中考10 二次函数大题综合-【黄金冲刺】2024年考前20天中考数学极限满分冲刺（安徽专用）

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1．（2024·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求的值
(2)若时，，求的取值范围
(3)若点是抛物线在第四象限上的点，与线段相交于点，设的面积为，的面积为，当平分四边形的面积时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，解得，，根据函数图象即可得到答案；
（3）根据点P的位置，分两种情况画图，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
∴
解得
即
（2）由（1）得到抛物线的解析式为，
∵
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y有最小值，
当时，解得，，
函数图象如下，
∴当时，，
∴；
（3）当时，解得，，
∴点B的坐标为，
设点P的坐标为，
设直线的解析式为，
则
解得，
∴直线的解析式为，
由题意可证，点C关于直线的对称点为，
当时，作轴交直线于点Q，
当时，，
解得
则点Q的坐标为，
∴，
∵，，平分四边形的面积，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴
∴，
∵，
∴；
当时，设直线的解析式为，直线交y轴与点R，
则
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点R的坐标是，
∵，，平分四边形的面积，
∴，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）
综上可知，
2．（2024·安徽阜阳·三模）太子山旅游景区风景怡人，吸引了大批游客前来观光游览，在景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，观光车每天到开放．某天欲乘坐观光车总人数y（人）与开放时间x（小时）之间满足：．若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为p（人）．
(1)求p关于x的函数关系式；
(2)求等待观光车的游客最多时有多少人？
【答案】(1)
(2)等待观光车的游客最多时有多少人620人
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出正确的函数关系式，以及熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
（1）根据等待坐观光车的游客=欲乘坐观光车总人数观光车乘坐人数，即可解答；
（2）根据（1）中得出的函数关系式，结合一次函数和二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：当时，；
当时，，
∴p关于x的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴当时，p有最大值620；
当时，，
把代入得，
∵，
∴p最大值小于600，
综上： 等待观光车的游客最多时有多少人620人．
3．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
(1)求线段的长．
(2)若当时，的最小值为．
①求的值．
②为抛物线上的一个动点，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点．若，求点的横坐标．
【答案】(1)4
(2)①；②点的横坐标为2或或或
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质：
（1）令，得，求出方程的解即可得出的长；
（2）①由，当时，的最小值为可知当时，的值为，代入二次函数解析式得，可求出的值；②求出点的坐标和直线的解析式，设点，得点的坐标为，求出，，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：设，则，
，
解得或，
点，，
．
（2）解：①抛物线
∴抛物线的对称轴为直线．
，当时，的最小值为，
当时，的值为，
∴
．
②由①，可得抛物线的表达式为，
令，则，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为．
如图，
设点，则点的坐标为，
．
轴，，
轴，
关于直线对称，
点的横坐标为，
．
，
．
分两种情况：
（i），解得或；
（ii），解得或．
综上所述，点的横坐标为2或或或．
4．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；
（3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴；
（2）解：由题意得点坐标为，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
（3）解：由题意得点坐标为
设直线的表达式为，
则，解得
∴直线的表达式为，当时，，
∴点坐标为，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（负值舍去）
．
5．（2024·安徽合肥·一模）已知二次函数（且为常数），当a取不同的值时，其图象不同．
(1)求二次函数的顶点坐标（用含a的式子表示）；
(2)若抛物线与x轴交于两点，当时，
①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为C，其对称轴与x轴交于点D，直线与x轴交于点E．点M为抛物线对称轴上一动点，过点M作，垂足N在线段上．试问是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等：
（1）把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）①根据题意可得，进而得到，解方程即可得到答案；②先求出，，，则，可得，则；证明是等腰直角三角形，得到；设，如图所示，当点M在x轴下方时，则，，可得方程，解方程即可得到答案；同理求出当点M在x轴上方时的坐标即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为；
（2）解：①∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线解析式为；
②由（2）①可得，则，
∵直线与x轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设，
如图所示，当点M在x轴下方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（正值舍去），
∴；

同理当点M在x轴上方时，可求得，
综上所述，或．

6．（2024·安徽亳州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数表达式；
(2)时，四边形的最大面积为，此时．
【分析】（）根据待定系数法，将点的坐标代入，即可得到函数解析式；
（）设，可以先求出的坐标，得到的解析式为，由此设的坐标为，可以得到为 ，结合面积公式得到四边形的面积，由此求解；
本题主要考查求二次函数解析式，以及二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）把，代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
（2）设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∴点坐标为，
∴，
设直线的函数表达式为
把坐标代入直线的函数表达式得，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∴的坐标为，
∴，
∵轴，，
∴
∴四边形的面积，
∴时，四边形的面积为，此时，
∴．
7．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点.
(1)求二次函数和一次函数的函数表达式；
(2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标；
(3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把点、的坐标代入抛物线和直线表达式，即可求解；
（2）先求出二次函数的对称轴，设，再用两点间距离公式列方程即可求解；
（3）先得点坐标为，，再根据的长为4列出方程求解即可．
【详解】（1）把点，代入抛物线得：
，解得：，
故二次函数的表达式为：，
把，代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数的表达式为：；
（2）二次函数的的对称轴为直线，
由点是二次函数图象的对称轴上的点，可设，
，
，
，
解得：，
；
（3）第一象限点的模坐标为.
点坐标为，
点坐标为，
的长为4，
或
，（舍去），
的值为，
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式是解题的关键．
8．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若直线与抛物线的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，
(2)①；②；S的最大值为．
【分析】本题考查了二次函数的综合题，数形结合，灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）①先求得直线解析式为：，顶点坐标为，根据直线过点，列式计算即可求解；
②根据题意画出示意图，利用三角形面积公式列式得到，，再求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：令，则有：
，
即，
，，
，；
（2）解：直线经过，
，
，
直线解析式为：，
抛物线配方得，
其顶点坐标为；
①当E为顶点时：即过，
，
，（舍去），
；
②根据题意可画出示意图，
设直线交y轴于F，交抛物线对称轴于E点，且点E在第四象限并且在抛物线的上方，
则，，，
又，
，
，
．
，
∵，
∴当，S的最大值为．
9．（2024·安徽·一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接交轴于点，连接，设的面积为，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点坐标为
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，抛物线与三角形面积综合，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式．
（1）将A、B两点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式；
（2）根据点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，点坐标为，然后用待定系数法求直线的解析式，从而求出点坐标，再根据三角形的面积公式以及，求出点的横坐标，然后再代入二次函数解析式，从而得出结论．
【详解】（1）解：将、点的坐标代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把，坐标代入得：，
解得，
直线与轴的交点的坐标为
，
，
的面积为，
，
，
解得，
把代入得，
点坐标为．
10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可；
②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点、代入解析式，得：
，解得：；
∴；
（2）①∵，
∴当时，，
∴，
设的解析式为，把代入，得：，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
②∵，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴
设点，则：，
∴，
当点为直角顶点时，则：，
∴，
解得：（舍去），或；
∴或
当点为直角顶点时：，
∴，
解得：（舍），（舍），或；
∴或；
综上：或或或．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）令直线解析式，即可求得点B的坐标，令，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）过点P作轴于点H，交直线于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：时，，，
，
时，，
，
将，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
时，
由函数图象可得：；
（3）解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F，
设点，
则点，，
，
，
，轴，
是等腰直角三角形，，
，
，
∵P在直线下方，
，
，对称轴为直线，
当时，，
此时点P坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
12．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值；
(3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论；
（3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）二次函数的对称轴为直线，
把代入得，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小
∴二次函数 的最大值是15，即
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）∵在抛物线上，
∵，
当 时，m的值最小，最小值是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．
13．（2024·安徽·三模）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点.点是抛物线在第四象限部分上的动点，且位于抛物线的下方，过点作直线轴，交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴是直线，且，求点的横坐标；
(3)若点恰为抛物线的最低点时，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的横坐标为12
(3)
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、一元一次不等式等知识，数形结合是解题的关键.
（1）利用待定系数法求解即即可；
（2）求出抛物线的解析式为，根据得到，解方程即可得到答案；
（3）求出点的坐标为，得到点的坐标为，根据得到不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】（1）解：抛物线过，两点，
，
解得，
则抛物线的函数解析式为；
（2）抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
整理，得，
解得（舍去），，
点的横坐标为12；
（3），
此时点的坐标为.
则点的坐标为，
又，
，
解得，
的取值范围是.
14．（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3．
①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则，
故的最大值为．
【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为．
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴的对称点为，
∵，
∴平移后，
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴；
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴．
（3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S，
∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵抛物线的解析式为，
设点N是抛物线上的一点，且，；
过点N作轴，交于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
过点G作轴于点E，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴时，取得最大值，且最大值为，
过点N作于点H，
则，
故的最大值为，
故液体的最大深度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
15．（2024·安徽池州·三模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，且点的坐标是，与轴交于点，且点的坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)与抛物线的对称轴交于点，点在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，点是的中点，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)最大值为
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题；
（1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）作轴交于点，得出直线的解析式为：，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：把点，点．代入
得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，作轴交于点，
设直线的解析式为：，代入，．
∴
解得：
∴直线的解析式为：，
∵
对称轴为直线，
当时，
∴，
∵在抛物线上，
∴，点
∴
∴
∴时，的面积最大，最大值为；
（3）由（2）可得，则
∴
∵是的中点，．
∴，即
∵
∴．
16．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值；
(3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)面积的最大值为18，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据，求出点C的坐标，分为当时，时，时，三种情况讨论即可；
（3）根据，得到，求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，根据，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
【详解】（1）解：代入
得，解得
（2）解：，
当时，，
，
点关于直线的对称点为
①当时，，
，
，
的值不存在
②当时，，
，
，
，解得或（舍）
③当时，，
，
，
此时点与点重合，
综上所述，的值为或；
（3）解：，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
过点作轴交于点，
设，则
，
，开口向下，对称轴为直线，
又，
当时，的最大值为8，
四边形面积的最大值为18，此时
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键．
17．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)当时，值最大，为
【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得．
（2）由得，由，，得，故．
（3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）把代入与中，得
，，
得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图：

∵，
∴，
∴将抛物线L为，直线为，
∵抛物线L向左平移，
∴抛物线P为，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，
∴，
∵直线与抛物线L的对称轴交于点B，
∴，
∵点M在点B的下方，
∴．
∵抛物线L的对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键．
18．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可；
②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点，
把代入得：，解得：
∴点，
又∵点，
∴可设此抛物线的解析式为，
把点A代入可得:，
解得：
∴，
即：此抛物线的解析式为．
（2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为．
①在和中，，
∴，
∴，
∴，
由点D的坐标为得：，
∴；
②不存在．理由如下：

，
∴对称轴为 ，
，
∴抛物线开口向上，
又∵点P在第一象限，
∴，
∴当点 P 在对称轴左侧时，
S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于；
当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于；
∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
19．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点．
(1)分别求此二次函数与直线的解析式．
(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①当时，求t的值；
②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)直线的函数表达式为，二次函数表达式为
(2)①的值为2或3或②面积最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点A的坐标，代入二次函数表达式求出即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点A的坐标为；
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴；
如图，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线下方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
，
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含t的代数式表示出是解题的关键．
20．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求直线的解析式及抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大；
(3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】(1)，；
(2)点的横坐标为时，有最大值；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解；
（）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的横坐标为，则，，，
，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
轴，
为等腰直角三角形，
，
∴，
当时，有最大值，
即点的横坐标为时，有最大值；
（3）解：由（）可知，直线的解析式为，
抛物线为：，
设平移后抛物线的解析式，
联立函数解析式得，，
，
整理得，，
设，，则，是方程的两根，
，
∵为的中点，
∴，
∴，
解得，
抛物线的解析式．
21．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值；
(3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而根据对称性求出点B的坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于E，设，则，则，根据进行求解即可；
（3）由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；求出抛物线顶点坐标为，可得顶点与B、C组成的三角形面积为，再由四边形，则顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，即当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，求出此时点Q的横坐标即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵与x轴的交点为，
∴对称轴为直线，
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
过点P作轴交于E，设，则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值；
（3）解：由（2）可知，的面积最大时，点P的横坐标为3，
由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；
∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∴顶点与B、C组成的三角形面积为，
又∵四边形，
∴顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，
∴当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；
当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，
∴，
∴，
∴，
当时，解得，
∴此时点Q的横坐标为；
综上所述，符合题意的点Q的横坐标为或．
22．（2024·安徽合肥·一模）如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C为直线下方的抛物线上一动点，过点C作交直线于点D，设点C的横坐标为h，当取最大值时，求h的值；
(3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移m个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设交轴于点，由，先求出点的坐标，再求的解析式，把点的解析式代入求出点的坐标，最后把点、的坐标代入抛物线解析式求解；
（2）由点，轴，得点的纵坐标为，把点纵坐标代入直线解析式求出点的横坐标，用参数表示出的长，再配方求最大值．
（3）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，当平移后的抛物线过点时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出的值，从而求出的取值范围．
【详解】（1）解：设交轴于点，
∵点坐标为，
∴
∵
∴，
∴
∴点的坐标为
设的解析式为，
∴
解得
∴的解析式为，
∵点的纵坐标为，
∴把代入得
∴点的坐标为
∵过点、
∴
解之得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h
∴
∵轴，
∴点的纵坐标为
把代入
得
∴点
∴
∵点C为直线下方的抛物线上一动点
∴
∴当时，的最大值为．
（3）设的解析式为
∵直线过点、
∴
解之得
∴直线的解析式为
当时，，直线对应点为，
当时，，直线对应点为．
设抛物线的图象向上平移m（m>1）个单位得到抛物线为
当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点，
当抛物线经过点时，有抛物线与线段两个公共点．如图
当抛物线与直线有唯一的公共点时
解之得
∴当时，若抛物线与直线AE有两个交点， m的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，数形结合，通过构建方程组，利用根的判别式解决问题．
23．（2024·安徽·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值；
(3)平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点E的坐标为
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，则轴，可得，根据相似三角形的性质得，由直线与在第二象限与抛物线交于点得，，可得，即可求解；
（3）设点的坐标为，则，平移后的函数解析式为，求出点，可得点的坐标为，，由得，解方程求出的值即可得答案．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，
，
解得，
此二次函数的解析式为；
（2）解：二次函数与轴交于点，
，
，
直线的解析式为，
过点作轴于点，交于点，
∴轴，
，
，
直线与在第二象限与抛物线交于点，
，
解得，（由于点在第二象限，舍去），
，
，
，
；
（3）解：设点的坐标为，则，
平移后的函数解析式为，
，
点，
把代入 得，，
点的坐标为，
，
，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质．
24．（2024·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)为抛物线上两点，其中．
（）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围；
（）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值．
【答案】(1)，
(2)（）；（）四边形周长的最大值
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质．
（1）把代入计算即可；
（2）（）把代入解析式，再结合计算的取值范围即可；（）先根据垂线求出，的坐标，再根据四边形为平行四边形可得，得到与的关系，最后表示出四边形周长求最大值即可．
【详解】（1））把代入可得
，
解得；
（2）（）由（1）可得抛物线解析式为，，，
∴对称轴为直线，
∵为抛物线上两点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵两点均在该抛物线对称轴的左侧，
∴，
解得，
∴，
∴；
（）∵，
∴直线解析式为，
∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点，
∴，，
∴，
，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形周长为
∵，
∴，
∴当时最大，最大值，
即四边形周长最大值．
25．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解；
（2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，，
，解得，
，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：已知抛物线与轴交于两点，点，
∴令，则，解得，，，
∴，
①如图，连接交于点，
与关于轴对称，
，，
设，则，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
点在抛物线上，
，解得或（舍去），
；
②如下图，过点作轴，使得，作延长线于点，
，
又，，
，
，
、、三点共线时，取到最小值，
，，，
，，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．
26．（2024·安徽·一模）已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
，，
将代入得：，
解得：，
，
点的横坐标为3，
当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
设点的坐标为，
，
为的中点，
在轴上，
，
，
在中，当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，当时，，
，
，
设，
，
，
当时，的值最大，此时．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
27．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求a，b的值；
(2)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．
（ⅰ）如图1，当时，求线段的长；
（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M的横坐标m的值．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）m的值为或
【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）（ⅰ）先计算的解析式，然后设，则，，根据题意得到方程求出m值，即可求出的长；
（ⅱ）作于点R，由（ⅰ）可得，，，然后分为点Q在PN的左侧和点Q在PN的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．
【详解】（1）由题意得，解得；
（2）（ⅰ）当时，，
∴，
设直线为，
∵点，
∴，解得，
∴直线为，
设，则，，
∵，
∴，解得，经检验符合题意，
当时，，
∴，，
∴；
（ⅱ）作于点R，
由（ⅰ）可得，，，
的面积为，的面积为，
∴，解得；
当点Q在PN的左侧时，如图1，
Q点的横坐标为，纵坐标为，
∴R点的坐标为，
∵N点坐标为，∴，
∴，
∴当时，NQ取最小值；
当点Q在PN的右侧时，如图2，
Q点的横坐标为，纵坐标为，
∴R点的坐标为，
∵N点的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，NQ取最小值．
综上，m的值为或．
28．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）9；（ii）8
【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）（i）求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案；
（ii）设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值．
【详解】（1）解：把点代入得到，①
∵是抛物线的对称轴且交x轴于点.
∴，②
联立①②得，
解得
（2）（i）由（1）可得，，
当时，，
当时，，解得，，
∴点B的坐标是，
∴，
过点P作轴，交线段于点Q，
∵
∴点的 D的坐标是，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9；
（ii）设点P的坐标为，
设设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴
∴，
设的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点E的坐标是，
∴，
∴
29．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；
(2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标；
(3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设出顶点式，将代入求出解析式即可；
（2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线，求出交点坐标即可；
（3）过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，设点坐标为，求出直线，的解析式，根据平移求出直线的解析式，进而求出点坐标，得到的长，三角函数，表示出的长，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把，代入，得：，
∴，
∴；
令，
解得：，
∴，
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
联立，解得：或，
∴；
（3）设直线的解析式为，把代入得：，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
联立，解得：，
∴，
如图，过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，
则：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，属于中考压轴题，解题的关键的掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解．
30．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
(3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点Q的坐标为．
【分析】（1）将点代入，求得，即可得解；
（2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作交于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，；
当时，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作轴于点，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）解：作交于点，作轴于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直线的解析式为，
联立得，
解得或；
当时，，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．