟预测）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD=2DB.平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面α所成角的大小；
(2)设点E∈α，且∠ECD=30°，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有∠PTC=∠QTC？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
30. （多选）（2024·浙江·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，的棱长为1，点P是正方形A1B1C1D1上的一个动点，初始位置位于点A1处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P在点A1处时，向点B1，D1移动的概率均为14，向点C1移动的概率为12，则（ ）
A．移动两次后，“PC=3”的概率为38
B．对任意n∈N∗，移动n次后，“PA//平面BDC1”的概率都小于13
C．对任意n∈N∗，移动n次后，“PC⊥平面BDC1”的概率都小于12
D．对任意n∈N∗，移动n次后，四面体P−BDC1体积V的数学期望EV<15（注：当点P在平面BDC1上时，四面体P−BDC1体积为0）
07立体几何中的折叠问题
31.（2020·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， AB=1，BC=2，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将△ABD沿线段 AD折起至△AB'D，使二面角B'−AD−C的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．不存在点D，使得CB'⊥AB
B．点B'在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧
C．B'A与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是105,1
D．线段CB'的最小值是3
32. （多选）（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上，BE=1．沿DE将△ADE折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（ ）
A．存在点P，使得PE⊥DCB．存在点P，使得直线BC//平面PDE
C．不存在点P，使得PC⊥DED．不存在点P，使得四棱锥P−BCDE的体积为8
33. （2024·安徽池州·模拟预测）如图①，四边形ABCD是边长为2的正方形，△EAB与△FAD是两个全等的直角三角形，且FA=4,FC与AD交于点G，将Rt△EAB与Rt△FAD分别沿AB,AD翻折，使E,F重合于点P，连接PC，得到四棱锥P−ABCD，如图②，
(1)证明：BD⊥PC；
(2)若M为棱PC的中点，求直线BM与平面PCG所成角的正弦值.
34. （多选）（2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N．将△AMN沿直线l翻折至△A'MN，且点A'在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（ ）
A．∠A'DH≥∠A'DC
B．∠A'DH≤∠A'OH
C．点O的轨迹的长度为π6
D．直线A'O与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为83−13
35. （2024·全国·模拟预测）如图1，已知在正方形ABCD中，AB=2，M，E，F分别是边CD，BC，AD的中点，现将矩形ABEF沿EF翻折至矩形A'B'EF的位置，使平面A'B'EF⊥平面CDFE，如图2所示．
(1)证明：平面A'EM⊥平面A'FM；
(2)设Q是线段A'E上一点，且二面角A'−FM−Q的余弦值为33，求EQEA'的值．
08不规则图形表面积、体积问题
36.（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积为V,E是棱C1D1的中点，平面AB1E将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．724VB．717VC．715VD．12V
37. （2022·辽宁锦州·一模）2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（ ）
A．243+1B．243+6C．483+24D．163+8
38. （2024·全国·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1和正四棱台ABCD−A2B2C2D2中，A2B2=2AB=4，AA2=11．
(1)求证：CA2//平面ABC1D1；
(2)若M是线段BB1的中点，求三棱锥M−A2B2C2的表面积．
39. （2024·江苏常州·一模）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，点M是棱CC1上一个动点（点M与C,C1均不重合）.
(1)当点M是棱CC1的中点时，求证：直线AM⊥平面B1MD1；
(2)当平面AB1M将正四棱柱ABCD−A1B1C1D1分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC的长度.
40. （多选）（2024·安徽芜湖·二模）如图，多面体PS−ABCD由正四棱锥P−ABCD和正四面体S−PBC组合而成，其中PS=1，则下列关于该几何体叙述正确的是（ ）
A．该几何体的体积为24B．该几何体为七面体
C．二面角A−PB−C的余弦值为−13D．该几何体为三棱柱
09立体几何新定义问题
41.（多选）（23-24高三上·河北·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若a=b=c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC.设∠BOC=α，∠AOC=β，∠AOB=γ，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面△ABC是面积为34R2的等边三角形，则a=b=c=R
B．若a2+b2=c2，则α2+β2=γ2
C．若a=b=c=π3R，则球面O−ABC的体积V>212R3
D．若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB=π2，则a2+b2>c2
42. （2022·安徽合肥·模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，OM=a，MS=b．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
43. （2022·辽宁沈阳·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H−ABC，J−CDE，K−EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π3=π.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x
（i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S(x)；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.
44. （2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C,D∈R，A2+B2+C2≠0，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx≤1,y≤1,z≤1，Q=x,y,zx+y+z≤2，T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤2.
(1)设集合M=x,y,zz=0，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1，Q∩M中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积V3的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
45. （2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2.若a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1kx1,y1,z1∈R，b=x2i+y2j+z2kx2,y2,z2∈R，i,j,k为单位正交基底.以O为坐标原点，分别以i,j,k的方向为x轴､y轴､z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.
(1)①若A0,2,1,B−1,3,2，求OA×OB；
②证明：OA×OB+OB×OA=0.
(2)记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB=12OA×OB；
(3)问：(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面､OA×OB为高的三棱锥体积的多少倍？
10立体几何新考点
46.（2024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥A−BCD中，BC=CD=BD=4，点P满足AP=λAC，λ∈(0,1)，过点P作平面α分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且AD//α，BC//α.
(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST总是矩形；
(2)若AC=4，求四棱锥C−PQST体积的最大值.
47. （2022·全国·模拟预测）如图1，在矩形AB1C1D中，B，C分别为AB1，C1D的中点，且AB=BC=1，现将矩形AB1C1D沿BC翻折，得到如图2所示的多面体ABCDB1C1．
(1)当二面角A−B1C1−C的大小为60°时，证明：多面体ABCDB1C1为正三棱柱；
(2)设点A关于平面C1BD的对称点为P，当该多面体ABCDB1C1的体积最大时，求三棱锥P−ABC的体积．
48. （23-24高三下·浙江金华·阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，AA1=A1B．
(1)求证：三棱锥A1−ABC是正三棱锥；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为22，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．
49. （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）正锥体具有良好的对称性．
(1)在正三棱锥P−ABC中，证明：PA⊥BC；
(2)已知正棱锥P−A1A2⋅⋅Ak．请在下列两个条件中，选择一个命题填到___________上，并证明：
①当k=2n+1，n∈Z+时，存在m∈1,2,⋯,k−1，使得PA1⊥AmAm+1；
②当k=2n+2，n∈Z+时，不存在m∈1,2,⋯,k−1，使得PA1⊥AmAm+1．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
50. （23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量ξ的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量ψ的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据arctan5≈0.3661,arctan52≈0.2677,arctan22≈0.3918）
(2)现单独研究棱长n，记x+1×x+12×⋯×x+1n（n≥2且n∈N*），其展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.
①若TnSn=an2+bn+c，对n=2,3,4成立，求实数a，b，c的值；
②对①中的实数a，b，c用数字归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，TnSn=an2+bn+c都成立.
51. （2024·青海·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG．对于空间任意两点I，J，若线段IJ上不存在也在线段EH，FG上的点，则称I，J两点“可视”，则与点B1“可视”的点为（ ）
A．DB．PC．MD．N
52.（多选）（2023·安徽滁州·模拟预测）阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱AC1在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若AC=BD，则四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为14
C．若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为712，则AC1⊥平面A1BD
D．若四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为13，则BC1与平面ACC1的夹角为π4
53. （多选）（2024·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿BD将△ABD翻折，使得点A到达A'的位置，构成三棱锥A'−BCD（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，A'D与BC可能垂直
B．在翻折过程中，二面角A'−BC−D无最大值
C．当三棱锥A'−BCD体积最大时，A'D与CO所成角小于π3
D．点P在平面A'BD内，且直线PC与直线BC所成角为π6，若点P的轨迹是椭圆，则三棱锥A'−BCD的体积的取值范围是33,233
54. （2024·甘肃兰州·一模）如图在四棱柱ABCD−A'B'C'D'中，侧面ABB'A'为正方形，侧面BCC'B'为菱形，B'C=BC=2，E、F分别为棱DD'及CD的中点，在侧面CDD'C'内（包括边界）找到一个点P，使三棱锥P−BEF与三棱锥B'−BEF的体积相等，则点P可以是 （答案不唯一），若二面角A'−AB−C的大小为θ，当θ取最大值时，线段B'P长度的取值范围是 ．
55. （2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥P−ABC和正三棱锥Q−ABC有相同的底面，且PA=AB=2．
(1)若QA=2，求二面角P−AB−Q的余弦值；
(2)若CQ//平面PAB，求QA的长度．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。
预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。
高频考法
题型01几何图形内切球、外接球问题
题型02立体几何中的计数原理排列组合问题
题型03立体几何动点最值问题
题型04不规则图形中的面面夹角问题
题型05不规则图形中的线面夹角问题
题型06几何中的旋转问题
题型07立体几何中的折叠问题
题型08不规则图形表面积、体积问题
题型09立体几何新定义问题
题型10立体几何新考点
解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，结合空间距离，确定动点的轨迹形状；结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.
利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线．
解决不规则图形的表面积体积问题，注意使用割补法，通过分割与补形的方法，转化成常规的几何体进行求解。
立体几何新定义问题，解题关键是理解新定义，能够构建合适的空间直角坐标系，解决相应问题．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
压轴题04立体几何压轴题十大题型汇总
01几何图形内切球、外接球问题
1.（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线AE与DF所成角大小为π3
B．二面角A−EB−C的平面角的余弦值为13
C．此八面体一定存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为8π3
2. （2024·浙江宁波·二模）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1=3，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为（ ）
A．9πB．16πC．25πD．36π
3. （2024·河北石家庄·二模）已知正方体的棱长为22，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心O为球心作一个半径为233的球，则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为（ ）
A．26πB．463πC．863πD．46π
4. （多选）（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为22
B．侧面积为242π
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D．底面积为42π
5. （21-22高三上·湖北襄阳·期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，球O1同时与以A为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以C1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F.若以F为焦点，AB1为准线的抛物线经过O1，O2，设球O1，O2的半径分别为r1，r2，则r1r2= .
02立体几何中的计数原理排列组合问题
6.（2024·浙江台州·二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm×11cm×5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm×11cm×5cm，24cm×112cm×5cm，24cm×11cm×52cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A．8B．10C．12D．16
7. （2023·江苏南通·模拟预测）在空间直角坐标系O−xyz中，A10,0,0,B0,10,0,C0,0,10，则三棱锥O−ABC内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A．C103B．C93C．C102D．C92
8. （2024·重庆·模拟预测）从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为（ ）
A．2736B．2935C．67D．3235
9. （多选）（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A．可以围成20个不同的正方形
B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C．可以围成516个不同的三角形
D．可以围成16个不同的等边三角形
10. （2024·上海浦东新·模拟预测）如图ABCDEF−A'B'C'D'E'F'为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
03立体几何动点最值问题
11.（多选）（2024·浙江台州·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为平面ABCD内一动点，且直线D1P与平面ABCD所成角为π3，E为正方形A1ADD1的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹为抛物线
B．正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球被平面A1BC1所截得的截面面积为π6
C．直线CP与平面CDD1C1所成角的正弦值的最大值为33
D．点M为直线D1B上一动点，则MP+ME的最小值为11−266
12. （多选）（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为平面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则D1M+MC的最小值为4+22
B．平面ACD1被正方体内切球所截，则截面面积为π6
C．若C1M与AB所成的角为π4，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线D1A,D1C所成角为60∘
13. （多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，棱AB的中点为M，过点M作正方体的截面α，且B1D⊥α，若点N在截面α内运动（包含边界），则（ ）
A．当MN最大时，MN与BC所成的角为π3
B．三棱锥A1−BNC1的体积为定值23
C．若DN=2，则点N的轨迹长度为2π
D．若N∈平面A1BCD1，则BN+NC1的最小值为6+23
14. （多选）（2024·福建厦门·一模）如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等边三角形，且AB=23，EF=x(x>0)，则（ ）
A．EF//平面ABCD
B．二面角A−EF−B随着x的减小而减小
C．当BC=2时，五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为272
D．当BC=32时，存在x使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF
15. （多选）（2024·广西南宁·一模）在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z≥0)，下列说法正确的是（ ）
A．当x=14,z=0,y∈0,1时，B1M+MD的最小值为13
B．当x=y=1,z=12时，异面直线BM与CD1所成角的余弦值为105
C．当x+y+z=1，且AM=253时，则M的轨迹长度为42π3
D．当x+y=1,z=0时，AM与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为63
04不规则图形中的面面夹角问题
16.（2024·浙江台州·二模）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB∥CD，AD⊥AB，AB=6，CD=9，AD=6，且AA1=BB1=4，Q为线段CC1中点，
(1)求证：BQ∥平面ADD1A1；
(2)若四棱锥Q−ABB1A1的体积为3233，求平面ABB1A1与平面CDD1C1夹角的余弦值.
17. （2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°,BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．
(1)证明：∠ABQ=90°；
(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．
18. （2024·浙江金华·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD的棱AB,BC的长为2，其余各条棱长均为1．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)求二面角A−PC−B的大小．
19. （2024·安徽·二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90°，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体．
(1)求证：平面ACF⊥平面BDE；
(2)点M为DF上一点，若二面角C−AM−E的余弦值为13，求∠MAD．
20. （2024·山西·二模）如图，四棱锥P−ABCD中，二面角P−CD−A的大小为90°，∠DCP=∠DPC<π4，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°，E是PA的中点.
(1)求证：平面EBD⊥平面PCD；
(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角B−ED−C的余弦值.
05不规则图形中的线面夹角问题
21.（2024·浙江宁波·二模）在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60∘，以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D1⊥平面ABCD，点E为边BC1的中点，连接CE,DD1.
(1)求证：CE ∥平面ADD1；
(2)求直线CE与平面BDD1所成角的正弦值.
22. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．
(1)证明：直线MN//平面PAD；
(2)当二面角P−AD−C为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
23. （23-24高三下·浙江·开学考试）在三棱锥D−ABC中，AC=3,DC=22,∠DCA=45∘,CB⊥AB,BC=BD=6.
(1)证明：平面ADC⊥平面ABC；
(2)点E为棱DC上，若BC与平面EAB所成角的正弦值为3311，求DE的长；
24. （2022·江西赣州·二模）已知四棱锥P—ABCD中，△ABD､△BCD､△BDP都是正三角形AB=2，AP=3
(1)求证：平面ACP⊥平面BDP；
(2)求直线BP与平面ADP所成角的正弦值.
25. （2024·全国·模拟预测）如图，AB,CD,EF两两垂直，点E为AB的中点，点F在线段CD上，且满足DF=4CF,AB=EF=2，CD=5．
(1)求证：平面ABC⊥平面ABD．
(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．
06几何中的旋转问题
26.（2024·全国·模拟预测）如图，已知长方体ABCD−A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=2，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCD−A'B'C'D'绕直线OD'进行旋转．若平面α满足直线OD'与α所成的角为53°，直线l⊥α，则旋转的过程中，直线AB与l夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35）
A．43−310B．33−410C．33+310D．43+310
27. （多选）（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器ABC−A1B1C1内灌进一些水，已知AB=AA1=4．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面ACC1A1与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形
B．当C1A1⊂α时，水面的面积为221
C．当B∈α时，水面与地面的距离为835
D．当侧面ACC1A1与地面重合时，水面的面积为12
28. （2024·陕西商洛·模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45∘，则该魔方的表面积增加了 .
29. （2024·福建·模拟预测）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ACB的平分线交AB于点D，AD=2DB.平面α过直线AB，且与△ABC所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面α所成角的大小；
(2)设点E∈α，且∠ECD=30°，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有∠PTC=∠QTC？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
30. （多选）（2024·浙江·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，的棱长为1，点P是正方形A1B1C1D1上的一个动点，初始位置位于点A1处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P在点A1处时，向点B1，D1移动的概率均为14，向点C1移动的概率为12，则（ ）
A．移动两次后，“PC=3”的概率为38
B．对任意n∈N∗，移动n次后，“PA//平面BDC1”的概率都小于13
C．对任意n∈N∗，移动n次后，“PC⊥平面BDC1”的概率都小于12
D．对任意n∈N∗，移动n次后，四面体P−BDC1体积V的数学期望EV<15（注：当点P在平面BDC1上时，四面体P−BDC1体积为0）
07立体几何中的折叠问题
31.（2020·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， AB=1，BC=2，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将△ABD沿线段 AD折起至△AB'D，使二面角B'−AD−C的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．不存在点D，使得CB'⊥AB
B．点B'在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧
C．B'A与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是105,1
D．线段CB'的最小值是3
32. （多选）（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上，BE=1．沿DE将△ADE折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（ ）
A．存在点P，使得PE⊥DCB．存在点P，使得直线BC//平面PDE
C．不存在点P，使得PC⊥DED．不存在点P，使得四棱锥P−BCDE的体积为8
33. （2024·安徽池州·模拟预测）如图①，四边形ABCD是边长为2的正方形，△EAB与△FAD是两个全等的直角三角形，且FA=4,FC与AD交于点G，将Rt△EAB与Rt△FAD分别沿AB,AD翻折，使E,F重合于点P，连接PC，得到四棱锥P−ABCD，如图②，
(1)证明：BD⊥PC；
(2)若M为棱PC的中点，求直线BM与平面PCG所成角的正弦值.
34. （多选）（2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N．将△AMN沿直线l翻折至△A'MN，且点A'在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（ ）
A．∠A'DH≥∠A'DC
B．∠A'DH≤∠A'OH
C．点O的轨迹的长度为π6
D．直线A'O与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为83−13
35. （2024·全国·模拟预测）如图1，已知在正方形ABCD中，AB=2，M，E，F分别是边CD，BC，AD的中点，现将矩形ABEF沿EF翻折至矩形A'B'EF的位置，使平面A'B'EF⊥平面CDFE，如图2所示．
(1)证明：平面A'EM⊥平面A'FM；
(2)设Q是线段A'E上一点，且二面角A'−FM−Q的余弦值为33，求EQEA'的值．
08不规则图形表面积、体积问题
36.（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积为V,E是棱C1D1的中点，平面AB1E将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．724VB．717VC．715VD．12V
37. （2022·辽宁锦州·一模）2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（ ）
A．243+1B．243+6C．483+24D．163+8
38. （2024·全国·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1和正四棱台ABCD−A2B2C2D2中，A2B2=2AB=4，AA2=11．
(1)求证：CA2//平面ABC1D1；
(2)若M是线段BB1的中点，求三棱锥M−A2B2C2的表面积．
39. （2024·江苏常州·一模）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，点M是棱CC1上一个动点（点M与C,C1均不重合）.
(1)当点M是棱CC1的中点时，求证：直线AM⊥平面B1MD1；
(2)当平面AB1M将正四棱柱ABCD−A1B1C1D1分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC的长度.
40. （多选）（2024·安徽芜湖·二模）如图，多面体PS−ABCD由正四棱锥P−ABCD和正四面体S−PBC组合而成，其中PS=1，则下列关于该几何体叙述正确的是（ ）
A．该几何体的体积为24B．该几何体为七面体
C．二面角A−PB−C的余弦值为−13D．该几何体为三棱柱
09立体几何新定义问题
41.（多选）（23-24高三上·河北·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若a=b=c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC.设∠BOC=α，∠AOC=β，∠AOB=γ，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面△ABC是面积为34R2的等边三角形，则a=b=c=R
B．若a2+b2=c2，则α2+β2=γ2
C．若a=b=c=π3R，则球面O−ABC的体积V>212R3
D．若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB=π2，则a2+b2>c2
42. （2022·安徽合肥·模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，OM=a，MS=b．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
43. （2022·辽宁沈阳·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H−ABC，J−CDE，K−EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将△ACH，△CEJ，△EAK分别向上翻转180°，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π3=π.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x
（i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积S(x)；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.
44. （2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C,D∈R，A2+B2+C2≠0，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx≤1,y≤1,z≤1，Q=x,y,zx+y+z≤2，T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤2.
(1)设集合M=x,y,zz=0，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1，Q∩M中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积V3的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
45. （2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2.若a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1kx1,y1,z1∈R，b=x2i+y2j+z2kx2,y2,z2∈R，i,j,k为单位正交基底.以O为坐标原点，分别以i,j,k的方向为x轴､y轴､z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.
(1)①若A0,2,1,B−1,3,2，求OA×OB；
②证明：OA×OB+OB×OA=0.
(2)记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB=12OA×OB；
(3)问：(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面､OA×OB为高的三棱锥体积的多少倍？
10立体几何新考点
46.（2024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥A−BCD中，BC=CD=BD=4，点P满足AP=λAC，λ∈(0,1)，过点P作平面α分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且AD//α，BC//α.
(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST总是矩形；
(2)若AC=4，求四棱锥C−PQST体积的最大值.
47. （2022·全国·模拟预测）如图1，在矩形AB1C1D中，B，C分别为AB1，C1D的中点，且AB=BC=1，现将矩形AB1C1D沿BC翻折，得到如图2所示的多面体ABCDB1C1．
(1)当二面角A−B1C1−C的大小为60°时，证明：多面体ABCDB1C1为正三棱柱；
(2)设点A关于平面C1BD的对称点为P，当该多面体ABCDB1C1的体积最大时，求三棱锥P−ABC的体积．
48. （23-24高三下·浙江金华·阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，AA1=A1B．
(1)求证：三棱锥A1−ABC是正三棱锥；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为22，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．
49. （2023·重庆沙坪坝·模拟预测）正锥体具有良好的对称性．
(1)在正三棱锥P−ABC中，证明：PA⊥BC；
(2)已知正棱锥P−A1A2⋅⋅Ak．请在下列两个条件中，选择一个命题填到___________上，并证明：
①当k=2n+1，n∈Z+时，存在m∈1,2,⋯,k−1，使得PA1⊥AmAm+1；
②当k=2n+2，n∈Z+时，不存在m∈1,2,⋯,k−1，使得PA1⊥AmAm+1．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
50. （23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量ξ的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量ψ的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据arctan5≈0.3661,arctan52≈0.2677,arctan22≈0.3918）
(2)现单独研究棱长n，记x+1×x+12×⋯×x+1n（n≥2且n∈N*），其展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.
①若TnSn=an2+bn+c，对n=2,3,4成立，求实数a，b，c的值；
②对①中的实数a，b，c用数字归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，TnSn=an2+bn+c都成立.
51. （2024·青海·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG．对于空间任意两点I，J，若线段IJ上不存在也在线段EH，FG上的点，则称I，J两点“可视”，则与点B1“可视”的点为（ ）
A．DB．PC．MD．N
52.（多选）（2023·安徽滁州·模拟预测）阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱AC1在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若AC=BD，则四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为14
C．若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为712，则AC1⊥平面A1BD
D．若四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为13，则BC1与平面ACC1的夹角为π4
53. （多选）（2024·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿BD将△ABD翻折，使得点A到达A'的位置，构成三棱锥A'−BCD（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，A'D与BC可能垂直
B．在翻折过程中，二面角A'−BC−D无最大值
C．当三棱锥A'−BCD体积最大时，A'D与CO所成角小于π3
D．点P在平面A'BD内，且直线PC与直线BC所成角为π6，若点P的轨迹是椭圆，则三棱锥A'−BCD的体积的取值范围是33,233
54. （2024·甘肃兰州·一模）如图在四棱柱ABCD−A'B'C'D'中，侧面ABB'A'为正方形，侧面BCC'B'为菱形，B'C=BC=2，E、F分别为棱DD'及CD的中点，在侧面CDD'C'内（包括边界）找到一个点P，使三棱锥P−BEF与三棱锥B'−BEF的体积相等，则点P可以是 （答案不唯一），若二面角A'−AB−C的大小为θ，当θ取最大值时，线段B'P长度的取值范围是 ．
55. （2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥P−ABC和正三棱锥Q−ABC有相同的底面，且PA=AB=2．
(1)若QA=2，求二面角P−AB−Q的余弦值；
(2)若CQ//平面PAB，求QA的长度．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点立体几何的内容，主要涉及了立体几何中的动点问题，外接球内切球问题，以及不规则图形的夹角问题，新定义问题等。
预计2024年后命题会继续在以上几个方面进行。
高频考法
题型01几何图形内切球、外接球问题
题型02立体几何中的计数原理排列组合问题
题型03立体几何动点最值问题
题型04不规则图形中的面面夹角问题
题型05不规则图形中的线面夹角问题
题型06几何中的旋转问题
题型07立体几何中的折叠问题
题型08不规则图形表面积、体积问题
题型09立体几何新定义问题
题型10立体几何新考点
解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，结合空间距离，确定动点的轨迹形状；结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.
利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线．
解决不规则图形的表面积体积问题，注意使用割补法，通过分割与补形的方法，转化成常规的几何体进行求解。
立体几何新定义问题，解题关键是理解新定义，能够构建合适的空间直角坐标系，解决相应问题．
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