数学（全国卷理科03）-2024年高考数学押题预测卷

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2、锻炼同学的考试心理，训练学生快速进入考试状态。高考的最佳心理状态是紧张中有乐观，压力下有自信，平静中有兴奋。
3、训练同学掌握一定的应试技巧，积累考试经验。模拟考试可以训练答题时间和速度。高考不仅是知识和水平的竞争，也是时间和速度的竞争，可以说每分每秒都是成绩。
4、帮助同学正确评估自己。高考是一种选拨性考试，目的是排序和择优，起决定作用的是自己在整体中的相对位置。因此，模拟考试以后，同学们要想法了解自己的成绩在整体中的位置。
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2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数 学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为4，则输入的的可能值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若成等比数列，则公比为（ ）
A．B．C．D．2
7．已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
8．已知函数在上有且仅有4个零点．则图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（ ）
A．3:1B．1:3C．2:3D．1:6
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ．
14．已知函数是奇函数，当时，，则的图象在点处的切线斜率为 .
15．已知实数满足，则的最小值为 ．
16．已知圆台的轴截面是梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上，点在线段上，且，则球的体积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）在中，角所对的边分别为，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，线段的中垂线交于点，求线段的长.
18．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面.
(1)若分别为的中点，证明：平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.
19．（12分）甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．
(1)当时，求球又回到甲手中的概率；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(3)记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．
20．在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.
(1)求的方程；
(2)当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
21．（12分）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线相交于点，将逆时针旋转后，与曲线相交于点，且，求的值.
23．（10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：.