压轴题05 数列压轴题15题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
压轴题05数列压轴题十五大题型汇总
01数列不等式、单调性与最值性问题
1.（2024·浙江宁波·二模）已知数列an满足an=λn2−n，对任意n∈1,2,3都有an>an+1，且对任意n∈nn≥7,n∈N都有anan+1，
所以数列an在1,3上是递减数列，
因为对任意n∈nn≥7,n∈N都有an012λ>7212λ4成立，将通项公式an=2n+1−λn2+4n代入，从而将问题转化为2n+12n+1>λ恒成立问题，研究新数列的单调性即可解决问题．
【详解】依题意，得an+k−an>4k，故只需考虑k=1时，an+1−an>4，n∈N∗．
因为an=2n+1−λn2+4n，只需要[2n+2−λ(n+1)2+4(n+1)]−[ 2n+1−λn2+4n)>4，
即2n+2−λ(n+1)2> 2n+1−λn2，整理得2n+12n+1>λ．
令bn=2n+12n+1，则bn+1−bn= 2n+22n+3−2n+12n+1=(2n−1)×2n+1(2n+3)(2n+1)>0，
所以对任意的n∈N∗恒成立，所以数列bn为递增数列，
则bn≥b1=43，所以λ0，
①若a3=1，求a1；
②若关于m的不等式am0，所以函数ft=lnt+1−t在t∈23,1上单调递增，
则ft0在1,32上恒成立，所以f(x)在1,32上单调递增，
所以f(x)>f(1)=ln1+1−1=0，
所以lnx>1−1x在1,32上恒成立，即lnn+2n+1>1n+2,∀n≥1,n∈N∗成立，
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是转化为证明ln232+ln243+⋯+ln2n+2n+1>n3n+9，再结合放缩法转化为证明lnn+2n+1>1n+2,∀n≥1,n∈N∗，最后利用导数证明即可.
76.(多选) （2023·江西·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分a与较大部分b的比值等于较大部分b与整体部分a+b的比值，其比值为5−12，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆Γ的焦点在x轴上，上顶点为B，右顶点为A，左焦点为F．小欧提出只要满足BF⋅BA=0，椭圆Γ的离心率就等于5−12
B．一顶角等于36°的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于5−12
C．假设n∈N*，小莱发现若公比大于0的等比数列an与著名的斐波那契数列的递推公式fn+2=fn+1+fn相同，则数列an的公比等于5−12
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离a与柱高b满足lg4a=lg6b=lg9a+b，则ab=5−12
【答案】ABD
【分析】选项A，将条件中BF⋅BA=0数量积用坐标表示，整理方程可得；选项B，分别用正余弦定理得到边长与腰长的方程，联立方程组可得；选项C，由等比数列性质，在an+2=an+1+an两边同除以an可得公比的方程；选项D，结合对数性质，借助连等式设k法，找到a,b的等量关系即可.
【详解】对选项A，设椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则Aa,0，B0,b，F−c,0，
由BF⋅BA=0，得(−c,−b)⋅(a,−b)=−ac+b2=0，
即c2+ac−a2=0，即e2+e−1=0，可得e=5−12，故A正确；
对选项B，设该三角形底边长为x，腰长为y，
由正弦定理得xy=sin36°sin72°=12cs36°，即1cs36°=2xy①；
又由余弦定理得cs36°=2y2−x22y2=1−12xy2②，
①②两式联立得xy3−2xy+1=0，即xy−1xy2+xy−1=0，
由于xy≠1，xy>0，故xy=5−12，故B正确；
对选项C，设数列an的公比为q，q>0，则an+2an+1=aa+1an=q，
由题意得，an+2=an+1+an，两边同除以an整理得，
q2−q−1=0，解得q=1+52，故C错误；
对选项D，设lg4a=lg6b=lg9a+b=k，
则a=4k，b=6k，a+b=9k，由6k2=4k×9k，
得b2=aa+b，即a2+ab−b2=0，
则ab2+ab− 1=0，且ab>0，解得ab=5−12，故D正确．
故选：ABD
77. （多选）（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四面体ABCD中，AB=2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且AP1=P1P2=⋯=Pn−1Pn=PnB，过点P1作平行于直线AC，BD的平面，截面面积为an，则下列说法正确的是（ ）
A．a1=1
B．an为递减数列
C．存在常数m，使1an+m为等差数列
D．设Sn为数列n+1n2an的前n项和，则Sn=2023506时，n=2023
【答案】ABD
【分析】A选项，画出截面，并判断出截面为矩形，求出截面边长，得到an=4nn+12，求出a1；B选项，利用an+1−an