山东省菏泽市东明县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市东明县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 分数：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是不等式，则符号“○”不能是（ ）
A．B．C．D．
3．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
4．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C． D．
5．如图，表示两条公路，表示两个仓库，试找出点，使点到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则点为（ ）
A．的垂直平分线与的交点
B．的垂直平分线与的交点
C．的垂直平分线与夹角的平分线的交点
D．以上都不对
6．如图，,要根据“”证明,则还需要添加一个条件是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为（ ）．

A．7B．6C．5D．4
8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是由绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为 ．
12．若是关于的一元一次不等式，则 ．
13．若点与关于原点对称，则的值为 ．
14．某商品进价500元，出售时标价为900元，要保持利润不少于，则至少打 折.
15．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是1厘米，则卡片上剩余部分（空白区域）的面积是 ．
16．如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，P、Q两点停止运动，设点的运动时间为，则当= 时，为直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．(1)解不等式：；
(2)解不等式组：．
18．如图，在中，，且点A的坐标是．
(1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出；
(2)将绕点O按逆时针方向旋转，得到，画出．
19．如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
20．【问题背景】
小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
【问题解决】
(1)某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
(2)小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
21．如图，是边长为的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长．
22．小明准备用25元钱买火腿肠和方便面，已知1根火腿肠的价格为3元，1盒方便面的价格为5元，他买了2盒方便面和x根火腿肠．
(1)如果25元钱恰好用完，那么小明买了多少根火腿肠？
(2)如果要留2元钱乘公交车，那么小明最多能买多少根火腿肠？
23．如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接．
(1)请判断的形状__________，并写出判断的依据__________；
(2)若，求的度数．
24．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯．下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答．
在等腰直角中，，过点D，E分别作射线，交于点，点D，E分别在线段，上，且，，作射线，过点作于点，延长交射线于点．
(1)如图1，试探究此时与的数量关系，并给出证明；
(2)如图1，若，，求的度数．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
2．A
【分析】根据不等式的定义进行分析判断即可．
【解答】解：，，都是不等式，
选项，，都不符合题意；
不是不等式，
选项符合题意，
故选：．
【点拨】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
3．D
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
4．D
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】∵，
∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
5．C
【分析】在一个角中，角平分线到角两边距离相等，而对于一条线段，只有垂直平分线上的点到线段两端的距离最短．
【解答】A. 的垂直平分线与的交点， 到点EF的距离相等， 故A不符合题意．
B. 的垂直平分线与的交点，到点EF的距离相等， 故B不符合题意．
C. 可把 AB ，CD 当成两条边，要使距离相等，则只有角平分线到角两边的距离相等，而到 EF 则只有垂直平分线上的点到线段两端距离最短，所以要使到角两边与一线段的距离相等的点，则只能是其角平分线与垂直平分线的交点，符合题意．
D.因C选项正确，故不符合题意．
故选： C .
【点拨】本题考查了垂直平分线及角平分线的逆用；要熟练掌握三角形的性质，理解掌握角平分线垂直平分线的含义及性质．
6．D
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握“”是解题的关键；因此此题可根据“”可进行求解．
【解答】解：∵，
∴，
A、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意；
B、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意；
C、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意；
D、若添加，则是根据“”判定，故不符合题意；
故选D．
7．C
【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，过点作于点，根据题意，则，根据的面积为，则，求出，即可．
【解答】解：过点作于点，如图所示：

∵是的角平分线，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】解：由图象可得：当时，，
∴不等式的解集为，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查旋转的性质，旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置．也就是旋转前后图形全等．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题．
【解答】解：由旋转的性质可知，，
A项正确，不符合题意；
由旋转的性质可知，，，，
，
，
B项正确，不符合题意；
C项正确，不符合题意；
D项不一定成立，符合题意；
故选：D．
11．##40度
【分析】由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
12．
【分析】根据一元一次不等式的定义：含一个未知数且未知数的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式．可得：，求解即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查一元一次不等式的定义．解题的关键是知道是未知数的次数，根据次数等于列出方程求解即可．
13．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标各互为相反数求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【解答】解：∵点与关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．7
【分析】设至少打x折，则他的实际售价为元，根据“利润不少于”列出不等式，求解可得．
【解答】解：设至少打x折，
根据题意，得：，
解得：，
即至少打7折，
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据利润率公式列出一元一次不等式是解题的关键．
15．48
【分析】本题考查了平移的性质，正确理解平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，可知“丰”字每一笔的面积与长为9厘米，宽为1厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧，然后求解即可．
【解答】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为9厘米，宽为1厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧，
则剩余部分（空白区域）的面积为．
故答案为：48．
16．1.5或2.4
【分析】分∠PQB=90°、∠QPB=90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，BQ=t，AP=2t，
则BP=6-2t，
当∠PQB=90°时，∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=BP，即t=(6-2t)，
解得，t=1.5，
当∠QPB=90°时，∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BP=BQ，即t=2(6-2t)，
解得，t=2.4，
综上所述，当t=1.5或2.4s时，△PBQ为直角三角形，
故答案为：1.5或2.4．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，掌握在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式，解一元一次不等式组是解题的关键．
（1）先去分母，然后移项合并，系数化为1即可；
（2）先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【解答】（1）解：．
，
，
解得，．
（2）解：，
，
解得，，
，
解得，，
∴不等式组的解集为．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平移和旋转的作图，准确找到变化后的对应点是解题的关键．
（1）作出平移后的对应点，顺次连接即可；
（2）作出绕点O按逆时针方向旋转后的对应点，顺次连接即可；
【解答】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图所示，即为所求，
19．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可．
【解答】（1）证明：，
，
是边上的中线，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【点拨】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
20．(1)某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元
(2)，；当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
（2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【解答】（1）解：设某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，
解得
答：某商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款单价销售单价为元；
（2）解：依题意，若在线下商店购买，共需要（元）
若在线上淘宝店购买，共需要
当
解得，
；
答：当购买款盲盒的数量超过个且少于个时，线下购买方式更合算．
21．平移距离为2；
【分析】根据题意：是边长为的等边三角形，沿直线平移到的位置，得出平移的距离，再根据平移的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平移的性质，得出也是边长为2的等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再利用三角形的外角性质，得出的度数，再利用等腰三角形的性质，得出，再利用角的关系，得出，再利用勾股定理，即可得出的长．
【解答】解：∵沿直线平移到的位置，
∴点平移后的对应点为点，
∴平移距离为，
∵是边长为的等边三角形，
∴平移的距离为：，
∴，
∴，
又∵是由平移得到，
∴也是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
又∵，，
∴．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平移的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．平移的性质：1、平移不改变图形的大小和形状；2、对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
22．(1)小明买了5根火腿肠
(2)小明最多能买4根火腿肠
【分析】本题考查一元一次方程实际应用，一元一次不等式实际应用．
（1）根据题意列出一元一次方程即可得到本题答案；
（2）根据题意列出一元一次不等式即可得到本题答案
【解答】（1）解：由题意得：，
解得：．
答：小明买了5根火腿肠；
（2）解：由题意得：，
解得：．
又∵为正整数，
∴可取的最大值为4，
答：小明最多能买4根火腿肠．
23．(1)等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）由旋转的性质可得，结合旋转角为60度，可证是等边三角形；
（2）先证，推出，再根据是等边三角形，得出，即可求出的度数．
【解答】（1）解：将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，
，，
是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；
（2）解：是等边三角形，
，，
由（1）知，
，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
24．(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的知识是解题的关键．
（1）利用同角的余角相等可证明，，进而可得，由全等性质即可得出结论；
（2）根据三角形内角和在中可求，继而可得，再由直角三角形的两个锐角互余即可求出．
【解答】（1）解：，证明如下：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵于点G，
∴，
∴．
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
A款 B款
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；
线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．